химический каталог




Этюды о симметрии

Автор Е.Вигнер

произвольное состояние ф0 системы, для которой требуется доказать закон сохранения, и строят все состояния фа, возникающие при смещении системы из состояния ф0 на а в направлении оси х. Затем рассматривают суперпозицию состояний фа с коэффициентами е~{Ра ния Фр переходить при сдвигах на Ь в состояние е^ьФр с течением времени не утрачивается: если по истечении некоторого периода времени состояние фо переходит в г|эл, то состояние сра переходит в tya, которое получается из фо при сдвиге на а. Это следует из инвариантности уравнений движения относительно сдвигов. Вследствие этой инвариантности и линейности уравнений движения состояние Фр за тот же промежуток времени переходит в состояние

Л оо

При сдвиге на Ь величина 4% умножается на е1^ъ. Таким образом, свойство, которое характеризует состояние с импульсом р, не утрачивается со временем. В этом и состоит закон сохранения импульса.

Аналогичные рассуждения, примененные к другим принципам инвариантности, приводят к другим законам сохранения. Более того, квантование и допустимые значения квантованных величин также естественно возникают из приведенного выше анализа. Например, квантование углового момента является следствием условия, согласно которому поворот на 2л всегда возвращает систему в исходное состояние.

Никаких соображений, которые позволили бы объяснить закон сохранения электрического заряда и по общности и простоте были бы сравнимы с приведенными выше, не известно. Из классической теории можно заимствовать следующее рассуждение1). Предположим, что с помощью какого-то процесса мы можем создавать заряды в некоторой замкнутой системе. Поместим эту замкнутую систему в клетку Фарадея, зарядим клетку и создадим в нашей замкнутой системе определенный заряд. Для этого потребуется затратить некоторое количество энергии Е. Поскольку ни одно физическое явление не зависит от абсолютного значения потенциала, количество энергии Е не может зависеть от потенциала клетки Фарадея, внутри которой создается заряд. Извлечем затем нашу замкнутую систему из клетки Фарадея и перенесем ее подальше от клетки. При этом мы получим некоторое количество работы W. Обратим теперь процесс, который привел к образованию заряда, и получим количество энергии Е, равное ранее затраченной энергии, поскольку процесс в замкнутой системе не должен зависеть от абсолютного значения электрического потенциала, под которым находится система. Разряженную систему вновь поместим в клетку Фарадея. При этом нам не придется производить никакой

!) На него обратил наше внимание Оппенгеймер во время дискуссии, последовавшей за докладом^ работы. Таким образом возникает замкнутый цикл, при совершении которого мы получаем работу W. Но, согласно первому началу термодинамики, это невозможно; следовательно, одно из наших исходных допущений должно быть ложным. Таким допущением является предположение о том, что электрический заряд можно создать внутри замкнутой системы.

Проведенное только что рассуждение показывает связь между законом сохранения электрических зарядов и предположением о несущественности абсолютной величины электрического потенциала. Оно было переведено на язык квантовой механики и приобрело более изящный и общий вид1). И все же оно остается менее убедительным, чем рассуждения, приводящие к другим законам сохранения, и, разумеется, не позволяет учесть квантование электрического заряда.

1) См, работу [1], а также работу Вейля [8].

2) Вполне возможно, например, что устойчивость протона обусловлена существованием какого-то закона сохранения числа нуклонов (протонов и нейтронов) так же, как устойчивость электрона — законом сохранения электрического заряда. Если бы такого закона сохранения не существовало, то протон мог бы превращаться в позитрон, испуская при этом квант света, так же как электрон в отсутствие закона сохранения электрического заряда мог бы распадаться на квант света и нейтрино. Для доказательства закона сохранения числа нуклонов можно воспользоваться тем же мысленным экспериментом, который привел к установлению закона сохранения электрического заряда, но умышленно придать ему следующую, несколько неясную форму. Предположим, что такого закона сохранения не существует. Тогда ничто не препятствует рождению двух нуклонов на расстоянии, вначале большем радиуса действия ядерных сил. Пусть на рождение двух нуклонов расходуется энергия Е. Сблизим нуклоны и получим при этом некоторое количество работы W. Пусть затем нуклоны аннигилируют, высвобождая затраченную ранее энергию Е. В итоге мы получаем выигрыш в энергии, равный W. Разумеется, операции такого рода невозможны. Причину этого следует искать во многих физических явлениях, например связать с тем, что нельзя добиться достаточно точной локализации систем, в которых должно происходить рождение нуклонов (т. е. отнести за счет существования фундаментальной длины). Точно так же невыполнимость описанного эксперимента можно связать с зависимостью энергии Et которую необходимо затратить для рождения нуклонов, от абсолютного значения ядерного потенциала. Наша точка зрения отлична от обеих

