химический каталог




Этюды о симметрии

Автор Е.Вигнер

и остающийся неопределенным при любом квантовомеханическом преобразовании. Если произвольно положить со = 1, то вакуумный вектор Fo будет удовлетворять соотношению

IFo = F0, (6)

т. е. вакуум будет состоянием с положительной четностью. Од-ночастичное s-состояние будет обладать отрицательной четностью и т. д. Разумеется, «псевдоскалярные» частицы в большей мере характеризуются четными угловыми моментами в показателе степени отрицательной единицы [см. формулу (5)], чем произвольным выбором четных и нечетных состояний, условно определяемым соотношением (6). Обычно из соображений удобства оператор / выбирают с со — 1. Аналогично для частиц скалярного поля

IF = (-lf\ + N's+Ns+-Fi {5а)

где все величины N' имеют для скалярных частиц тот же смысл, какой имели величины /V для псевдоскалярных частиц. Если F описывает набор псевдоскалярных и скалярных частиц, то естественно

IF = (- l)^o+^2+ + (5б)

Теперь мы уже можем подвести итоги обсуждения главного вопроса. Обычно предполагается, что полевые величины должны обладать однозначно определенными трансформационными свойствами или (как в квантовомеханическом случае) унитарный оператор / должен быть определенным с точностью до тривиального множителя со. Приняв такие допущения, мы с необходимостью заключаем, что скалярное поле должно быть либо «истинно» скалярным, либо «псевдоскалярным». Более того, некоторые полагают, будто эти допущения логически необходимы для того, чтобы такие операции симметрии, как инверсия, вообще имели смысл.

Тем не менее все знают, что закон преобразования спинор-ных величин, например дираковского поля ф, отнюдь не однозначен. Янг и Тиомно в своей интересной статье [1]!) о трансформационных свойствах полей со спином 7г при инверсии, послужившей началом обдумывания широкого круга родственных проблем, по существу исходили из предположения о неоднозначности в выборе знака /ф/~*. Хотя частицы со спином 4/г, по-видимому, служат наилучшим подтверждением обоснованности

) См. также работы [2—4].

наших сомнений, мы все же считаем необходимым начать с совершенно общей формулировки своей позиции.

Как мы думаем, весь вопрос определяется тем, что можно сказать относительно измеримости полевых операторов. Действительно, если поле измеримо, то математическое ожидание любого его состояния должно иметь вполне определенное значение. Ситуация в этом случае эквивалентна классической, когда мы вправе утверждать существование определенного закона преобразования лишь потому, что поля считаются вполне определенными физическими величинами. Однако если какая-нибудь полевая величина неизмерима (а, как мы увидим ниже на примере дираковского поля, такие величины встречаются), то отпадает логическая необходимость в существовании закона преобразования, не содержащего ни Одного неопределенного элемента.

Допущение о том, что «все эрмитовы операторы соответствуют измеримым величинам», нередко с полным основанием называют неотъемлемой частью общей схемы квантовой механики. Верно и то, что в случае обыкновенной (нерелятивистской) квантовой механики частиц это допущение, как бы неправдоподобно оно ни звучало для всех операторов, кроме наиболее простых, не встречает сколько-нибудь серьезных возражений. Однако вряд ли необходимо подчеркивать, что перенесение целиком постулата об измеримости на физические абстракции, которыми оперирует современная полевая теория «элементарных» частиц, является чудовищной и ничем не оправданной экстраполяцией, в особенности если учесть чрезвычайно низкий уровень наших знаний истинных законов взаимодействия частиц.

Изложенная только что позиция внутренне непротиворечива. Это станет ясным, если принять во внимание возможность построения логических схем, не содержащих постулата об измеримости величин, отвечающих всем без исключения эрмитовым операторам. То обстоятельство, что природа таких схем до сих пор широко не обсуждалась, особенно удивительно, если вспомнить об общеизвестной неизмеримости дираковского поля.

