химический каталог




Этюды о симметрии

Автор Е.Вигнер

кта. Один из способов убедиться в полноте наших знаний законов природы состоит в том, чтобы доказать возможность произвольного выбора всех начальных условий, однако в области очень больших или очень малых масштабов такой подход неприменим (мы не в состоянии изменить орбиты планет или проследить во всех подробностях поведение атомных частиц). Я не знаю других критериев, которые были бы столь же однозначны, но правильно выбранный, т. е. минимальный, набор начальных условий обладает одним характерным свойством, о котором нельзя не упомянуть.

Минимальный набор начальных условий не только не допускает никаких точных соотношений между своими элементами, наоборот, имеются основания полагать, что элементы минимального набора случайны или некогда были случайными в той мере, в какой это допускают наложенные извне связи. Свою мысль я хочу сначала пояснить на примере, который на первый взгляд кажется противоречащим выдвинутому мной тезису, но в действительности лучше всего демонстрирует как сильные, так и слабые стороны моего утверждения.

Рассмотрим снова нашу планетную систему. Ранее уже упоминалось, что приближенные соотношения между начальными условиями, т. е. между размерами орбит, навели Кеплера на некоторые идеи, от которых Ньютон впоследствии отказался. На первый взгляд кажется, что эти соотношения служат контрпримером, опровергающим тезис о минимальности набора начальных данных. Однако существование соотношений между начальными условиями нас не устраивает, поэтому возникает настоятельная необходимость доказать, что эти соотношения представляют собой не более чем следствия некой ситуации, в которой начальные условия не были связаны никакими соотношениями. Самую интересную попытку в этом направлении предпринял, по-видимому, Вейцзеккер [4]1). Он исходил из предположения о том, что первоначально солнечная система состояла из центральной звезды, окруженной вращающимся газовым облаком (в остальном движение газа предполагалось произвольным). Исходя из этой гипотезы, Вейцзеккер вывел упоминавшееся выше соотношение между радиусами планетных орбит, известное ныне как закон Боде. Предпринимались и более общие попытки вывести аналогичным образом все «организованное движение» и даже существование жизни. Лишь немногие из них были проведены подробно2), но уже самый факт, что такие попытки предпринимались, имеет большое значение.

1) См. также [5].

2) Интересным и хорошо понятным примером могут служить «фокусирую-

щие соударения», в результате которых нейтроны, обладающие большими, но

случайно ориентированными скоростями, превращаются в нейтроны, скорости

которых малы, но имеют предпочтительное направление. См. [6, 7J.

В только что рассмотренных случаях имелось, по крайней мере кажущееся, противоречие со стохастической природой неконтролируемых начальных условий. Делались попытки показать, что «организованным» (точнее, кажущимся «организованным») начальным условиям предшествовало состояние, в котором неконтролируемые начальные условия были случайными. В целом такие ситуации представляют собой не правило, а исключение. В большинстве случаев у нас нет причин сомневаться в случайном характере неконтролируемых начальных условий, т. е. таких условий, которые мы не можем изменять по своему усмотрению. Случайный характер этих начальных условий подтверждается правильностью тех заключений, к которым мы приходим, исходя из предположения об их стохастичности. С такими ситуациями мы встречаемся в кинетической теории газов и вообще всюду, где процессы сопровождаются возрастанием энтропии. Создается впечатление, что законы природы служат концентрированным выражением простого и изящного порядка, в то время как начальные условия (если только они неконтролируемы) выражают столь же простую и изящную нерегулярность. Маловероятно поэтому, что какой-нибудь из законов природы остается еще не замеченным.

Предыдущее рассмотрение характеризует законы природы как то регулярное, правильное, что имеется в поведении объекта. В квантовой теории такая точка зрения естественна: законы квантовой механики допускают адекватную формулировку в терминах корреляций между последовательными наблюдениями над объектом. Эти корреляции и являются теми закономерностями, которые определяются законами квантовой механики1). Утверждения классической теории, ее уравнения движения, обычно не рассматриваются как корреляции между наблюдениями. Тем не менее их назначение и функция состоят в задании таких корреляций, и в сущности они представляют собой не что иное, как краткое выражение таких корреляций.

ЗАКОНЫ ПРИРОДЫ И ИНВАРИАНТНОСТЬ

') См,, например, в статье [8] раздел «Что такое вектор состояния?» Эта статья включена в данную книгу (стр. 141).