Отсутствие полной ясности в обосновании закона сохранения электрического заряда поднимает несколько важных вопросов. Нет ли в известной ныне схеме квантовой механики существенных пробелов? В частности, не является ли комплексное гильбертово пространство более подходящей основой для описания векторов состояний? Не приведет ли использование гиперкомплексных волновых функций к существенно иным результатам? Еще более важен, несомненно, вопрос: является ли существование закона сохранения характерной чертой взаимодействия электромагнитного типа или мы встретим (а может быть, уже и встретили2)) аналогичные законы сохранения и при взаимодействиях других типов?

Теория относительности, к юбилею которой была написана данная статья, обогатила физику в двух направлениях. Она указала выход из острых противоречий и трудностей, возникших в результате экспериментов Майкельсона — Морли, Физо, Тру-тона — Нобла и др. Найти выход позволил глубокий анализ концепции пространства-времени, и результаты этого анализа ныне составляют неотъемлемую часть арсенала знаний любого физика. Еще более непреходящий и более важный вклад в сокровищницу физических идей теория относительности внесла косвенным путем. Среди таких «побочных продуктов» теории относительности особенно важное значение имеет доказанная ею необходимость и плодотворность анализа вполне установившихся и, казалось бы, хорошо известных понятий, которые многие поколения воспринимали как нечто привычное. Теория относительности продемонстрировала также всю важность понятия инвариантности и расширила его рамки. Это ее достижение, по моему мнению, с полным основанием следует считать вторым по значению из ее косвенных результатов.

Выражаю свою признательность Баргману за критические замечания и обсуждение вопросов, затронутых в настоящей статье.

ЛИТЕРА;УР А

1. London F., Zs. Phys„ 42, 375 (1927).

Quantenmechanische Deutung der Theorie von Weyl.

2. Poincare H., Compt. Rend., 140, 1504 (1905).

Dynamics of Electrons.

3. Poincare H., Circolo Mat. Palermo Rend., 21, 129 (1906).

Sur la dynamique de l'electron.

4. Osborne M. F. M., Bull. Amer. Phys. Soc, 24, 2 (Berkeley Meeting), Paper

A-3 (1949).

Quantum Theory Restrictions on the General Theory of Relativity, b.Engel F., Nachr. Kgl. Geselt. Wiss. Gottingen, 270 (1916).

Uber die zehn allgemeinen Integrate der klassischen Mechanik.

6. Hamel G., Zs. Math. Phys., 50, 1 (1904).

Die Lagrange-Eulerschen Gleichungen der Mechanik.

7. Bessel-Hagen E., Math. Ann., 84, 258 (1921).

Uber die Erhaltungssatze der Elektrodynamik.

8. Weyl H., Zs. Phys, 56, 330 (1929).

Elektron und Gravitation. I.

9. Okayama Т., Phys. Rev, 75, 308 (1949).

вышеизложенных; реальное решение парадокса, по нашему мнению, связано с тем, что рождение одних лишь нуклонов (без рождения антинуклонов) невозможно. В качестве третьего проявления аналогии между законами сохранения электрического заряда и числа нуклонов следует упомянуть равенство «мезонного заряда» у всех нуклонов (хотя некоторые эксперименты, проведенные в последнее время, свидетельствуют об обратном). Если равенство «мезонных зарядов» различных нуклонов подтвердится, это будет свидетельствовать о том, что мезонный заряд аналогично хорошо известному квантованию электрического заряда также допускает квантование.

On the Mesic Charge.

СИММЕТРИЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ1)

ВВЕДЕНИЕ

Симметрия, инвариантность и даже законы сохранения, несомненно, играли важную роль в мышлении таких классиков физики, как Галилей и Ньютон, а может быть, и их предшественников. Однако этим идеям не придавали особого значения, и в явном виде их формулировали крайне редко. Уравнения Ньютона не предполагали существования выделенной системы координат, поэтому все направления и все точки пространства оставались инвариантными. Как мы теперь говорим, уравнения Ньютона были инвариантными относительно вращений и параллельных переносов. То же можно сказать и в отношении ньютоновского закона всемирного тяготения. Эти факты и гипотеза о возможности законов природы, обладающих меньшей симметрией, не считались особенно важными. Что же касается законов сохранения, то закон сохранения энергии использовался и был инстинктивно осознан в механике еще до Галилея2). Законы сохранения импульса и углового момента в их наиболее полном виде использовались не очень широко, хотя в частном случае центрального движения они, разумеется, приводят к одному из законов Кеплера. В большинстве книг по механике, написанных в конце прошлого века и даже позднее, вообще не упоминается общая теорема о сохранении углового момента3). Между тем эта теорема должна была быть общеизвестна, поскольку механики, занимавшиеся проблемой трех тел, где она используется, разумеется, неоднократно прибегали к ней. И все же должного внимания этой теореме не уделялось.