Более точно нашу мысль можно сформулировать так. Согласно обычному допущению квантовой механики, можно произвести «полный» набор измерений, результат которых (с точностью до тривиального фазового множителя) полностью определяет вектор состояния F. Предположим теперь вместо этого, что гильбертово пространство можно разбить на ряд ортогональных подпространств Л, Я, С, обладающих следующим свойством: относительные фазы проекций вектора F на Л, В, С, ... физически несущественны. Иначе говоря, предполагается, что если эти проекции (которые сами являются векторами)обозначить Fa, Fb, FCt .. ., то никакое физическое измерение не сможет отличить вектор состояния

?a + Fb + Fc+ ... (7)

от вектора состояния

eiaFa + e^Fb + e^Fc + ..., (7а)

где а, |3, у, ... — произвольные фазы. Отсюда ясно, что среднее значение любого оператора, матричные элементы которого связывают подпространства Л и В или Л и С и т. д., вообще говоря, полностью неопределенно. Следовательно, такому оператору никакая измеримая величина не отвечает. Такое допущение не противоречит другим правилам квантовой механики, и в частности принципу суперпозиции: линейное соотношение между векторами сохраняется, если все векторы одновременно подвергаются преобразованию (7а). Последнее преобразование можно рассматривать как обобщение обычного умножения вектора на один фазовый множитель.

Другой, более знакомый способ описания этой ситуации состоит в следующем. Говорят, что состояние (7а) является не чистым состоянием, а статистической смесью, которую лучше всего описывать матрицей плотности ). Согласно принятому выше допущению, матрица плотности содержит максимально возможное количество информации. Разумеется, рассматриваемая нами система может находиться в чистом состоянии, понимаемом в обычном смысле, но только в том случае, если лишь одна из компонент (например, Fa) отлична от нуля. При этом унитарный оператор /, выражающий одну из допускаемых системой операций симметрии, будет определен с известным произволом. Обычно же оператор / не имеет матричных элементов, связывающих подпространства А, В, С, . .., и оставляет инвариантным каждое из названных подпространств. Следовательно, матрицы оператора / в каждом из подпространств А, В, ... содержат произвольный множитель сой, со^, ... аналогично тому, как содержит произвольный множитель оператор /, действующий во всем пространстве. Поскольку волновые функции (7) и (7а) эквивалентны, определить отношения множителей соа, сйь, ... невозможно, и вместо одного неопределенного фазового множителя нам приходится вводить столько таких множителей, сколько имеется подпространств /4, В, ... . Это означает, что мы не можем сравнивать четность состояний, принадлежащих различным подпространствам.

Если векторы состояния каждого подпространства ортогональны ко всем векторам состояний других подпространств (система изолирована), то обычно говорят, что между подпространствами всего гильбертова пространства действует правило отбора. Существует, например, правило отбора, запрещающее изменение полного импульса любого состояния изолированной системы. Векторы состояния подпространства, содержащего все состояния с полным угловым моментом /, в замкнутой системе остаются ортогональными ко всем состояниям с любым другим значением полного углового момента. Будем говорить, что между подпространствами действует правило сверхотбора, если между принадлежащими этим подпространствам векторами состояния не существует спонтанных переходов (т. е. если между подпространствами действует правило отбора) и если, кроме того, нет измеримых величин с конечными матричными элементами, связывающими векторы состояния из этих подпространств. Именно эту ситуацию мы описали выше. Отсюда следует, что все фазовые множители оЛ, со^, • ■ • нена-блюдаемы. Мы хотим показать, что правила сверхотбора указанного выше типа уже существуют в современном формализме релятивистских полевых теорий. Мы докажем свое утверждение для одного случая и укажем другой случай, на который оно, по-видимому, переносится без особых изменений.

