химический каталог




Общая биофизика

Автор М.В.Волькенштейн

я исследование кинетических уравнений, описывающих модель, но в ряде случаев такое исследование должно быть дополнено решением соответствующих стохастических задач.

Общее рассмотрение этих проблем дано также в монографии Романовского, Степановой, Чернавского [18].

§ 8.2. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КИНЕТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Определим метод изучения биологической системы как построение кинетической модели и описание модели дифференциальными уравнениями, т. е. как построение математической модели и исследование решений этих уравнений.

Достаточно общая форма математической модели имеет вид

dx,

(8.6)

dt

f- — FN ..., xN),

где x{, xN — физические переменные, характеризующие систему и зависящие от времени и начальных условий, Fi, .. . ..., FN — в общем случае нелинейные функции от этих переменных.

Систему (8.6) можно линеаризовать. Ищутся стационарные значения переменных х\, л;^, являющиеся решениями уравнений (8.6) при х\ = ... = xN s= 0. Далее исследуются линейные уравнения, записанные в переменных, представляющих собой малые отклонения al=xl—JCJ, aN = xN — xPN\ членами, нелинейными относительно аг-, можно пренебречь. В большинстве случаев для интересующих нас задач оказывается возможным ограничиться системами второго порядка (N = 2) (см. [18]).

В соответствии со сказанным целесообразно начать изложение с исследования простой линейной модели — осциллятора

398

ГЛ. 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

с трением. Его уравнение движения есть уравнение второго порядка

mx + bx+ kx = 0, (8.7)

которое можно представить в форме двух уравнений первого порядка, если ввести вторую переменную — скорость у — х. Тогда получим линейные уравнения типа (8.6)

х = и. ц =—— у—— х, (8.8)

Общее решение уравнения (8.7) есть

х = Лх ехр %it -f- А2 ехр%2tt (8.9)

где %i и %2 — корни квадратного уравнения

Я2+~Я + —= 0. (8.10)

При Ь2 > 4km эти корни вещественны, при Ь2 < 4km — комплексны. В первом случае процесс имеет характер апериодического затухания, во втором — затухающих колебаний. Значения А\ и Л2 определяются начальными условиями.

Рациональный метод исследования кинетической системы состоит в получении ее «фазового портрета». Движение системы представляется движением изображающей точки на фазовой плоскости х, у, где у = х. Точка движется по фазовой траектории с фазовой скоростью. Получим уравнение фазовой траектории для осциллятора с трением, исключив время из уравнений (8.8). Для этого разделим второе уравнение на первое:

dy 2hy + CO2JC

dx ^ у

(8.11)

где 2h — b/m, k/m. Уравнение (8.11) описывает интегральные кривые, в каждой точке которых касательная имеет наклон, равный dyjdx. Вместе с уравнением (8.8) уравнение (8.11) определяет на фазовой плоскости некоторое векторное поле с единственной особой точкой х = 0, у = 0. Удобно исследовать это поле с помощью изоклин, т. е. кривых (в данном случае прямых), являющихся геометрическим местом точек, в которых касательные ко всем интегральным кривым имеют одинаковый наклон. В нашем случае уравнение изоклины с наклоном % имеет вид

dy

dx ИЛИ

§ 8.2. ФИЗИКО-МАТЕМАШЧЕСКИЬ UCMUttbl КИныики

Иными словами, изоклины представляют собой прямые, проходящие через начало координат — через особую точку х = О, у = 0.

Рис. 8.1. Интегральные кривые Рис. 8.2. Векторное поле для осцилляна фазовой плоскости для зату- тора с трением,

хающих колебаний осциллятора с трением.

Решение уравнения (8.11) для случая затухающего колебательного процесса, b2 у2 + 2HXY + А>У - С ехр[2 ± arctg , (8.13)

где С — произвольная постоянная, определяемая начальными условиями. Этому уравнению соответствует семейство логарифмических спиралей, показанное на рис. 8.1. Векторное поле, построенное с помощью изоклин, изображено на рис. 8.2. Фазовая скорость находится из уравнения

V = IX + JY, (8.14)

где I и / — единичные векторы.

И

В нашем случае, согласно уравнениям (8.8),

v = ty + t(— 2hy — со2*)

I v I2 « to**2 + 4he$cy + (1 + Ah2) y\

незатухающим

Фазовая скорость убывает по мере приближения к началу координат и обращается в нуль в этой точке.

При h = 0 (т. е. Ь = 0) трения нет, и система становится гармоническим осциллятором. Интегральные

кривые представляют семейство эллипсов

у2 -f- ®1%2 = const (8.15)

(см. [8], а также [9], § 1.2). Уравнение изоклин имеет вид у—— OQJC/K, фазовая скорость задается соотношениями v = iy — }а>рс, |г>[2 = — г/2 + ©J*2.

Для затухающего апериодического процесса Ь2> > 4&т, т. е. h2 > оо2. Корни

характеристического уравнения вещественны и отрицательны:

\ = — /г + д//г2 — cogt

\ = - h - д//г2 - о)2.

Фазовый портрет системы показан на рис. 8.3. В описанных примерах мы имеем дело с различными типами особых точек, во всех трех случаях расположенных в начале координат х, у. Для гармонического осциллятора без трения все фазовые кривые замкнуты (имеют форму эллипса) и охватывают особую точку, называемую центром. Для затухающих

страница 143
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223

Скачать книгу "Общая биофизика" (4.77Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
аренда плазмы москва
Компания Ренессанс: купить лестница - оперативно, надежно и доступно!
кресло 994
самое дешевое мото хранение в москве

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(09.12.2016)