!) Опубликовано в журнале: Proc. Nat. Acad. Sci., 51, № 5 (1964).

2) Гамель [1] замечает, что Иорданус де Немур (около 1300 г.) уже владел наиболее существенными сторонами понятия, которое мы теперь отождествляем с механической энергией, а Леонардо да Винчи постулировал невозможность вечного двигателя.

3) Так, Кэджори [2] уделяет этой теореме ровно полстрочки.

Положение резко изменилось, когда (в основном после появления теорий Эйнштейна) стали уделять много внимания инвариантности уравнений. Эйнштейн в явном виде сформулировал постулаты о симметрии пространства, т. е. об эквивалентности направлений и различных точек пространства, причем сделал это в весьма яркой форме1). Тем самым Эйнштейн в модифицированном виде вновь установил эквивалентность координатных систем, находящихся в состоянии движения и покоя. Что же касается законов сохранения, то их значение стало очевидным, когда физики, заинтересовавшись моделью атома Бора, осознали всю важность теоремы о сохранении углового момента. Мне довелось быть живым свидетелем тех дней, и я помню всеобщую уверенность в правильности этого и других законов сохранения. Причины для такой уверенности были достаточно основательными, поскольку Гамель еще в 1904 г. установил связь между законами сохранения и фундаментальными сим-метриями пространства и времени [4, 5]. Хотя его основополагающая работа осталась практически неизвестной, по крайней мере среди физиков, уверенность в законах сохранения была столь сильной, как если бы основные идеи статьи Гамеля получили всеобщее признание. Это еще раз подтверждает, что в мышлении физика большую роль играет не знание, а интуиция.

С конца прошлого века наше отношение к симметриям и законам сохранения описало почти полный круг. В настоящее время трудно найти статью, посвященную фундаментальным проблемам физики, в которой не упоминались бы принципы инвариантности, а автор в своих рассуждениях не исходил бы из предположения, иногда излишне широкого2), о существовании связи между законами сохранения и принципами инвариантности. Кроме того, понятие симметрии и инвариантности распространилось на новую область, корни которой лежат намного дальше от непосредственного опыта и наблюдения, чем у классической области пространственно-временной симметрии. Учитывая это, мы считаем полезным начать с обсуждения отношения между явлениями, законами природы и принципами инвариантности. Интересующее нас отношение неодинаково для классических принципов инвариантности, которые мы будем называть геометрическими, и новых принципов инвариантности, которые мы назовем динамическими. В заключение я хотел бы рассмотреть с более элементарной, чем это обычно делается, точки зрения связь между законами сохранения и принципами инвариантности.

ЯВЛЕНИЯ, ЗАКОНЫ ПРИРОДЫ И ПРИНЦИПЫ ИНВАРИАНТНОСТИ

*) См., например.его полупопулярную брошюру [3].

2) См, например, статью автора [6], а также работу Мюраи [7] и более позднюю работу Гринберга [8].

Проблема связи, существующей между этими понятиями, не нова — она уже давно (сначала почти бессознательно) занимает

людей. Именно поэтому интересно рассмотреть ее в свете нашего большего опыта и, как мы надеемся, более зрелого понимания.

С весьма абстрактной точки зрения существует глубокая аналогия между отношением законов природы к явлениям, с одной стороны, и отношением принципов симметрии к законам природы — с другой. Мы начнем свое рассмотрение с первого отношения, т. е, с отношения законов природы к явлениям.

Если бы мы знали положение какой-нибудь планеты в любой момент времени, то законы физики не могли бы сообщить нам относительно движения этой планеты ничего нового, Верно и более общее утверждение: если бы мы располагали полной информацией обо всех событиях в мире независимо от того, где и когпа они происходят, то законы физики, а в действительности и любой другой науки были бы нам не нужны. Я изрекаю весьма очевидную истину: законы естественных наук полезны нам потому, что без них мы бы знали о мире гораздо меньше. Если бы положение планеты было известно для любого момента времени, то математические соотношения между ее различными положениями, вытекающие из законов движения планет, не были бы нам нужны, но могли бы представлять известный интерес. Созерцание этих закономерностей доставляло бы нам некоторое удовольствие и развлечение даже в том случае, если бы они и не содержали новой информации. И все же, появись у кого-нибудь какие-то иные данные о движении той же планеты, мы, очевидно, могли бы возразить ему с большим успехом, если бы предсказываемые им положения противоречили законам движения планет (разумеется, при условии, что мы убеждены в правильности законов природы, воплощенных в законах движения планет).