Существование правил сверхотбора предоставляет нам большую свободу, чем это, по-видимому, вызывается необходимостью. Мы не будем специально рассматривать вопрос о том, каким образом, максимально используя эту свободу, можно было бы создавать «монстров» с самыми неожиданными свойствами1). Гораздо больший интерес представляют для нас простейшие примеры, в которых особенно отчетливо проявляется описанная выше ситуация. Например, было бы совершенно неверным предполагать, что правила сверхотбора действуют между подпространствами с различными полными импульсами. Разность фаз между такими состояниями измерима, и в действительности каждое измерение координат включает в себя измерение разности фаз между состояниями с различными импульсами.

СПИНОРЫ

Правила сверхртбора между двумя подпространствами всего гильбертова пространства необходимо вводить по крайней мере в одном случае — когда желательно сохранить релятивистскую инвариантность всего пространства. Пусть первое из подпространств Л содержит состояния с полным угловым моментом системы, равным целому кратному й; второе подпространство В содержит состояния с полуцелыми угловыми моментами. Обозначим векторы состояния первого подпространства через fA, ёл, .. •, а векторы состояния второго подпространства через /в, §Bt .... Рассмотрим состояния 2_,/г (fA + +/в), для которых измерение приводит с вероятностью Уг к целому угловому моменту и с точно такой же вероятностью к полуцелому угловому моменту. Предположим, кроме того, что с помощью какого-то измерения мы можем отличить состояние 2"1/г(/А + (в) от состояния 2"Va(/A — /в). Именно это мы имели в виду, говоря о том, что разность фаз между подпространствами Л и В измерима. Как будет ясно из дальнейшего, такое допущение противоречит требованию релятивистской инвариантности.

Наше доказательство этого утверждения основано на использовании преобразования обращения времени. Обращение времени переводит fA в UAKfA и fB в UBKfBt где U — унитарные операторы, а К означает операцию комплексного сопряжения над стоящей за ним величиной. Наиболее важный момент доказательства содержится в равенствах [6]

UAKUAK« 1, UBKUBK=-l. (8)

Разумеется, операторы UAK и UBK, не меняя содержания теории, можно заменить операторами (aUAK и co'Ј/B/(, если | со | = = со'| — 1. Такая подстановка не нарушает равенств (8). Именно это обстоятельство и делает доказательство, основанное на использовании преобразования обращения времени, особенно простым.

Применив операцию обращения времени к состоянию /а +; [+ /в, получим

<*UAKfA + <*'UBKfB-

Коэффициенты со, разумеется, неопределенны, но отношение со'/со, хотя величина его неизвестна, не зависит от векторов состояния /а и (В1). Применив операцию обращения времени еще раз, мы должны получить состояние, неотличимое от исходного состояния fA + fB. Результат двукратного применения обращения времени имеет вид

<*"UAK {«>UAKfA) + n'"UBK (®'UBKfB), (9)

причем

со" со '

Используя это равенство и равенства (8), состояние (9) можно преобразовать к виду

®"uUAKUAKfA + <*f"u'UBKUBKfB =

со'7 со'"

= ~ ~с7~ fa = const ' ~~ fa)- (9a)

Этот результат нетрудно предвидеть заранее, поскольку знаки в равенствах (8) противоположны. Он означает, что состояния /а + /в и /д — /в неотличимы, коль скоро существует оператор обращения времени, удовлетворяющий равенствам (8). К такому же результату можно было бы прийти, рассматривая вместо обращения времени обычные пространственные повороты. Однако анализ при этом стал бы несколько более сложным, поскольку для поворотов не существует равенства, которое было бы аналогично равенствам (8), и оставалось бы неизменным при замене простого преобразования кратным.

Отсюда следует, что измеримость любого эрмитова оператора I с ненулевыми матричными элементами (7а, ЫВ) между подпространствами Л и В (т. е. между состояниями с целым и полуцелым угловыми моментами) приводила бы к противоречию. Действительно, за исключением того случая, когда матричный элемент (fA, У в) имеет чисто мнимое значение, средние оператора g для состояний fA + /в и fA — fB были бы различны, в то время как известно, что эти состояния неотличимы. Если же матричный элемент (}А, £/в) чисто мнимый, то аналогичное утверждение справедливо для состояний }А + ^В, [А — — if в (можно показать, что они также неотличимы).

