![]() |
|
|
Общая биофизиканачение е, можно найти такое б(е), что если при 1*(0)-*о1<6 то для 0 < / < оо и I У (0)- уо |< б, 1*Й-Х0[<8 И \У(0—У0\<Е. Легко показать, что в рассмотренных случаях фокус и узел устойчивы. Гармонический осциллятор без трения совершает незатухающие колебания вокруг состояния равновесия, чему со ОТВЕТСТВУЮТ ДВИЖЕНИЯ ИЗОБРАЖАЮЩЕЙ ТОЧКИ ПО КОНЦЕНТРИЧЕСКИМ ЭЛЛИПСАМ. СОГЛАСНО ДАННОМУ ОПРЕДЕЛЕНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ ОСОБАЯ ТОЧКА ТИПА ЦЕНТРА ВСЕГДА ОТВЕЧАЕТ УСТОЙЧИВОМУ СОСТОЯНИЮ ОАВ-КОВЕСИЯ [8]. ФОКУС ОТВЕЧАЕТ НЕУСТОЙЧИВОМУ СОСТОЯНИЮ, ЕСЛИ ТРЕЛИЕ ОТРИ* ЦАТЕЛЬНО, Т. Е. h <; 0. ТАКАЯ СИТУАЦИЯ РЕАЛИЗУЕТСЯ, НАПРИМЕР, в ЛАМПОВОМ ГЕНЕРАТОРЕ (СМ. [8]). ПРИ ЭТОМ СПИРАЛИ НЕ СВЕРТЫВАЮТСЯ В ФОКУС, НО РАЗВЕРТЫВАЮТСЯ ИЗ НЕГО. АНАЛОГИЧНЫМ ОБРАЗОМ, ПРИ БОЛЬШОМ ОТРИЦАТЕЛЬНОМ ТРЕНИИ, КОГДА h <_ 0, h2 > > OCIJ;, ВОЗНИКАЕТ НЕУСТОЙЧИВЫЙ УЗЕЛ. СЕДЛО ОТВЕЧАЕТ НЕУСТОЙЧИвому СОСТОЯНИЮ. ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ РАЗЛИЧАЕТ «грубые» И «нзгрубые» СИСТЕМЫ [8]. В ПЕРВОМ СЛУЧАЕ МАЛЫЕ ИЗМЕНЕния ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ НЕ ИЗМЕНЯЮТ ЕЕ ОБЩЕГО ПОВЕДЕНИЯ — МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УСТОЙЧИВА ГО ОТНОШЕНИЮ К МАЛЫМ ИЗменениям вида ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. СИТУАЦИИ, ОТВЕЧАЮЩИЕ ПУНКТАМ /, 2, 3, 5, 6 ПРИВЕДЕННОЙ ВЫШЕ КЛАССИФИКАЦИИ, ХАРАКТЕРИЗУЮТ ГРУБЫЕ СИСТЕМЫ. НАПРОТИВ, В СЛУЧАЯХ 4 И 7 СИСТЕМЫ НЕГРУБЫЕ. В САМОМ ДЕЛЕ, В СЛУЧАЕ 4 ЗНАЧЕНИЕ ПАРАМЕТРА — аф{ = 0 ЯВЛЯЕТСЯ КРИТИЧЕСКИМ, ПРИ ПЕРЕХОДЕ ОТ ЕГО ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ К ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЕ ВМЕСТО УСТОЙЧИВОГО УЗЛА ВОЗНИКАЕТ СЕДЛО. В СЛУЧАЕ 7 КРИТИЧЕСКИМ ЯВЛЯЕТСЯ ЗНАЧЕНИЕ ПАРАМЕТРА а\ -F- Ь2 — 0 — ПРИ ПЕРЕХОДЕ а.\ + Ь2 > 0 а{ -F- b2 ™ = 0 -> а\ -F- Ъ% <С 0 ОСОБЫЕ ТОЧКИ ИЗМЕНЯЮТ СВОЙ ХАРАКТЕР: НЕУСТОЙЧИВЫЙ ФОКУС—> ЦЕНТР-> УСТОЙЧИВЫЙ ФОКУС. ТАКИЕ КРИТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРА ЯВЛЯЮТСЯ бифуркационными. ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПОДРОБНО РАССМОТРЕНЫ В РЯДЕ МОНОГРАФИЙ [8, 11 —18]. КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ В РАССМАТРИВАЕМУЮ ЗДЕСЬ ОБЛАСТЬ ДАНО в [17—19]. Из ПРИВЕДЕННОГО РАССМОТРЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ СЛЕДУЕТ ВАЖНЫЙ ОБЩИЙ ВЫВОД. СРЕДИ НИХ ТОЛЬКО ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР БЕЗ ТРЕНИЯ ХАРАКТЕРИЗУЕТСЯ ЗАМКНУТЫМИ ФАЗОВЫМИ ТРАЕКТОРИЯМИ, ОТВЕЧАЮЩИМИ ПЕРИОДИЧЕСКОМУ ДВИЖЕНИЮ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ НЕВОЗМОЖНЫ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ. ОБРАТИМСЯ ТЕПЕРЬ К НЕЛИНЕЙНЫМ СИСТЕМАМ. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВЕСЬМА РАЗНООБРАЗНО И СЛОЖНО. ЕГО ИЗУЧЕНИЕ ИМЕЕТ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ДЛЯ ОЧЕНЬ ШИРОКОГО КРУГА ФИЗИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ. ФИЗИКА НЕЛИНЕЙНЫМ КОЛЕБАНИЙ РАЗВИТА В ТРУДАХ ШКОЛ МАНДЕЛЬШТАМА (СМ. [О, 20—22]), Ван-ДЕР-ПОЛЯ [23] И ДР. ОЧЕВИДНО, ЧТО ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ (8.6) НЕЛИНЕЙНЫ; ТО ЖЕ ОТНОСИТСЯ К УРАВНЕНИЯМ (8.16), КОТОРЫЕ МЫ ЛИНЕАРИЗОВАЛИ С ЦЕЛЬЮ исследования окре "гностей особых точек. Но такое исследова-гпгс не дает ответа на вопросы о поведении нелинейной системы ил г<'.:ей фазогюй плоскости. Нелинейная система может характеризоваться наличием ряда особых точек, отвечающих устойчивым и неустойчивым состояниям. Если система консервативна, то ее уравнения движения имеют интеграл энергии