химический каталог




Этюды о симметрии

Автор Е.Вигнер

что кванто-вомеханические векторы состояний соответствуют не точным значениям этих параметров, а лишь их статистическим распределениям, вследствие чего знания вектора состояния еще недостаточно для однозначного предсказания исхода квантовомеханического измерения. Разумеется, результат произведенного над системой измерения позволяет сузить диапазон значений, которые скрытые параметры могли принимать до измерения, и тем самым сделать распределение значений более узким, однако и после измерения распределение значений скрытых параметров остается достаточно «размазанным», и поэтому исходы некоторых (в действительности — подавляющего большинства) последующих измерений будут по-прежнему непредсказуемыми.

Такова в общих чертах теория скрытых параметров. Многие теоретики выступили с возражениями против этой теории. В частности, фон Нейман ) заметил, что лишь неразумно боль

трудно предсказать вероятности двух возможных исходов каждого такого измерения (об этом еще будет говориться в данном разделе нашей статьи; более подробное обсуждение см. в работе [2]). Однако, по мнению фон Неймана, этого нельзя сделать, если речь идет о большом числе последовательных измерений компонент спина в различных направлениях. Результат первого из таких измерений ограничивает интервал значений, которые могли принимать скрытые параметры до того, как оно было проведено. Вследствие этого ограничения распределение вероятности значений скрытых параметров, характеризующих спин, для частиц с положительным результатом измерения будет отличаться от аналогичного распределения значений для частиц с отрицательным результатом измерения. Для тех частиц, для которых второе измерение компоненты спина по некоторому (отличному от первого) направлению также приводит к положительному результату, интервал допустимых значений уменьшается еще сильнее. Большое число последовательных измерений позволит отобрать частицы со столь близкими значениями скрытых параметров, что компонента спина в любом направлении с большой вероятностью будет отлична от нуля и иметь определенный знак. Согласно квантовой теории, такое состояние невозможно, и мы приходим к противоречию. Шредингер возразил против приведенного только что рассуждения, заметив, что измерение компоненты спина в одном направлении, хотя и может налагать определенные ограничения на область допустимых значений какой-то части скрытых параметров, одновременно вполне может восстанавливать случайное распределение значений остальных скрытых параметров. У автора настоящей статьи сложилось впечатление, что фон Нейман не считал возражение Шредингера убедительным. По мнению фон Неймана, в возражении Шредингера неявно содержится предположение о скрытых параметрах измерительного прибора. В качестве контрпримера, наглядно демонстрирующего всю несостоятельность точки зрения Шредингера, фон Нейман предложил рассмотреть два прибора с взаимно перпендикулярными магнитными полями и последовательность измерений, производимых то одним, то другим прибором. В конце концов, в результате многочисленных последовательных измерений компонент спина в направлениях, задаваемых магнитными полями приборов, мы сможем фиксировать даже скрытые параметры обоих приборов и, следовательно, всей системы. Это наглядное опровержение фон Нейманом возражения Шредингера так и не было опубликовало.

щим числом скрытых параметров можно объяснить постулат (неявно принятый в квантовой механике), согласно которому распределение скрытых параметров остается «размазанным» независимо от числа измерений, последовательно производимых над системой, а результаты измерений — столь же непредсказуемыми, как и до проведения измерений. Аргументы фон Неймана были во многом уточнены другими авторами1). В основу настоящей статьи положено одно замечание Белла, которое, хотя и отличается от возражения фон Неймана, тем не менее приводит к одинаковому выводу. Цель статьи и состоит в том, чтобы придать замечанию Белла более простую или, по крайней мере, более конкретную форму.

Ясно, что для любого квантовомеханического измерения, обозначенного оператором Q, найдется «скрытый параметр» ц% такой, что статистическое распределение его значений будет давать вероятности возможных исходов Ки Яг, ... измерения Q. Для этого необходимо лишь сопоставить области значений Du D2l ..., пробегаемых параметром q, возможным исходам измерений К\, Яг, ... и постулировать, что функция распределения Р^(Я)-> отвечающая состоянию ф, сопоставляет области Dv именно ту вероятность, с которой измерение Q, производимое над состоянием ф, дает значение Kv.