Поскольку каждое спинорное поле ф обладает тем свойством, что си ф + ф* и — ф*) связывают подпространства Л и В, ни одна из этих двух величин не может быть измеримой (само поле ф не является эрмитовым, поэтому его измеримость не имеет смысла).

ЗАРЯЖЕННЫЕ ПОЛЯ

В существующей ныне форме теории поля заряженным частицам отвечают комплексные поля. Если рассматривается только одно такое поле ф(лг, у, zt /), то функции Лагранжа и Гамильтона, в которые в случае необходимости может быть включено и взаимодействие с внешними полями, содержат ф лишь в виде билинейной комбинации ф*ф и, следовательно, инвариантны относительно умножения ф на фазовый множитель ега. Создается впечатление, что такой множитель является

существенно ненаблюдаемой модификацией поля. Если заряжен-

ных полей несколько, например <рь ф2 то гамильтониан мо-

жет содержать члены вида ф*ф2, ф^ф* и т. д., но во всех

случаях остается инвариантным относительно одновременного

умножения всех полей на один и тот же фазовый множи-

тель eia.

Известно, что указанное свойство связано с законом сохранения полного электрического заряда и может рассматриваться как сильно ограниченная разновидность калибровочной инвариантности. Если Q — полный заряд (за единицу принят заряд электрона е), то умножение <рь фг, ... на eia эквивалентно унитарному преобразованию

ys->e-iaQyseia(l. (10)

Итак, мы приходим к постулату: действие на вектор состояния F оператора eia® не порождает физически наблюдаемую модификацию состояния системы (взаимодействующих) заряженных полей.

Мы не можем привести убедительных доводов, подтверждающих правильность нашего утверждения. Более того, такие доводы предполагают более глубокое понимание природы электрического заряда, отсутствующее у нас и поныне. Предположив, что постулат верен, мы сразу же придем к заключению о невозможности сравнивать между собой четности состояний с различными зарядами.

Отсюда, в частности, следует, что если какие-то экспериментальные данные можно интерпретировать на основе допущения о псевдоскалярном характере заряженного д-мезонного поля и соответствующих трансформационных свойствах других взаимодействующих с ним заряженных полей (протонного, ц.-мезон-ного и т. д.), то эти данные можно интерпретировать и на основе допущения о скалярном характере заряженного л-мезон-ного поля, надлежащим образом видоизменив трансформационные свойства других полей [1—4].

ПРИМЕНЕНИЯ

До сих пор мы подчеркивали одни лишь отрицательные аспекты современной теогяги поля. Выясним теперь, что можно утверждать в положительном смысле.

Прежде всего ясно, что электромагнитное поле изучено несравненно лучше других полей. Установив, что электрическоеполе описывается полярным вектором1), мы сразу же найдем свойства любого состояния, содержащего одни лишь фотоны.

Отсюда нетрудно (по крайней мере, в принципе) найти четность такой частицы, как нейтральный л°-мезон, который может распадаться в чисто фотонные состояния. Другой способ отыскания четности заключается в экспериментальном установлении правил отбора на примере реакции типа

где никакие другие частицы не рождаются и не распадаются.

Обратившись к заряженным частицам, мы обнаружим, что их четности содержат известный произвол. Как это часто бывает, такая ситуация свидетельствует о необходимости введения некоторой системы отсчета, определяемой условно, но оттого не менее полезной. Можно было бы, например, условиться считать, что я—мезоны обладают отрицательной четностью. Такое соглашение позволило бы уменьшить произвол в преобразовании инверсии для других частиц. Так, хорошо известные эксперименты по захвату в дейтерии дают некоторые данные о четности; в приведенной выше системе отсчета их можно интерпретировать, приписав протонному и нейтронному полям фР и фтг такие трансформационные свойства, при которых величина ф*РФЛ будет вести себя как скаляр.