Обратимся теперь к отношению симметрии, или принципов инвариантности, к законам природы. Если закон природы, например уравнения электродинамики, известен, то знание различных тонких свойств этих уравнений ничего не добавляет к их физическому содержанию. Интересно отметить, что корреляции между событиями, предсказываемыми уравнениями, остаются неизменными независимо от того, находится ли наблюдатель в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Все корреляции между событиями, однако, определяются уже самими уравнениями, и упомянутый факт инвариантности урав* нений не изменяет ни числа, ни характера этих корреляций.

Обобщая ту же мысль, можно сказать, что если бы мы знали все законы или один всеобъемлющий закон природы, то свойства инвариантности этих законов не давали бы нам ничего нового. Созерцание симметрии могло бы доставить нам удовольствие и позабавить даже в том случае, если бы они и не содержали новой информации. Но если бы кто-нибудь предложил какой-то другой закон природы, то опровергать его мы могли бы более эффективно, если бы он противоречил нашему принципу инвариантности (разумеется, в предположении, что мы уверены в правильности этого принципа инвариантности).

Проведенный только что нами анализ отношений законов природы к явлениям и симметрии, или принципов инвариантности, к законам природы носит, очевидно, крайне фрагментар-' ный характер. И той и другой теме можно было бы посвятить многие и многие страницы. Насколько можно судить, новые аспекты, которые были бы затронуты на этих страницах, не нарушили бы аналогию между указанными двумя отношениями, т. е. аналогию между отношением законов природы к явлениям и отношением принципов инвариантности к законам природы. Наоборот, мы открыли бы новые, более глубокие стороны этой аналогии и подтвердили бы, что функция, которую несут принципы симметрии, состоит в наделении структурой законов природы или установлении между ними внутренней связи, так же как законы природы устанавливают структуру или взаимосвязь в мире явлений.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ИНВАРИАНТНОСТИ

В чем заключается различие между старыми, надежно установленными геометрическими и новыми (динамическими) принципами инвариантности? Геометрические принципы инвариантности, хотя они и наделяют структурой законы природы, формулируются в терминах самих явлений. Так, надлежащая формулировка инвариантности относительно сдвигов во времени гласит: корреляции между событиями зависят только от промежутков времени, разделяющих события, но не от момента времени, когда происходит первое событие. Если Ри Р2, Р3 — положения, которые занимает в моменты времени t\, t2, /3 уже упоминавшаяся нами планета, то она точно так же может занимать их в моменты времени 1\ + /, /2 + U h + U где промежуток времени t совершенно произволен. Новые же, динамические, принципы инвариантности формулируются в терминах законов природы. Они скорее относятся к тем или иным типам взаимодействия, чем к какой бы то ни было корреляции между событиями. Например, говоря о том специфическом законе природы, который управляет генерацией электромагнитного поля движущимися электрическими зарядами и обратным влиянием электромагнитного поля на движение зарядов, можно сказать, что электромагнитное взаимодействие обладает калибровочной инвариантностью.

Итак, динамические принципы инвариантности основаны на существовании определенных типов взаимодействий. Все мы читали, что когда-то давным-давно физики надеялись свести все взаимодействия к механическим. Некоторые из нас еще помнят, что в начале нашего века электромагнитные взаимодействия считались источником всех других видов взаимодействий. Встав на такую точку зрения, нам пришлось бы искать объяснение гравитационному взаимодействию, и наши поиски увенчались бы успехом. В настоящее время мы различаем четыре или пять типов взаимодействий: гравитационное, электромагнитное, один или два типа сильных (т. е. ядерных) взаимодействий и слабое взаимодействие, обусловливающее {3-распад, распад \i-мезона и некоторые аналогичные явления. Таким образом, мы оставили, по крайней мере временно, надежду на существование единого фундаментального взаимодействия. Более того, каждый тип взаимодействия обладает некоторой группой динамической симметрии, аналогичной группе калибровочных преобразований для электромагнитных взаимодействий.