Мы перестали ждать от физики объяснения всех явлений, относящихся даже к грубой структуре Вселенной, и хотим лишь открыть законы природы, т. е. порядок, которому подчиняются явления. Сказанное в предыдущем разделе позволяет надеяться, что интересующие нас закономерности образуют множество, допускающее четкое определение, хорошо отличимое от того, что мы называем начальными условиями и что обладает сильным элементом случайного, однако мы еще очень далеки от окончательного установления множества законов природы. Более того, если верно, что законы природы выражают точный порядок, то есть все основания полагать, что нам известна лишь бесконечно малая часть этого множества. Лучшим подтверждением может, по-видимому, служить факт, уже упоминавшийся здесь шесть лет назад Янгом: разнообразие типов взаимодействий. Янг назвал четыре из них: гравитационное, слабое, электромагнитное и сильное. Сегодня нам кажется, что существуют два типа сильных взаимодействий. Все названные взаимодействия играют роль во всяком процессе, но трудно, а быть может, и невозможно поверить в то, что законы природы должны обладать той степенью сложности, которая следует из существования четырех или пяти различных типов взаимодействий (никакой связи или аналогии между ними пока не открыто).

Естественно поэтому искать некий саерхпринцип, который относится к законам природы так же, как законы природы — к явлениям. Законы природы позволяют нам предвидеть одни явления на основе того, что мы знаем о других явлениях. Принципы инвариантности должны позволять нам устанавливать новые корреляции между явлениями на основании уже установленных корреляций между явлениями. Именно это они и делают. Если установлено, что события Л, В, С, . .. влекут за собой событие X, то события Л', В\ С, ... с необходимостью влекут за собой событие Хг при условии, что А', Вг, С, ... и I' получаются из Л, В, С, ... и X при действии одного из преобразований симметрии (инвариантности). Существует три категории таких преобразований симметрии:

а. Евклидовы преобразования. Явления Л', В\ С, ... и X' происходят в различных точках пространства, но находятся в том же отношении друг к другу, что и события Л, В, С, ... и X.

б. Сдвиги во времени. События А', В', С, ... и X' происходят в различное время, но отделены друг от друга такими же интервалами времени, как события Л, В, С/ ... и X. в. Разномерное прямолинейное движение. В системе координат, движущейся равномерно и прямолинейно, события Л', В', С, ... и X' происходят так же, как и события Л, В, С, ... и X.

Первые две категории принципов инвариантности всегда считаются твердо установленными. Действительно, нетрудно показать, что законы природы нельзя было бы познать, если бы они не удовлетворяли некоторым элементарным принципам инвариантности, относящимся к категориям «а» и «б», (т. е. если бы законы природы менялись от точки к точке или были различными в разные моменты времени). Принцип инвариантности, относящийся к категории «в», не столь естествен, и его нередко подвергали сомнению. Именно в восстановлении доверия к этому принципу и в его обосновании состоит величайшее достижение эйнштейновской специальной теории относительности. Позднее мы рассмотрим этот вопрос подробнее, но сначала полезно сделать несколько общих замечаний.

Первое замечательное свойство, присущее перечисленным выше принципам инвариантности, состоит в том , что все они геометрические, по крайней мере если под основным геометрическим пространством понимать четырехмерное пространство-время. Это означает, что соответствующие преобразования симметрии изменяют не события, а лишь их положение в пространстве и времени и их состояние движения. Нетрудно представить принцип, согласно которому, например, протоны заменяются электронами и, наоборот, скорости — координатами и т. д.1).

Второе замечательное свойство перечисленных нами принципов состоит в том, что они являются скорее принципами инвариантности, нежели принципами ковариантности. Это означает, что они постулируют одинаковые заключения как для «штрихованных», так и для «нештрихованных» посылок. Вполне мыслима такая ситуация, когда протекание некоторых событий Л, £>, С, ... обусловливает протекание событий Хи Х2, Аг3. . . с определеными вероятностями ри pZt р3, .... Протекание событий Л', Вг, С, ... (полученных из исходных событий Л, В, С, ... при преобразованиях симметрии) могло бы, вообще говоря, изменять вероятности протекания «преобразованных» следствий

Х\, Х'2у Хз, например, следующим образом:

однако в действительности этого не происходит, поскольку всегда выполняется равенство р\ ~ рг

') Возможность принципа инвариантности, согласно которому скорости можно заменять координатами и наоборот, изучал Борн [9—11].

2) Кросс-симметрия была установлена в работах Гольдбергера [12], Гелл-Манна и Гольдбергера [13]. Более подробную библиографию можно найти в книге [14]. Связь между различными типами принципов симметрии была рассмотрена в двух недавно опубликованных статьях автора [15, 16]. (Первая из статей приведена в этой книге, см. стр. 241.) См. также [17].