Оставляя в стороне частные примеры, мы хотели бы сформулировать в общих чертах имеющиеся возможности. Это позволит наиболее отчетливо выявить как различие, так и то общее, что имеется во взглядах, излагаемых в нашей работе и в статье Янга и Тиомно [1].

Из предыдущих замечаний уже должно быть ясно, что возможность определения или сравнения внутренних четностей тес-

') Если помимо инверсии /, трактуемой в обычном смысле (знак заряда сохраняется, „электрический вектор Е— полярный вектор), операцию зарядового сопряжения С также причисляют к точным свойствам симметрии природы, то преобразованием инверсии в равной степени можно считать и / и С/. Выбрав в качестве преобразования инверсии С/, мы убедимся в том, что ни одно из обычно рассматриваемых состояний атомов или ядер не будет обладать определенной четностью (состояния с определенной четностью в этом случае будут включать суперпозиции состояний, содержащих протоны и антипротоны и т. д.). Таким образом, преобразование инверсии, определяемое как С/, таит в себе неудобства. Кроме того, отнюдь не доказано, что зарядовое сопряжение С является точным свойством симметрии природы. Вполне возможно (и эту возможность нельзя упускать из виду), что и С и / в природе встречаются как приближенные свойства симметрии, и лишь инвариантность относительно С/ выполняется точно. В этом случае электрическое поле следовало бы считать аксиальным вектором. Справедливости ради заметим, что такая возможность в настоящее время представляется не слишком реалистичной, но связана с возможностью проведения квантовомеханических экспериментов по измерению разности фаз между различными частями функции состояния. Если бы не существовало правил сверхотбора, т. е. если бы все разности фаз принципиально были измеримы, ничто не мешало бы нам сравнивать четности любых частиц. Сделать это можно было бы, построив, например, систему, которая состоит с вероятностью у2 из частицы А с угловыми моментами I и Iz относительно точки и прямой z и с вероятностью у2 из другой частицы В с теми же характеристиками. Если эта система не меняется при отражении в зеркале, параллельном прямой г, и при повороте на угол я вокруг оси, перпендикулярной прямой г, то четности частиц А и В одинаковы. В противном случае четности противоположны ). Более физический (менее абстрактный) способ сравнения четно-стей заключался бы в попытке превратить частицу А в частицу В и проследить за четностями частиц, испускаемыми и поглощаемыми в реакции.

например, работу [6]). Следовательно, четности двух состояний, коль скоро их можно сравнивать, могут быть либо одинаковыми, либо противоположными.

Правило сверхотбора, не позволяющее сравнивать фазы состояний с полуцелыми и целыми угловыми моментами, препятствует и непосредственному сравнению четностей спинорных частиц и частиц с целым спином. Если это единственное правило сверхотбора, то мы все же могли бы сравнить «совместную» четность двух тождественных частиц с четностью частицы с целым спином. Если последняя оказалась бы положительной, то каждой спинорной частице можно было бы попытаться приписать вещественную четность. Если же частица с целым спином обладает отрицательной четностью, то каждой спинорной частице в отдельности можно было бы приписать мнимую четность. Необходимо заметить, что в рамках принятого допущения о единственности спинорного правила сверхотбора и измеримости всех фаз, отыскание которых не запрещается указанным правилом сверхотбора, четности любых двух спинорных частиц можно сравнивать. Как и любое сравнение четностей, такое сравнение позволяет утверждать, что четности спинорных частиц либо одинаковы, либо противоположны. Следовательно, если одна спинорная частица обладает вещественной четностью в указанном выше смысле, то и все остальные спинорные частицы также должны обладать вещественной четностью. Аналогично если какая-то одна спинорная частица имеет мнимую четность, то и все остальные спинорные частицы также имеют мнимые четности. Менее абстрактно тегг же вывод можно сформулировать следующим образом: некоторые пары спинорных частиц распадаются так, что произведение их четностей положительно, другие — так, что произведение их четностей отрицательно. В силу принятых в этом разделе предположений произведение четностей спинорных частиц не может быть мнимым, поскольку каждая пара спинорных частиц способна распадаться на частицы с целыми спинами (может быть, после поглощения нескольких таких частиц). В частности, гипотеза, принятая в этом разделе, исключает случай, когда одна пара тождественных спинорных частиц sj обладает положительной, а другая пара спинорных частиц s2 — отрицательной четностью. Действительно, в этом случае «сумма» пары S] и пары s2 обладала бы отрицательной четностью. Это означало бы, что четность пары, состоящей из одной частицы, взятой из sb и одной частицы, взятой из s2, была бы неопределенной вопреки принятому допущению.

