химический каталог




Общая биофизика

Автор М.В.Волькенштейн

янию соответствуют точки А и В на гиперболе, точки максимумов М\ и М2 на кривых U\ (Pi) и С/2(р2) и особая точка типа центра на плоскости рь р2. Определим поведение системы вблизи

особой точки. Линеаризуем систему (8.40), т.е. будем искать ее решение в виде

Хх (/) = Х°{ + 6JST, ехр (Я/), Х2 (/) = Х°2 + 6*2 ехр (Я/), (8.46) причем | 6Xi \ Хи I °Х21 -С Я?» Пренебрегая членами, нелинейными относительно 6Хи ЬХ2, получаем

(8.47)

Я6Х1 + -^-бХ2=0, --^-6Х1-Г-Я6Х2 = 0.

,,2

Характеристическое уравнение есть

2 , k\№k= 0.

и Я = /со— мнимая величина. Частота колебаний равна

С0 = -?Г

(8.48)

Таким образом, величины ^ и Х2 испытывают периодические колебания, амплитуды и фазы которых зависят от начальных условий. Фазы Х\ и Х2 разнятся. Для сравнения приведем рис. 8.11, на котором показана динамика популяций зайцев и рысей в Канаде за 1845—1935 гг. [27].

Посмотрим, выполняется ли термодинамическое условие стабильности в системе (8.40). Трактуя Х\ и Х2 как концентрации химических соединений, a k\, k2, k, kf как константы скоростей, имеем, варьируя для первой реакции Х\,

bv^k^X^kX^bX^

b^-RT^bXu

для второй реакции Х2

bv2 = k'X\ ЬХ2 - k2 ьх2,

b^^-RT^bX,, причем Х\ — к2\к\ X\=^kx[k. Находим

(* 5" ~ kiid(6Х,У+(fe2i ~ к'?)№)2=°' (М9)

т. е. условие устойчивости выполнено.

Мы исследовали поведение консервативной системы. В действительности популяции видов могут расти лишь до некоторого предела, до значений Х\т) и Х[т\ отвечающих насыщению. Это обстоятельство можно выразить уравнением Фер-хулста [107] (см. также [26, 108])

Х = ЬХ{^т7Х) ? (8-50)

Вводя предел размножения жертв в уравнения Вольтерра, получаем

*i=^i Јk (Х(Г] - Х{) - кХгХ2/

Х2 == k Х\Х2 — к^Х2. *

(8.51)

Такая система более не является консервативной и не имеет постоянной движения.

Уравнения типа (8.40) можно обобщить на любое число взаимодействующих видов. Исследование соответствующих систем очень важно для экологии (см. [26],).

То обстоятельство, что постоянная движения консервативной системы К выражается суммой индивидуальных членов, относящихся к отдельным видам, позволяет трактовать систему как статистическую. Такая трактовка для ансамбля большого числа

видов, взаимодействие которых описывается уравнениями Вольтерра, была предложена Кернером [109]. Вернемся к химическим реакциям.

Рассмотрим теперь поведение системы в промежуточной области конечных, но больших значений полного сродства 1 <С

<С < оо. Представим систему

реакций Лотка в несколько измененном виде [1]

2Y.

А + хф+2Х,

X + Y*=±*

±Е.

Положим 4=1 и для простоты примем k\ = k2 =-? kz = 1 и k~\ — = k-2 = k-ъ = k. Здесь мы уже не можем пренебречь обратными реакциями. Имеем kY\ )

(8.52)

X=*X+kX3—XY + Y = XY + kY2 -Y + kE и стационарные решения удовлетворяют уравнениям

X, 1 + kY, - kE/Yu, mi -f (1 - k + 2k2) Yl + {k-\-kE- 2k3 E) YI +

+ (kE - 2k2E) Fo + № = 0

(8.53)

На рис. 8.12 показаны эти решения как функции полного сродства зф для k = Ю-2 [1]. Характеристическое уравнение имеет вид

X2 + (У0 - Х0 + 2kXQ + 2kYQ) X + Х0 + 2kXQ - 1 - 2kX\ - 2kYo +Y0 + 4k2X0Y0 = 0. (8.54)

При всех значениях общего сродства вещественная часть X отрицательна. Следовательно, термодинамическая ветвь устойчива и флуктуации затухают. При s& > 9,2 RT величина X становится комплексной и возникают колебания. При k = 0, Х0 = YQ = 1, имеем X = i (см. также [28]).

Обратимся к исследованию химических нестабильностей. Ясно, что они возникает при наличии автокаталитических стадий (см. стр. 76). Рассмотрим систему химических реакций

416 ГЛ, 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

несколько более сложную, чем система Лотка — Вольтерра:

Л X, (I)

2Х + Уч=±ЪХ, (II)

B + xJ^D + Y, (III)

xJ^E. (IV)

Суммарная реакция есть А + В ^ D -j~ Я. Условия равновесия имеют вид

у ^1 л , у k—2K\ д

Л k—\k~$ ' В k—2K—Z

Положим для простоты k\ — k2 — k3 = k4 = 1 И k-\ = — k-2 — k-з — fc-4 = 0. Кинетические уравнения записываются следующим образом:

Х = Л + X2Y-BX~ X + k(DY + E-X-X3), \

> (8.55)

Y = BX-X2Y + k{X*-DY). j

Стационарные решения имеют вид

A + kE kXl + В

Хп = , Уо == —о -^о- (8.56)

Реакции (I) и (IV) на устойчивость системы не влияют. Поэтому можно упростить выражения (8.56), считая, что А и Е находятся в равновесии, т.е. А = k2E. Получаем

у А у _ A(A2 + kB) ,я

A°~~T' Г° А2 + &В • ^,0/'

Ищем решения линеаризованных уравнений вблизи стационарного состояния и находим характеристическое уравнение (ср. стр. 415)

Я2 + [4+ ^+ 1 - 2Х0Го + & (ЗХ2,-f D+ 1)]Я +

+ *о + k(X20 + D) = 0. (8.58)

Значение B/D, при котором коэффициент при К обращается в нуль, отвечает точке перехода. В ней вещественные части корней Xi и Х2 меняют знак, и система становится неустойчивой.

Имеем )А + л.2 = 0, и условие перехода на основании (8.57) и (8.58) имеет вид

= дг^рд { fe3^ + feM + (1 + k) [2 Л2 + ^ + Л2 (^D+ ^ ] } • (8.59)

Соответствующее критическое сродство равно

страница 148
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223

Скачать книгу "Общая биофизика" (4.77Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
сколько стоит мирена в москве
аскона trend
изготовление металлической мебели
акустическая система 5 1 для домашнего кинотеатра

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(21.10.2017)