И первое и второе свойства принципов симметрии заслуживают особого упоминания, потому что существуют принципы симметрии—так называемая кросс-симметрия, или соотношения в кросс-каналах2), — которые, по-видимому, носят точный характер и явно не зависят от конкретных типов взаимодействий. В этом отношении кросс-симметрия до некоторой степени напоминает геометрические принципы инвариантности. В то же время между кросс-симметрией и геометрической инвариантностью существуют различия: преобразования кросс-симметрии изменяют события, и она в большей мере относится к принципам ковариантности, чем инвариантности. Так, зная сечение рассеяния протона на нейтроне, мы с помощью соотношений в кросс-каналах можем вычислить сечение рассеяния антипротона на нейтроне. Ясно, что первое явление отличается от второго, и сечение рассеяния антипротона на нейтроне не совпадает с сечением рассеяния протона на нейтроне, но получается из последнего в результате весьма сложных математических выкладок. Таким образом, соотношения в кросс-каналах, хотя они и не зависят от конкретного типа взаимодействия, не следует относить к числу геометрических принципов инвариантности, и мы не будем рассматривать их здесь. Точно так же нас не будут интересовать динамические принципы симметрии, отражающие симметрию отдельных типов взаимодействий и не допускающие формулировку в терминах явлений (см. работы [15—17]).

Что же касается геометрических принципов, то следует заметить, что они зависят от того, как приходит граница между начальными условиями и законами природы. Так, закон природы, выражаемый уравнением (2) или (2а), получается из закона Ньютона дифференцированием по времени: он инвариантен относительно перехода к произвольной системе координат, движущейся с постоянным ускорением:

г; = г, + t4, Г - /, (3)

где а — произвольный вектор. Ясно, что такой дополнительный принцип не может приводить к физическим следствиям, поскольку если начальные условия гг, rf, rf реализуемы [т. е. удовлетворяют уравнению (1)], то преобразованные начальные условия

r'i — Tt, и = Г(, п = п + 2а не могут быть реализуемыми.

1) См. [18]. Сомнения относительно геометрического характера постулата об инвариантности относительно общих преобразований координат были ранее также высказаны Кречманом [19].

Рассмотренные нами принципы симметрии представляют собой не что иное, как принципы симметрии ньютоновской механики и специальной теории относительности. С полным основанием можно задать вопрос: почему ничего не было сказано о гораздо более общих принципах инвариантности общей теории относительности, также носящих на первый взгляд геометрический характер? Причина, по которой я умолчал о последних принципах, заключается в том, что я, разделяя взгляды Фока1), не считаю преобразования криволинейных координат общей теории относительности преобразованиями симметрии в том смысле, как это понималось выше. Преобразования общей теории относительности принадлежат к числу так называемых активных преобразований, заменяющих события Л, В, С,... событиями Af, В', С, ... . До тех пор пока активные преобразования считаются допустимыми, ни о какой инвариантности, имеющей физический смысл, не может быть и речи. Тем не менее, ограничив свои действия лишь заменой одной системы криволинейных координат другой, мы придем к «новому описанию» в смысле Мелвина [20]. Такая замена не изменяет событий и не определяет какой-либо структуры в законах природы. Сказанное вовсе не означает, будто преобразования общей теории относительности не являются полезными средствами отыскания правильных законов гравитации — ясно, что они полезны.

Однако, как я уже говорил [15-47], принцип, который они позволяют сформулировать, отличается от рассмотренных в этой лекции геометрических принципов инвариантности и принадлежит к числу динамических принципов.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИНЦИПОВ ИНВАРИАНТНОСТИ, ПРИБЛИЖЕННЫЕ ИНВАРИАНТНОСТИ

В двух предыдущих разделах мы неоднократно подчеркивали внутренний смысл принципов инвариантности, представляющих собой строгие корреляции корреляций между событиями, существование которых постулировано законами природы. Уже одно это указывает на, несомненно, наиболее важное в настоящее время использование имеющейся в нашем распоряжении системы принципов инвариантности: они играют роль пробного камня при проверке правильности предполагаемого закона природы. Закон природы считается правильным лишь при условии, если постулируемые им корреляции согласуются с принятыми принципами инвариантности.

1) См. [22—24]. Аналогичные результаты почти одновременно с Эйнштей-

ном получил Гильберт [25].

2) См. [26, 27]. В последней книге можно найти дальнейшие ссылки.

