химический каталог




Общая биофизика

Автор М.В.Волькенштейн

колебаний особая точка является асимптотической точкой всех кривых, имеющих вид вложенных друг в друга спиралей. Такая точка называется фокусом. Наконец, при апериодическом затухании все кривые проходят через особую точку, именуемую узлом. Проведем общее исследование особых точек.

Рассмотрим систему двух нелинейных дифференциальных уравнений типа

с> У), )

(8.16)

х = ахх + а2у + Х2 (*, у)у y^b^+bzy + Yz (xt

(8.17)

где Х2 и У2 — полиномы, содержащие члены порядка выше первого относительно х и у. Правые части уравнений обращаются в нуль в начале координат х = 0, у = 0. Следовательно это особая точка, отвечающая стационарному состоянию х = у — 0. Ограничиваясь линейным приближением, т. е. рассматривая лишь окрестность этой точки, имеем

х = агх + а2у>

? = М + b2y.

Интегральная кривая есть

jfa Ь>х + Ьгу ( 18)

dx CL\х + а2у 1

и решение уравнения (8.17) имеет вид

х = А\ ехр Kxt + Л2 ехр K2t, у = В\ ехр Kit + В2 ехр K2tt

где Я1 и Я2 — корни характеристического уравнения

К2 — {CLi + Ь2) К + йхЬ2 — = С

Это полностью соответствует изложенному выше (в случае ое* < циллятора с трением было а{ — 0, а2=1, bl — —to^ Ь2= —2h),

Общая классификация особых точек, данная Пуанкаре [10], основывается на поведении интегральных кривых в ближайшей окрестности этих точек.

Если дискриминант характеристического уравнения D = = —4a2bx—(ai — Ь2)2^0, то оба корня Ки К2 вещественны. Если одновременно ахЪ2 — а2Ьх > 0, то их знаки одинаковы. Рассмотрим следующие случаи:

/. Ки К2 < 0. Решение имеет вид убывающих экспонент, т. е.

система, выведенная из особой точки, в нее возвращается. Особая точка есть устойчивый узел.

> 2. Ки К2 > 0. Система удаляется от особой точки, представляющей собой неустойчивый узел,

3. D ^ 0, но ахЪ2— a2bi < 0. Корни Ки Кг имеют разные знаки. Особая точка является неустойчивой и именуется седлом,. Через нее проходят только две интегральные кривые, называемые сепаратрисами. Остальные фазовые траектории уходят в бесконечность, минуя особую точку.

4. D < 0, но ахЬ2 — a2bi — 0, т. е. D = — (а1 + Ь2)2, Ai = 0, К2 = ах + Ь2, Один из корней равен нулю. Для линейной системы (8.17) получается не особая точка, но прямая, соответствующая равновесным состояниям, в которую упираются остальные интегральные прямые, направления движения по которым зависят от знака Xg.

Если дискриминант D > 0, то корни %\ и комплексно сопряжены.

5. Вещественные части %и ^2 отрицательны, т. е. а\ + Ь2 < 0. В системе происходят затухающие колебания, особая точка, на которую накручиваются спиральные фазовые траектории, есть устойчивый фокус.

6. Вещественные части 'Ки ^2 положительны, т. е. ct\ + b2 > 0. Особая точка есть неустойчивый фокус, соответствующий нарастающим по амплитуде колебаниям.

7. Корни Ki — — Х2 мнимые, т. е. а\ + Ъ2 = 0. В системе происходят незатухающие колебания, особая точка есть центр. Фазовые траектории представляют собой концентрические эллипсы.

Виды особых точек, соответствующих случаям /, 3, 6, 7, показаны на рис. 8.4 [8, 11]. В рассмотренном случае особая точка

типа седла невозможна. В самом деле, условия ее появления для осциллятора имеют вид 4/г2— 4со§ > 0 и со2 < 0, что лишено

физического смысла при положительных значениях k и т. Особая точка типа седла имеется, например, в случае линейной системы, в которой действует сила отталкивания от положения равновесия, причем величина этой силы возрастает со смещением. Так ведет себя, в частности, математический маятник вблизи верхнего положения равновесия. Уравнение его движения имеет вид

Ф-у-Ф = О

где ф — угол, отсчитываемый от верхнего положения равновесия, g— ускорение свободного падения, / — длина маятника. Перепишем это уравнение в виде

или

х — пх — 0,

х = у, у = пх,

(8.19) (8.20)

Здесь ai = 0, ci2 = 1, bi = п, Ьч — 0 и условие 3 (см. стр. 401) соблюдается: Ап > 0, —/г < 0. Уравнение

dy х -~ — п —

<2JC #

(8.21)

легко решается. Интегральные кривые отвечают уравнению семейства равносторонних гипербол

у2_пх2^с (8>22)

кривые показаны находящаяся на

с асимптотами у — — л/пх и у—'у/пх. Эти на рис. 8.5, Особая точка х = 0, у — О, пересечении асимптот, является седлом.

х

Таким образом, особая точка изображает состояние равновесия или стационарное состояние системы. Мы уже говорили об устойчивых и неустойчивых особых точках. Определение устойчивости состояния равновесия по Ляпунову [12] гласит (см. [8], [9], § 1-2):

Рис.

ДЛЯ

«состояние равновесия устойчиво, если для любой заданной области е допустимых отклонений от состояния равновесия имеется область 6(e), окружающая это состояние и обладающая тем свойством, что ни одно движение, начинающееся внутри б, никогда не достигает границы области е.» И наоборот, состояние равновесия неустойчиво, если имеется область е, для которой область 6(e) не существует. Пусть на фазовой плоскости

область в есть квадрат; тогда состояние равновесия х = х0, У = Уо устойчиво, если, задав наперед сколь угодно малое положительное з

страница 144
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223

Скачать книгу "Общая биофизика" (4.77Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
полотенца в липецк купить
купить мед.справку в бассейн рядом с метро
кристина орбакайте афиша 2016
форум авок скачать инструкция по эксплуатации вентиляции

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(04.12.2016)