химический каталог




Биофизика

Автор М.В.Волькенштейн

размножились и т. д. В простых случаях результаты применения математической модели качественно очевидны. Однако без анализа нельзя установить ни частоты, ни амплитуды колебаний X и Y. В более сложных случаях математическая модель раскрывает особенности, заранее вовсе не очевидные.

Мы исследовали поведение консервативной системы. В действительности популяции видов могут расти лишь до некоторого предела, до значений Х{т\ F(m), отвечающих насыщению. Предел размножения жертв выражается соотношением (Ферхулст)

X = кхХ Х - kXY, (15.35)

Ло-прежнему

Ґ = k'XY-kzY. (15.36)'

•Система (15.35), (15.36) более не консервативна и не имеет постоянной движения.

Уравнения типа (15.25) обобщаются на любое число взаимодействующих популяций. Исследование соответствующих систем важно для экологии.

Уравнения автокатализа Лотка, сходные с уравнениями Вольтерра, также приводят к периодическому поведению. Мы видим, что нелинейные асимметрические системы способны к поведению, упорядоченному во времени.

Мы видели, что для химических процессов

d Ya = 4" 2 vtdsf4 < 0 (15.37)

(ср. (15.3)). Вблизи стационарного состояния

Тбха = Syid (s*^i) <0. (15.38)

i

Разлагая dvi в ряд по ds&i, получаем

3

где L'ij — (pVi/d^j)^ — производные, взятые для стационарного состоянияВообще говоря, L'ij может содержать как симметричную, так и антисимметричную часть. В условиях линейности, т. е. вблизи равновесия, коэффициенты L.i совпадают с коэффициентами Онзагера и антисимметричные их ча

сти равны нулю. Вдали от равновесия это также возможно. Тогда

TdxO « dxҐ ^ 0, (15.40)

где

7-»/г31,б^М (15.41)

i,i

есть кинетический потенциал. Однако если антисимметричные части L-'^ отличны от нуля, то в общем случае кинетический потенциал не существует. Допустим, что два химических процесса описываются антисимметричной матрицей L{j, т. е.

^11 = l22 = °> L12 == — L21= — h' ?

Тогда

Тбха — L'{bsl2d{bsЈx) — 6.яМ(б^2)) < 0. (15.42)

Такая система вращается вокруг стационарного состояния, не попадая вРис. 15.10. Обращение вокруг стационарного состояния антисимметричной системы

*&2

него. Фазовая диаграмма имеет вид, показанный на рис. 15.10; точка, отвечающая стационарному состоянию, есть центр. Вводя полярные координаты г и ф на плоскости sЈu s&2, имеем

Tdxa = —L'r*dcp ?<: 0. (15.43)

Но функция — Ь'г\ не является потенциалом — опа возрастает на InUr* при каждом обороте.

Именно с такой ситуацией мы встретились при рассмотрении системы Лотка — Вольтерра.

§ 15.4. Автокаталитические системы

Рассмотренная нами химическая автокаталитическая система Лотка является колебательной, опа характеризуется особой точкой типа центра. Обратимся к другим, более сложным точечным автокаталитическим химическим системам. Исследуем так называемый «брюсселятор»—модель Пригожина, Лефевра и Ни-дсолиса.

Имеем четыре сопряженных реакции:

А-^Х, (I)

2Х + Y ^> ЗХ, (И)

В + X ^ D + Yi (III)

Х^Е. (IV)

Суммарная реакция есть A + B->-D + E. Реакция (И)'—автокаталитическая.

Кинетические уравнения для промежуточных веществ X и Y имеют вид

X = кхА + k2X2Y— к3ВХ — /с4Х,

Y = -к2ХП + кфХ. (1544)

Введем безразмерные переменные

т = k4t, х = X^kilkb у = Yyk2/kit

а = А (kjk*)\к2[к4, Ъ = Bk3lkt.

Получаем уравнения

dxjdi = а + х*у — Ьх — xf dy/dx — —х2у + Ьх.

(15.45)

Такие же уравнения получатся при к\ = к7 = к3 = к4 = 1 и i = f. Находим стационарное решение, приравняв левые части уравнений (15.45) нулю. Из второго уравнения находим x*yQ = bxQ; подставляя в первое уравнение,

получаем х0 = а и, следовательно, у0 >= b/а. Это решение единственное. Исследуем его устойчивость. Ищем решения (15.45) в виде

х — a -j- а ехр (1х), у ~ Ь/а + р* ехр (Хт), (15.46)

причем |а|, \$\ <а, b/а. В линейном приближении получаем

аХ = (6 —1)а-|-а2р, $1 = —Ьа — а2? я характеристическое уравнение

12 + (а2+1 — Ь)к + а* = 0, (15.47)

имеющее корни

К 2 = -V2(«2 + 1 - Ь) ± »/2У (а2 + 1 - б)2 - 4й2. (15.48)

Так как ЛД2 = а2 >• О, корни либо действительны и имеют одинаковые зна-2<и, либо комплексно-сопряженные. Следовательно, мы имеем дело со случаями 1, 2 или 5, 6 классификации, приведенной на с. 490. Особая точка, отвечающая стационарному состоянию, есть устойчивый или неустойчивый узел или фокус. Система становится неустойчивой при переходе параметра Ъ через значение, удовлетворяющее условию

р . А2 + 1 _ ь = 0,

Значение bKV = а2 -f- 1 является критическим, бифуркационным. Парабола Ь = а2 + 1 на плоскости а, Ь отделяет устойчивые области от неустойчивых: при Ъ > &нр = а2 + 1 система имеет неустойчивые узлы или фокусы, при Ъ < 6Нр = а + 1 — устойчивые узлы или фокусы. Самой параболе Ь =*--= а2 + 1 отвечают центры — при этом значении К\,2= ±ei и система выполняет незатухающие колебания. Кривые, отделяющие область фокусов от области узлов, находятся из условия равенства нулю корня квадратного в (15.48). Получаем

Ъ = (а±1)2.

Таким образом, плоскость а, Ь разбивается на четыре области (рис. 15.11). В области / отклоне

страница 188
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228

Скачать книгу "Биофизика" (6.44Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
курсы эксель на ленинградке
Компьютерные столы MFV Адриан-3 с надставкой
выпрямление вмятин на авто на заднем крыле
кпу-4 клапан дымовой

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(06.12.2016)