Кстати сказать, основополагающая статья Эйнштейна [21], в которой он приходит к формулировке специальной теории относительности, может служить ярким подтверждением высказанного только что мнения. В этой статье Эйнштейн обращает внимание на то, что корреляции между событиями одинаковы во всех системах координат, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, хотя в то время причины, которым приписывались эти корреляции, считались зависящими от состояния движения координатной системы. Эйнштейн чрезвычайно широко использовал принципы инвариантности при угадывании правильной формы закона природы — в данном случае закона тяготения, — постулируя, что этот закон не должен противоречить введенным им принципам инвариантности1). Столь же замечательным примером в наши дни может служить использование принципов инвариантности в квантовой электродинамике. Эта область физики не является последовательной теорией. Строго говоря, ее вообще нельзя назвать теорией в подлинном смысле этого слова, поскольку ее уравнения противоречат друг другу. Тем не менее эти противоречия удается достаточно разумно разрешить, приняв постулат о том, что следствия, вытекающие из квантовой электродинамики,, должны согласовываться с требованиями теории относительности 2). Другой подход, еще более фундаментальный, пытается аксиоматизировать квантовые теории поля. Краеугольным камнем всей аксиоматики служат принципы симметрии1). Мне не хотелось бы больше задерживаться на этом вопросе, поскольку его уже обсуждали достаточно часто и красноречиво. Кроме того, некоторые его аспекты были рассмотрены мной раньше [12—17].

Служить пробным камнем для проверки «кандидатов» в законы природы — по-видимому,-наиболее важная функция принципов инвариантности, но она не единственна. Во -многих случаях следствия из законов природы удаётся вывести, руководствуясь особыми свойствами, присущими математическому аппарату теории, и постулируя, что эти законы—точная форма которых может быть неизвестна — не противоречат принципам инвариантности. В качестве наиболее яркого примера такой ситуации сошлемся на вывод законов сохранения импульса, углового момента, энергии, движения центра масс на основе либо лагранжевой схемы классической механики, либо гильбертова пространства квантовой механики с помощью перечисленных выше геометрических принципов инвариантности2). Замечу кстати, что законы сохранения — это единственные известные в настоящее время универсальные корреляции между наблюдениями. Для тех, кто выводит законы сохранения из геометрических принципов инвариантности, ясно, что область применимости этих законов выходит за рамки любых частных теорий (гравитации, электромагнетизма и т. д.), практически обособленных друг от друга в современной физике. Связь между принципами инвариантности и законами сохранения (в число последних в понимаемом здесь контексте непременно входит закон движения центра масс) неоднократно и со всеми подробностями обсуждалась в литературе.

В квантовой теории принципы инвариантности позволяют прийти к еще более далеко идущим заключениям, чем в классической механике, и мой интерес к принципам инвариантности первоначально был связан именно с этим обстоятельством. Причина возросшей эффективности принципов инвариантности кроется в линейности положенного в основу квантовой теории гильбертова пространства3). Последнее означает, что из любых двух векторов состояния и ij?2 можно построить бесконечно много новых векторов состояния:

') См. статью Вайтмана [28] и многочисленные другие работы в том же сборнике.

2) См. работы [29—33]. Квантовотеоретический вывод законов сохранения

дал Вигнер [34]. В этой же статье приведен закон сохранения четности, спра-

ведливый, как показано в [1, 2], лишь приближенно. Относительно несохране-

ния четности см. также работу [28].

3) Это замечание я впервые услышал от Янга на праздновании столетия

со дня основания колледжа Брин Моур. См. также мою статью [35].

г|> = + а2%, (4)

где ai и й2—произвольные числа. Аналогично можно построить суперпозицию нескольких состояний (их может быть даже бесконечно много). То, что состояния допускают суперпозицию, физически отнюдь не очевидно. В частности, даже зная, как перевести систему в состояния ty\ и я|>2, мы не можем указать способа, позволяющего перевести ее в суперпозицию этих состояний. Рецепт должен был бы зависеть от коэффициентов, с которыми эти два состояния входят в суперпозицию, и, естественно, просто неизвестен. Следовательно, принцип суперпозиции представляет собой не что иное, как постулат существования и только существования, хотя и весьма эффективный и полезный.

