химический каталог




Биофизика

Автор М.В.Волькенштейн

стических задач.

§ 15.2. Физико-математические основы динамики нелинейных процессов

Определим метод изучения биологической системы как построение динамической модели и ее описание дифференциальными уравнениями, т. е. как построение системы уравнений и исследование их решений.

Достаточно общая форма математической модели имеет вид

dx1

(15.6)

dx,\ — / ч

где хи ..., xN — физические переменные, характеризующие си-486 стему, зависящие от времени и начальных условий, %Ги ..., ЗГц — в общем случае нелинейные функции этих переменных. Так, величины Xi могут выражать концентрации метаболитов или числа особей.

Обычный метод исследования нелинейных уравнений типа (15.6) состоит в их линеаризации. Ищутся стационарные значения переменных х\, х\, ..., х%, являющиеся решениями уравнений (15.6) при Xi = ,.. = х,* = 0. Далее исследуются линейные уравнения, записанные в переменных, представляющих малые отклонения от стационарных значений хх — х". При этом можно пренебречь членами второго порядка малости, нелинейными относительно Xi — х\.

Начнем изложение с исследования простой линейной модели— осциллятора с трением. Уравнение движения имеет вид

тх + Ъх + кх — 0. (15.7)

Оно содержит лишь одну переменную — отклонение от положения равновесия х. Однако мы можем перейти к системе двух уравнений типа (15.6), введя вторую переменную — скорость у = х. Имеем

У=-~У~~х. (15.8)

Оба уравнения линейны, как и исходное (15.7). Его решение

имеет вид

х — Ах exp(AtЈ) + Л2ехр(Ы), (15.9)'

где Ai и А2 — корни квадратного уравнения (см. далее с. 490)

А2+— А+ — =0. (15.10)

При Ь2 > Акт эти корни действительны, при Ь2 < Акт — комплексны. В первом случае процесс имеет характер апериодического затухания, во втором — затухающих колебаний. Значения At и А2 определяются начальными условиями.

Рациональный метод исследования динамической системы состоит в получении ее «фазового портрета*. Поведение системы представляется движением изображающей точки на фазовой плоскости х, у, где у = х. Если число переменных больше двух, то речь идет уже не о фазовой плоскости, но о фазовом пространстве. Во многих случаях, однако, оказывается возможным ограничиться системами второго порядка типа (15.8)', т. е. N = 2.

На фазовой плоскости точка движется по фазовой траектории с фазовой скоростью. Уравнение фазовой траектории для осциллятора с трением получим, исключив время из уравнений (15.8). Для этого разделим второе уравнение на первое:

§г =* —Vs-' (1511)

местом точек, в которых касательные ко всем интегральным кривым имеют одинаковый наклон. В случае осциллятора уравнение изоклины с наклоном % имеет вид

dy/dx — х

или

» = « = - JTJS *• <1512>

Таким образом, изоклины представляют собой прямые, проходящие через начало координат — через особую точку х = 0, у = 0.

Решение уравнения (15.11) при Ь2<Ак/т или ^2<Ссоо имеет вид координатного уравнения

у2 + 2hxy + CD0V = С ехр (%~- arctg Ј±±E)t (15.13)

где С — постоянная, определяемая начальными условиями. Этому решению соответствует семейство логарифмических спиралей, показанное на рис. 15.2. Векторное поле, построенное с помощью изоклин, изображено на рис. 15.3.

Фазовая скорость находится из следующего уравнения:

\ = ix + jy, (15.14)

где i и j — единичные векторы. В нашем случае из уравнений (15.8) следует

? = iy + j (— 2hy — <4х)

и

I v |2 - & + f = wfc2 + ttmtxy + (1 + Ш) уК

Фазовая скорость убывает по мере приближения к началу координат и обращается в нуль в этой точке.

При /i = 0, т. е. 6 = 0, трения нет, система становится незатухающим гармоническим осциллятором. Интегральные кривые представляют семейство эллипсов

уг -\- calx2 = const. (15.15)

Уравнение изоклин имеет вид у = — tt^e/Xj фазовая скорость у =« ?= iy — joatx.

Для затухающего апериодического процесса 62> Шт+ т. е. К1 >> Юд. Корни характеристического уравнения

л12 = —h± Yh? — ю2.

Фазовый портрет системы показан на рис. 15.4.

В описанных примерах мы имеем дело с различными типами особых точек, во всех трех случаях расположенных в начале координат. Для гармонического осциллятора без трения все фазовые кривые замкнуты, имеют форму эллипса. Они охватывают особую точку, называемую центром. Для затухающих колебаний особая точка является асимптотической точкой всех кривых, имеющих вид вложенных друг в друга спиралей. Такая точка называется фокусом. Наконец, при апериодическом затухании все кривые проходят через особую точку, именуемую узлом.

Проведем общее исследование особых точек для системы второго порядка. Имеем два нелинейных дифференциальных уравнения:

х = а,х + агу + Хг{х, у),

y = biX + biy + Yz{x, у), ' '

где Хг, Y2 — полиномы, содержащие члены порядка выше первого относительно х и у. Правые части уравнений обращаются в нуль в начале координат х = 0, у = 0. Следовательно, это особая точка, отвечающая стационарному состоянию х — 0, у = 0. Ограничиваясь линейным приближением, т. е. рассматривая лишь окрестность этой точки, имеем

х — аа + агу, у = bkx + b2y.

страница 184
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228

Скачать книгу "Биофизика" (6.44Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
MIK Стол CHDT - 4260 SBP GR CHERRY
компьютерны курсы в москве
столичный курьер такси
бейсбол экипировка

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(09.12.2016)