Здесь мы подходим к границе известного. Не следует забывать, что и сама проблема взаимодействий до сих пор представляет собой загадку. Утияма своими работами способствовал появлению плодотворного направления [9, 10) в решении задачи о восстановлении типа взаимодействия по его группе. Однако у нас нет способа, который бы позволил заранее предсказывать группу, и мы не можем сказать, сколько всего имеется групп и, следовательно, различных взаимодействий. Группы динамической симметрии, по-видимому, никак не связаны между собой, не существует соответствия ни между различными группами, характеризующими разные взаимодействия, ни между этими группами и группой геометрической симметрии — единственной точно установленной группой, с которой мы знакомы в течение многих и многих лет.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ИНВАРИАНТНОСТИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Поскольку имеет смысл оставаться как можно дольше на terra cognita, рассмотрим сначала геометрические принципы инвариантности. Первым, кто обратил на них внимание, был Пуанкаре, и я хочу назвать группу соответствующих преобразований группой Пуанкаре [11, 12]. Истинный смысл и значение этих принципов инвариантности стал ясен лишь после появления специальной теории относительности Эйнштейна. Группа Пуанкаре содержит сдвиги в пространстве и времени. Это означает, что корреляции между событиями всегда и всюду одинаковы и что законы природы — концентрированное выражение корреляций—не зависят от того, когда и где они установлены. В противном случае человеческий разум вообще не мог бы находить законы природы.

Следует подчеркнуть, что законы симметрии применимы именно к законам природы, т. е. к корреляциям между событиями, а не к самим событиям. Разумеется, при переходе от точки к точке события могут меняться, но если кто-нибудь заметит положение брошенного камня в три различных момента времени и установит соотношение между этими тремя положениями, то оно окажется одинаковым для всех точек Земли.

Помимо сдвигов в пространстве и времени группа Пуанкаре содержит еще одну разновидность симметрии, которая не столь очевидна, как первая: она постулирует эквивалентность всех направлений. Этот принцип был осознан лишь после того, как люди поняли, что различие между понятиями «вверх» и «вниз» обусловлено земным притяжением. Иначе говоря, вопреки только что сказанному, событиями, между которыми законы природы устанавливают корреляцию, являются не три положения брошенного камня, а три положения камня относительно Земли.

Последняя симметрия — независимость законов природы от состояния движения, коль скоро оно продолжает оставаться равномерным,— вовсе не очевидна для неподготовленного ума1). Одним из ее следствий является то обстоятельство, что законы природы определяют не скорость, а ускорение тела: скорость различна в координатных системах, движущихся с различными скоростями, ускорение же одинаково, коль скоро координатные системы движутся относительно друг друга равномерно и прямолинейно. Поэтому принцип эквивалентности координатных систем, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно (и их эквивалентность покоящейся координатной системе), не мог быть установлен до того, как был понят второй закон Ньютона. После открытия второго закона этот принцип был сразу же осознан самим Ньютоном. Правда, одно время доверие физиков к принципу независимости законов природы от состояния равномерного и прямолинейного движения было подорвано существованием некоторых электромагнитных явлений, но затем Эйнштейн возродил принцип в несколько измененной редакции.

!) Так, физика Аристотеля исходит из постулата о том, что движение не* пременно требует постоянного действия обусловливающей его причины. Следо* вательно, все тела, если бы они не были подвержены действию причины, сообщившей им скорость, пришли бы в состояние абсолютного покоя (см., например, [13]). Для систем координат, движущихся относительно друг Друга, это утверждение неверно. Системы координат, для которых оно верно, должны обладать некоторым выделенным состоянием движения.

1) По этому поводу см. работы [6—8].

Мы уже говорили о том, что законы сохранения энергии, импульса и углового момента являются прямыми следствиями только что названных симметрии. Особенно наглядно связь законов сохранения с симметрией проявляется в квантовой механике, где все эти законы сохранения непосредственно следуют из кинематики и при их выводе не приходится обращаться к динамическим законам (например, совершенно не используется уравнение Шредингера). Это утверждение будет нами вскоре доказано. В классической теории ситуация намного сложнее. Здесь основой даже простейшего доказательства законов сохранения служит замечание о том, что классическая теория является предельным случаем квантовой теории. Отсюда делается вывод, что любое уравнение, справедливое в квантовой теории при произвольном значении постоянной Планка h, справедливо и в пределе при h = 0. Следы этого рассуждения можно обнаружить и в общих соображениях относительно связи между законами сохранения и пространственно-временной симметрией в классической теории. Законы сохранения можно вывести также и элементарными средствами, используя динамическое уравнение, т. е. второй закон Ньютона, и предположение о том, что силы определяются потенциалом, зависящим только от расстояний между частицами. Поскол

страница 3
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Скачать книгу "Этюды о симметрии" (2.82Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
стенд уличный вкапываемый на м.полежаевская
Candino Elegance C4410.2
Protherm Тигр 24KTZ
отучиться на косметолога в москве цена

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(04.12.2016)