начение е, можно найти такое б(е), что если при

1*(0)-*о1<6 то для 0 < / < оо

и I У (0)- уо |< б,

1*Й-Х0[<8 И \У(0—У0\<Е.

Легко показать, что в рассмотренных случаях фокус и узел устойчивы. Гармонический осциллятор без трения совершает незатухающие колебания вокруг состояния равновесия, чему со

ОТВЕТСТВУЮТ ДВИЖЕНИЯ ИЗОБРАЖАЮЩЕЙ ТОЧКИ ПО КОНЦЕНТРИЧЕСКИМ ЭЛЛИПСАМ. СОГЛАСНО ДАННОМУ ОПРЕДЕЛЕНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ ОСОБАЯ ТОЧКА ТИПА ЦЕНТРА ВСЕГДА ОТВЕЧАЕТ УСТОЙЧИВОМУ СОСТОЯНИЮ ОАВ-КОВЕСИЯ [8].

ФОКУС ОТВЕЧАЕТ НЕУСТОЙЧИВОМУ СОСТОЯНИЮ, ЕСЛИ ТРЕЛИЕ ОТРИ* ЦАТЕЛЬНО, Т. Е. h <; 0. ТАКАЯ СИТУАЦИЯ РЕАЛИЗУЕТСЯ, НАПРИМЕР, в ЛАМПОВОМ ГЕНЕРАТОРЕ (СМ. [8]). ПРИ ЭТОМ СПИРАЛИ НЕ СВЕРТЫВАЮТСЯ В ФОКУС, НО РАЗВЕРТЫВАЮТСЯ ИЗ НЕГО. АНАЛОГИЧНЫМ ОБРАЗОМ, ПРИ БОЛЬШОМ ОТРИЦАТЕЛЬНОМ ТРЕНИИ, КОГДА h <_ 0, h2 > > OCIJ;, ВОЗНИКАЕТ НЕУСТОЙЧИВЫЙ УЗЕЛ. СЕДЛО ОТВЕЧАЕТ НЕУСТОЙЧИвому СОСТОЯНИЮ.

ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ РАЗЛИЧАЕТ «грубые» И «нзгрубые» СИСТЕМЫ [8]. В ПЕРВОМ СЛУЧАЕ МАЛЫЕ ИЗМЕНЕния ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ НЕ ИЗМЕНЯЮТ ЕЕ ОБЩЕГО ПОВЕДЕНИЯ — МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УСТОЙЧИВА ГО ОТНОШЕНИЮ К МАЛЫМ ИЗменениям вида ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. СИТУАЦИИ, ОТВЕЧАЮЩИЕ ПУНКТАМ /, 2, 3, 5, 6 ПРИВЕДЕННОЙ ВЫШЕ КЛАССИФИКАЦИИ, ХАРАКТЕРИЗУЮТ ГРУБЫЕ СИСТЕМЫ. НАПРОТИВ, В СЛУЧАЯХ 4 И 7 СИСТЕМЫ НЕГРУБЫЕ. В САМОМ ДЕЛЕ, В СЛУЧАЕ 4 ЗНАЧЕНИЕ ПАРАМЕТРА — аф{ = 0 ЯВЛЯЕТСЯ КРИТИЧЕСКИМ, ПРИ ПЕРЕХОДЕ ОТ ЕГО ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ К ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЕ ВМЕСТО УСТОЙЧИВОГО УЗЛА ВОЗНИКАЕТ СЕДЛО. В СЛУЧАЕ 7 КРИТИЧЕСКИМ ЯВЛЯЕТСЯ ЗНАЧЕНИЕ ПАРАМЕТРА а\ -F- Ь2 — 0 — ПРИ ПЕРЕХОДЕ а.\ + Ь2 > 0 а{ -F- b2 ™ = 0 -> а\ -F- Ъ% <С 0 ОСОБЫЕ ТОЧКИ ИЗМЕНЯЮТ СВОЙ ХАРАКТЕР:

НЕУСТОЙЧИВЫЙ ФОКУС—> ЦЕНТР-> УСТОЙЧИВЫЙ ФОКУС.

ТАКИЕ КРИТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРА ЯВЛЯЮТСЯ бифуркационными.

ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПОДРОБНО РАССМОТРЕНЫ В РЯДЕ МОНОГРАФИЙ [8, 11 —18]. КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ В РАССМАТРИВАЕМУЮ ЗДЕСЬ ОБЛАСТЬ ДАНО в [17—19].

Из ПРИВЕДЕННОГО РАССМОТРЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ СЛЕДУЕТ ВАЖНЫЙ ОБЩИЙ ВЫВОД. СРЕДИ НИХ ТОЛЬКО ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР БЕЗ ТРЕНИЯ ХАРАКТЕРИЗУЕТСЯ ЗАМКНУТЫМИ ФАЗОВЫМИ ТРАЕКТОРИЯМИ, ОТВЕЧАЮЩИМИ ПЕРИОДИЧЕСКОМУ ДВИЖЕНИЮ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ НЕВОЗМОЖНЫ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ.

ОБРАТИМСЯ ТЕПЕРЬ К НЕЛИНЕЙНЫМ СИСТЕМАМ. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВЕСЬМА РАЗНООБРАЗНО И СЛОЖНО. ЕГО ИЗУЧЕНИЕ ИМЕЕТ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ДЛЯ ОЧЕНЬ ШИРОКОГО КРУГА ФИЗИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ. ФИЗИКА НЕЛИНЕЙНЫМ КОЛЕБАНИЙ РАЗВИТА В ТРУДАХ ШКОЛ МАНДЕЛЬШТАМА (СМ. [О, 20—22]), Ван-ДЕР-ПОЛЯ [23] И ДР.

ОЧЕВИДНО, ЧТО ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ (8.6) НЕЛИНЕЙНЫ; ТО ЖЕ ОТНОСИТСЯ К УРАВНЕНИЯМ (8.16), КОТОРЫЕ МЫ ЛИНЕАРИЗОВАЛИ С ЦЕЛЬЮ исследования окре "гностей особых точек. Но такое исследова-гпгс не дает ответа на вопросы о поведении нелинейной системы ил г<'.:ей фазогюй плоскости.

Нелинейная система может характеризоваться наличием ряда особых точек, отвечающих устойчивым и неустойчивым состояниям. Если система консервативна, то ее уравнения движения имеют интеграл энергии

ll2tf + U{x) = &J (8.23)

где константа интегрирования В зависит от начальных условии, y2j2 = тх2/2 есть кинетическая, a U (х)—потенциальная энергии. Движение изображающей точки зависит от соотношения между U(х) и В. Рассмотрим на плоскости х, г кривую z = = U (х) и прямую 2 = В. Возможны следующие случаи [8]:

1. Прямая z — В не пересекает кривую 1){х). Если точки кривой лежат выше точек прямой, то на фазовой плоскости нет движения с полной энергией В. Если прямая z = В лежит выше кривой z— U(x), то на фазовой плоскости х, у имеются две симметричные ветЕИ фазозой траектории, по которым изображающие точки уходят в бесконечность (убегающие траектории) .

2. Прямая z — В пересекает кривую z = U(х). Для значений х, для которых U(x)^>B, фазовых траекторий нет, для остальных значений х существуют как убегающие, так и замкнутые ветви, отвечающие периодическим движениям.

3. прямая z — В касается кривой z = U(x). Фаговые кривые на плоскости х, у разбиваются на несколько классов. Возможны изолированные точки, вблизи которых нет ветвей фазовых кривых, отвечающие устойчивым состояниям равновесия. Возможны изолированные конечные участки фазовых кривых — замкнутые кривь-е пли кривые, с самопересечением. Последние являются так называемыми сепаратрисами, т. е. кривыми, проходящими через особые точки типа седла (рис. 8.6). Сепаратрисы разделяют области, заполненные кривыми различных типов. Поэтому нахождение сепаратрис очень важно для определения поведения системы. , Наконец, возможны бесконечные участки фазовых сривых. Пример нелинейной консервативной системы — маятник, выполняющий большие колебания без трения и описываемый уравнением движения

/ф -f tngl sin

где /—момент инерции маятника. При наличии трения

/ф -f- Ьф -f- mgl si п ф — 0,

(8.25)

I = - ЬФ2 < о.

система уже неконсервативна и интеграла энергии не имеет. Уравнение баланса энергии имеет вид

(8.26)

Энергия убывает при движении системы, стремясь к некоторому равновесно