Предположив, что фазы состояний с различными зарядами также не допускают сравнения, т. е. предположив, что имеет место правило сверхотбора для зарядов, мы лишимся прямого способа сравнения четностей частиц с различными зарядами. Однако ничто не мешает сравнивать (не нарушая, разумеется, спинорного правила сверхотбора) произведение четностей двух противоположно заряженных частиц с четностью какой-нибудь одной незаряженной частицы, И в этом случае сравниваемые четности могут оказаться либо одинаковыми, либо противоположными. Поскольку пара тождественных заряженных частиц не может быть нейтральной, принятое нами допущение не позволяет однозначно определить квадрат четности заряженной частицы. Четность частицы с единичным зарядом есть со, причем со — любое число, равное по модулю 1. Всякая другая частица с единичным зарядом (спином того же типа, что и у первой) в силу того же допущения будет иметь четность со или —со, а всякая частица с противоположным зарядом — четность со-1 или —со"1. Ясно, что величина со не имеет непосредственного физического смысла, и ее вполне можно считать единицей. Однако введение комплексной четности со обладает и некоторыми преимуществами, поскольку она напоминает о законе сохранения электрического заряда. Оператор взаимодействия, нарушающий этот закон, по-видимому, нарушает и симметрию относительно инверсии. Предположив существование закона сохранения для тяжелых частиц и приняв соответствующее правило сверхотбора, запрещающее измерение разности фаз между состояниями с различным числом тяжелых частиц, мы введем в четность тяжелых частиц новый неопределенный множитель со', также не имеющий непосредственного физического смысла. По поводу множителя со' можно сделать те же замеча

ния, что и по поводу множителя со. Этот неопределенный фазовый множитель иногда бывает удобно сохранять как полезное напоминание о новом законе сохранения.

Несколько менее общий прием был использован Янгом и Тиомно, которые с помощью подходящего выбора множителей со'= ±1, ±£ для различных частиц исключили многие типы взаимодействий, противоречащих закону сохранения тяжелых частиц. При ином подходе все эти взаимодействия пришлось бы включать в рассмотрение.

ЛИТЕРАТУРА

1. Yang С. N., Tiomno Phys. Rev., 79, 495 (1950).

2. Caianiello E. R., Nuovo Cim., 7, 534 (1951).

3. Caianiello E. R., Nuovo Cim., 8, 749 (1951).

4. Caianiello E. R., Nuovo Cim., 9, 336 (1952).

5. von Neumann J., Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Springer Verlag, Berlin, 1932. (Имеется перевод: Иоганн фон Нейман, Математические основы квантовой механики, изд-во «Наука», М., 1964.)

6. Wigner Е., Nachr. Gesell. der Wissen., Mathematisch-Physikalische Klasse,

Heft 5, 546 (1932). (Статья 21 данной книги.)

7. Wigner Gruppentheorie und ihre Anwendungen auf die Quantenmechanik

der Atomspektren, Friedr. Vieweg und Sohn, Braunschweig, 1931. (Имеется

перевод: Вигнер E., Теория групп и ее приложения к квантовомеханической

теории атомных спектров, ИЛ, 1961.)

СОДЕРЖАНИЕ

Пр

страница 30
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Скачать книгу "Этюды о симметрии" (2.82Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
меню борды для кафе
Стеллаж MFM АБД3-800
курсы маникюр педикюр недорого
сколько стоят курсы кадровика в казани

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(04.12.2016)