химический каталог




Биофизика

Автор М.В.Волькенштейн

(15.17)

Интегральная кривая есть

dj_ dx

Ьгх -f Ь2у

(15.18)

Ищем решения уравнений (15.17) в виде

х = Aexp(Xt), y = Bexp(Xt).

Подставляем эти решения в (15.17). Получаем два однородных уравнения относительно х и у. Условие их совместности имеет вид

а1 — X а2

= О

bl Ъ2 — X

или

X2 - {а, + Ь2)Х + афг - а2Ьх = 0.

(15.19)

Так как это квадратное уравнение имеет два корня, Xi и Х2, и система уравнений (15.17) линейна, полное ее решение имеет вид

х — Ai exp(M) + А2 ехр(М), у = Bi ехр (kit) + Вг ехр (k2t).

Значения Аи А2, Bit В2 определяются начальными условиями, т, е. величинами х, г/, i, у при t = 0.

В случае осциллятора с трением а4 ==0, а2 — 1, bi ~ =— щ, Ъ2 = — 2h.

Общая классификация особых точек, данная Пуанкаре, основывается на поведении интегральных кривых

окрестности

в ближайшей этих точек.

Если дискриминант характеристического уравнения D = -(а1-о2)г-4а2о1 ^ 0, то оба корня Хи Х2 действительны. Если при этом а^Ьъ — a2bl>Qf то их знаки одинаковы. Имеем следующие случаи:

1. Хи Х2 < 0. Решение имеет вид убывающих со временем экспонент, т. е. система, выведенная из особой точки, в нее возвращается. Особая точка есть устойчивый узел.

2. Х1у Х2 > 0. Система удаляется от особой точки, являющейся неустойчивым узлом.

3. Если 2)<0 и aj}2~ a2bi<0, то корни Xlt Х2 имеют разные знаки. Особая точка является неустойчивой и именуется седлом. Через нее проходят две интегральные кривые, называемые сепаратрисами. Остальные фазовые траектории уходят в бесконечность, минуя особую точку.

4. Если D < 0, но dib2 — a2bi = О, т. е. D = — (а± + Ь2)2, то л4 =>

= 0, Я2 = ai + »2. Один из корней равен нулю. Для линейной системы (15.17) получается не особая m

точка, но прямая, соответствующая

стационарным состояниям, в которую упираются остальные интегральные прямые, направление движения

по ним зависит от знака а2.

Если дискриминант D > 0, то корни Ai, а2 комплексно-сопряженные.

5. Действительные части Ai, а2 отрицательны, т. е. at + Ъ2 < 0. В системе происходят затухающие колебания; особая точка, на которую накручиваются спиральные фазовые траектории, есть устойчивый фокус.

6. Действительные части At, Х2 положительны, т. е. 0. Особая точка есть неустойчивый фокус, соответствующий колебаниям, нарастающим по амплитуде.

7. Корни At = — а2 мнимые, т. е. di + Ь2 = 0. В системе происходят незатухающие колебания, особая точка есть центр. Фазовые траектории колебаний представляют собой концентрические эллипсы.

Виды особых точек показаны на рис. 15.5.

Особая точка изображает устойчивое или неустойчивое равновесие или стационарное состояние. Определение устойчивости состояния равновесия (применимое и к стационарному состоянию) по Ляпунову гласит:

«Состояние равновесия устойчиво, если для любой заданной области е допустимых отклонений от состояния равновесия имеется область 6(e), окружающая это состояние и обладающая тем свойством, что ни одно движение, начинающееся внутри 6, никогда не достигает границы области е». И наоборот, состояние равновесия неустойчиво, если имеется область е, для которой область 6(e) не существует. Пусть на фазовой плоскости область е есть квадрат; тогда состояние х = х0, у = у0 устойчиво, если, задав наперед сколь угодно малое положительное значение е, можно найти такое 6(e), что если при t — 0

U(0)-ar0I<6 и \у{0)-г/о! < 6,

то при t -> 00

\x(t) — x0\Именно с такого типа устойчивостью и неустойчивостью мы имеем дело.

Излагаемая здесь теория нелинейных динамических систем развита школами Мандельштама и Андронова.

Теория нелинейных динамических систем различает «грубые» и «негрубые» системы. В первом случае малые изменения параметров системы не изменяют ее общего поведения — математическая модель устойчива по отношению к малым изменениям вида дифференциальных* уравнений. Ситуации, отвечающие пунктам 1, 2, 3, 5, 6 приведенной выше классификации, характеризуют грубые системы. Напротив, в случаях 4 и 7 системы негрубые. В самом деле, в случае 4 значение параметра aib% — aa&i ~ 0 яв-\Р ляется критическим, при переходе от положительного к отрицательному значению параметра вместо устойчивого узла возникает седло. В случае 7 критическим является значение ai + b2 = 0 — при пере-Рис. 15.6. Области особых точек ходе at + b2 > 0 а{ + bt = О -**»? a,i + Ь2 < О особые точки изменяют свой характер: неустойчивый фокус центр устойчивый фокус.

Значения параметров системы, при которых она меняет свое поведение, называются критическими или точками бифуркации.

Вернемся к характеристическому уравнению системы с двумя степенями свободы (15.19). Перепишем его в виде

Я2 + рЛ + д = 0.

(15.19а)

Коэффициенты р, q являются функциями параметров системы — в рассмотренном случае параметров аи а2, bu Ь2. Области различных особых точек >добно представить на плоскости р, q (рис. 15.6). Корни Яц Я2 имеют отрицательную действительную часть только при р > 0, q > 0. Комплексные корни, с

страница 185
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228

Скачать книгу "Биофизика" (6.44Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
ssd накопитель kingston a400 sa400s37 240g
рекламная пленка на окна
концерты сопрано турецкого в москве
интернет магазин компьютерное кресло

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(20.10.2017)