ll2tf + U{x) = &J (8.23) где константа интегрирования В зависит от начальных условии, y2j2 = тх2/2 есть кинетическая, a U (х)—потенциальная энергии. Движение изображающей точки зависит от соотношения между U(х) и В. Рассмотрим на плоскости х, г кривую z = = U (х) и прямую 2 = В. Возможны следующие случаи [8]: 1. Прямая z — В не пересекает кривую 1){х). Если точки кривой лежат выше точек прямой, то на фазовой плоскости нет движения с полной энергией В. Если прямая z = В лежит выше кривой z— U(x), то на фазовой плоскости х, у имеются две симметричные ветЕИ фазозой траектории, по которым изображающие точки уходят в бесконечность (убегающие траектории) . 2. Прямая z — В пересекает кривую z = U(х). Для значений х, для которых U(x)^>B, фазовых траекторий нет, для остальных значений х существуют как убегающие, так и замкнутые ветви, отвечающие периодическим движениям. 3. прямая z — В касается кривой z = U(x). Фаговые кривые на плоскости х, у разбиваются на несколько классов. Возможны изолированные точки, вблизи которых нет ветвей фазовых кривых, отвечающие устойчивым состояниям равновесия. Возможны изолированные конечные участки фазовых кривых — замкнутые кривь-е пли кривые, с самопересечением. Последние являются так называемыми сепаратрисами, т. е. кривыми, проходящими через особые точки типа седла (рис. 8.6). Сепаратрисы разделяют области, заполненные кривыми различных типов. Поэтому нахождение сепаратрис очень важно для определения поведения системы. , Наконец, возможны бесконечные участки фазовых сривых. Пример нелинейной консервативной системы — маятник, выполняющий большие колебания без трения и описываемый уравнением движения /ф -f tngl sin где /—момент инерции маятника. При наличии трения /ф -f- Ьф -f- mgl si п ф — 0, (8.25) I = - ЬФ2 < о. система уже неконсервативна и интеграла энергии не имеет. Уравнение баланса энергии имеет вид (8.26) Энергия убывает при движении системы, стремясь к некоторому равновесно |
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 |
Скачать книгу "Общая биофизика" (4.77Mb) |
[каталог] [статьи] [доска объявлений] [прайс-листы] [форум] [обратная связь] |
|
Введение в химию окружающей среды. Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей
среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги
заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в
разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности.
Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и
атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на
химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах.
Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии
университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга
читателей.
Химия и технология редких и рассеянных элементов. Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов
химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии
лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во
второй
части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана,
лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В
третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия,
тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание
уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В
технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика
рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов
производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие
составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по
1972 год включительно.
|
|