Поясним сказанное на примере. В классической теории если одно состояние задано (предположим, что речь идет об орбите какой-нибудь планеты), то другое состояние, т. е. другую орбиту, можно получить из первого при вращении исходной орбиты вокруг центра притяжения. Этот факт интересен сам по себе, но не приводит к каким-либо особенно удивительным следствиям. В квантовой теории дело обстоит точно так же, но помимо этого из состояний, получающихся при повороте из данного, в соответствии с уже упоминавшимся принципом можно образовывать суперпозицию. Если направления осей поворотов, производимых над первоначальным состоянием, были равномерно распределены в пространстве, а результирующие состояния при составлении суперпозиции брались с одинаковыми коэффициентами, то в итоге мы с необходимостью получим состояние, обладающее сферической симметрией. Построение сферически симметричного состояния могло бы закончиться неудачей только в том случае, если бы искомая суперпозиция оказалась нулевым вектором гильбертова пространства, т. е. если бы мы не получили никакого состояния. Но стоит лишь выбрать суперпозицию с другими коэффициентами (в двумерном случае коэффициенты имеют вид eim(P, где ф — угол поворота начального состояния), как результирующее состояние, хотя и не обладающее более сферической, а на плоскости — аксиальной симметрией, по-прежнему будет обнаруживать некоторые простые свойства относительно вращений. Именно эта возможность построения состояний, обладающих либо полной вращательной симметрией, либо, по крайней мере, простыми трансформационными свойствами относительно вращений, и есть то фундаментально новое, что приносит квантовая теория. Стационарные состояния покоящихся систем обладают той высокой симметрией относительно вращений, о которой мы только что говорили. Такие состояния играют важную роль в теории простых систем, например атомов, и их высокая симметрия удовлетворительна с точки зрения логического обоснования теории.

Использование принципа инверсии, или отражения, также основано на принципе суперпозиции. В классической механике, так же как и в квантовой механике, справедливо утверждение: если некоторое состояние возможно, то возможно и зеркальное отражение этого состояния. В классической теории из этого факта нельзя извлечь никаких важных следствий. В квантовой же теории мы имеем право построить суперпозицию исходного состояния и его зеркального отражения с равными или равными по величине, но противоположными по знаку коэффициентами. В первом случае мы получим состояние, симметричное относительно отражения (инверсии), во втором — антисимметричное. Выдающееся достижение Ли и Янга, о котором мы уже упоминали ранее [1, 2], состояло именно в том, что им удалось найти чрезвычайно простую новую интерпретацию физической природы одной из операций инверсии, а именно инверсии пространства, и, кроме того, доказать, что старая интерпретация неверна.-Рассмотрение операции «обращения времени» требует гораздо больших предосторожностей, потому что соответствующий оператор антиунитарен. Теоретически это обстоятельство должно приводить к новому квантовому числу и новой классификации частиц1), однако на практике оно не было использовано.

Мой доклад был бы не полон, если бы я, хотя бы кратко, не упомянул приближенные соотношения симметрии. Подобно всем приближенным соотношениям, они могут выполняться с большой точностью при одних условиях и существенно нарушаться при других. Критические условия могут зависеть от состояния объекта или определять тип явления. Наиболее важным примером соотношений первого рода могут служить малые относительные скорости. В этом случае магнитные поля слабы и направление спинов не сказывается на поведении остальных координат. Мы приходим к известной в спектроскопии схеме связи Рассела — Саундерса (см., например, [37]). Еще более интересным был бы случай очень больших скоростей, при которых величина массы покоя становится несущественной. К сожалению, он не был изучен подробно, хотя первые многообещающие шаги в этом направлении уже сделаны2).

') Подробный анализ операций инверсии см. в [36].

2) См. [38]. Дополнительные операции симметрии образуют конформную группу. Каннингхэм [39] и Бейтмен [40] обнаружили, что преобразования этой группы оставляют инвариантными уравнения Максвелла в пустоте, т. е. уравнения, описывающие распространение света (происходящее, разумеется, «со скоростью света»). Позднее аналогичные рассмотрения были проведены в работах [41, 42]; там же можно найти и более подробную библиографию по этому вопросу.

Наиболее важным примером явлений, обладающих, помимо уже названных, дополнительными преобразованиями симметрии, следует, по-видимому, считать такие процессы, как столкновения между атомами, молекулами и ядрами. Во всех этих процессах слабое взаимодействие, связанное с р-распадом, роли не играет, а инверсия является полноправной операцией симметрии. То же можно сказать и об обычной спектроскопии.

В явлениях другого, не менее интересного типа электромагнитное взаимодействие также имеет лишь второстепенное значение, вследствие чего электрический заряд частиц становится несущественным и возникает новая операция симметрии: перестановка протона и нейтрона или — в более общем плане — членов изотопического мультипл

страница 6
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Скачать книгу "Этюды о симметрии" (2.82Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
где купить наклейки по пожарной безопасности в иркутске
подарочный сертификат для пары на свадьбу москва
антибактериальная обработка кондиционера авто
http://www.kinash.ru/etrade/goods/4319/city/Izhevsk.html

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(15.12.2017)