химический каталог




Биофизика

Автор М.В.Волькенштейн

вления происходят в ряде мембранных процессов, в частности,, при генерации нервного импульса (см. § 11.3, 16.5).

§ 15.6. Стохастические процессы

При описании динамических процессов мы применяли аппарат-дифференциальных уравнений. Но, как уже говорилось (с. 494) f при ограниченном числе молекул или особей приходится непосредственно учитывать дискретность их возникновения и уничтожения—актов «рождения» и «смерти». Не может появиться: на свет или исчезнуть половина молекулы или половина зайца. Дискретные системы описываются стохастическими уравнениями, основанными на теории вероятностей. Ограничимся рассмотрением двух примеров.

Имеем систему химических реакций, уже рассматривавшуюся на с. 508:

Ч

А + Х^2Х, (1>

B + XF^C. (Ц>

Считая, что молекулы «рождаются» и «умирают», выведем основное кинетическое уравнение системы, причем в качестве переменных фигурируют уже не концентрации, а числа молекул. Обозначим через N число молекул X; распределение вероятностей, изменяющееся во времени, выражается функцией P(N, t). В каждой из реакций N меняется на единицу. Рассмотрим все переходы. Начнем с реакции (II).

1. Переход N-*-N-{-l — «рождение» молекулы X. Число таких переходов в единицу времени равно P(iV, t)W(N + l,N), где W(N + 1, N) — вероятность перехода, равная

W(N+1, N) = fc-2C7,

где С — концентрация молекул С, т. е. их число в единице объема, V — объем, CV есть число реагирующих молекул С.

2. Переход N — 1 -> N — также «(рождение» X. Число этих переходов в одну секунду равно P(N— 1, t)k-2CV. "Учитывая, что «населенность» уровня N одновременно уменьшается вследствие процесса (I), получаем полную скорость перехода в реакции С-»- В -f- X:

[P{N—t, t) —P(N, t)]k„2CV.

Теперь рассмотрим реакцию В -f- X ->? С. В этой реакции молекулы X -«умирают», число N уменьшается на единицу. Имеем переходы N -f-1 N и N-*-N—1. Полная скорость есть

[Р(ЛГ+1, t)(N+i)~P(N, t)N]k2B,

где В — концентрация В. Аналогичным образом находим скорости для прямой и обратной реакций (I). В реакции А + Х->2Х молекулы X «рождаются» со скоростью

[Я(ЛГ—1, t) {N—1) —P(N, t)N]hxA, * в реакции 2Х-> A -f- X «умирают» со скоростью

[P(N+ 1, t)(N+i)N — P(N, t)N(N-i)]k^JV.

Теперь мы можем написать кинетическое уравнение. Оно имеет вид P{N, t) = P(N~ 1, t)W{N, N-l) +P(iV+ 1, t)W(N, iV-f 1) —

— P(N, t)[W(N+ 1, N) + W(N—i, N)], (15.68)

где

—l

W (JV, N - 1) = [k±A + k_2CJ F,

N+ 1]

(15.69)

W (Nt N + 1)

(N + 1) N

y2

Имеется трудность, состоящая в том, что стационарное решение (15.68) есть Р(0) = 1, P(N) = 0 при iV=^=0. Поэтому нужно ввести третий процесс спонтанного рождения молекул X из молекул А

ft,

А X.

При этом формулы (15.69) изменяются:

W (JV, N — 1) ~ (кгА ~r + k_2c) V,

у'

(Лг + 1)

W{N, N + 1) =

N+11

V

(III)

(15.70)

Решение уравнения (15.68) имеет вид

W W {п + 1, п)

(15.71)

n=0

Для того чтобы перейти к детерминистическому континуальному уравнению (15.64), (15.65), найдем средние значения N и вероятностей W. Имеем

в.

<лг> = 2 NP *).

со

(W {N ± 1, N)} = 2 W {N ± 1, N] Р (JV, 0

dt

(15.72) (15.73) (15.74)

С помощью (15.69) находим

d Г <ЛГ +1>

+ к_2С - к_х

V2

Это уравнение совпадает с континуальным при больших JV, когда можно пренебречь единицей по сравнению с N и заменить <Л?>/У на X, Получаем

X = кхАХ 4- к_2С — &_IX2 — к2ВХ = vx — v2,

что совпадает с (15.64). Замена /V на концентрацию является вполне-строгой, если Р есть распределение Пуассона. Условием такого распределения является детальное равновесие для распределений в каждой из реакций (I) и (II) порознь. Это всегда справедливо при термодинамическом равновесии, но может не выполняться вдали от него. Поэтому вопрос о соотношении детерминистических и стохастических уравнений всегда требуег специального исследования.

В качестве второго примера рассмотрим модель «хищник — жертва» Вольтерра (§ 15.3). Обозначим число зайцев через М, число рысей — через N. Размножение зайцев, т. е. переходы М'М + 1) описывается вероятностью

W(M + 1, N; М, N) = ktM.

Смерть рысей описывается вероятностью переходов N N — 1

W{M, N — 1; М, N) = k2N.

При встречах рысей с зайцами происходят переходы М~*-М — 1, NN -{- i с вероятностями

W{M — 1, N + 1; М, N) = kMN.

Мы положили к' = к (см. с. 496). Основное кинетическое уравнение имеет вид

JP(M, N; t) = ki(M— l)P(M — 1, N; t) + k3(N + l)P(il/, N + 1; t) +

*{- k(M + i)(N — l)P(M-f-l. N — 1; t) — (kxM+ k2N + kMN)P{M, N; f).(15.76>

Конечно, накладывается условие P = 0 при отрицательных значениях М и

N. Единственное стационарное решение, Р = 0, отвечает Р(0, 0) = 1 и все остальные Р = 0. Иными словами, оба вида должны вымереть. Сопоставление с дифференциальными уравнениями Лотка — Вольтерра раскрывает смысл этого результата. Мы видели, что замкнутые фазовые траектории, охватывающие центр, могут изменяться при любых флуктуациях — система переходит с одной траектории на другую при изменении начальных условий. Если зайцы случайно вымерли, т

страница 192
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228

Скачать книгу "Биофизика" (6.44Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
кровать с подъемным
сетка рабица вектор
тележка сервировочная 2 п
посуда моцарт купить

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(18.01.2017)