Если с помощью скрытых параметров требуется воспроизвести вероятности исходов нескольких квантовомеханических измерений, обозначенных операторами Qi, Q2, то скрытый параметр qn необходимо ввести для каждого измерения. После этого мы должны постулировать, что исход измерения Qn зависит лишь от значения параметра qn: для этого каждому из

возможных исходов К измерения Qn мы должны сопоставить

некоторую область значений параметра qn, потребовав,

чтобы измерение Qn давало исход Л? всякий раз, когда qn принадлежит области Dv. Исход Я? должен получаться независимо от того, какие значения принимают остальные параметры q. Функция распределения которая затем ставится в соответствие вектору состояния ф, имеет вид

p^isvя3' • • >) = р1 Ыр1Шр1{ъ) • • (1)

где PJ^J—функция распределения, сопоставляемая, как было

сказано выше, вектору состояния ф; она воспроизводит вероятности возможных исходов измерения Qn. Ясно, что определение (1) функции распределения Яф далеко не однозначно. Выбор областей Dn произволен и мог бы в действительности зависеть от всех параметров qm, где т ф п. Кроме того (по крайней мере в том случае, когда спектры операторов Q дискретны), число скрытых параметров q\, #2, ... можно было бы значительно понизить и по существу свести к одному параметру.

Приведенные только что соображения относятся лишь к отдельным измерениям и не затрагивают случай, когда над системой производится серия последовательных измерений. Однако, как показал фон Нейман [1], результаты серий последовательных измерений также можно получить с помощью скрытых параметров. Для этого необходимо лишь для каждой серии измерений ввести скрытые параметры, число которых совпадает с числом измерений в этой серии. Заметим также, что вероятности различных значений, скрытых параметров не будут более независимыми: между ними появятся статистические корреляции. Естественно, что при этом число скрытых параметров резко возрастает. Выписывать здесь в явном виде формулы, аналогичные формуле (1), вряд ли необходимо: читатель без труда сможет вывести их самостоятельно.

ЗАМЕЧАНИЕ БЕЛЛА1)

Белл обратил внимание на то, что введение даже очень слабого (по крайней мере, на первый взгляд) и весьма естественного ограничения на природу скрытых параметров уже не позволяет определить такую функцию распределения Р^для некоторых измерений (в действительности речь идет о девяти вполне конкретных измерениях), которая давала бы те же значения вероятности, что и квантовая механика. Это обстоятельство особенно удивительно потому, что соответствие между функцией распределения и состоянием ф достаточно произвольно.

• Рассмотренная Беллом система состоит из двух частиц, каждая из которых имеет спин 7г- Измеряются компоненты этих спинов по определенным направлениям. Таких направлений 3: ©ь ©2, «з. 9 рассмотренных им измерений состоят из одновременного измерения двух спинов: компонента одного спина измеряется в направлении компонента другого — в направлении т.. Поскольку компонента спина частицы с S == 7г в любом направлении может принимать только два значения: +7г и —7г (в дальнейшем для краткости мы будем обозначать их просто + и —), каждое из 9 измерений может привести к четырем результатам: обе компоненты могут иметь значение +, обе компоненты —, первая +, вторая — и наоборот. Каждый из введенных в предыдущем разделе нашей статьи параметров % может принимать лишь четыре значения в соответствии с че-тырьями исходами измерений. Если ввести 9 параметров qu •.. то функция распределения Pt определяемая по формуле (1), будет давать квантовомеханические вероятности четырех возможных исходов каждого из названных выше 9 измерений (в действительности она будет воспроизводить любые такие вероятности независимо от того, согласуются они с квантовой механикой или нет). Интервалы, введенные в предыдущем разделе, разбивают девятимерное пространство скрытых параметров q на 49 областей, а интеграл от функции распределения

') См. работу [5]. Более строгую (количественную) оценку результата Белла вместе со схемой экспериментальной проверки дали Клаузер, Хорн, Шимони и Хольт [7]. Автор выражает признательность всем названным лицам за то, что они привлекли его внимание к статье Белла. См. также статью Уоррингтона (в печати).

Р по одной из этих областей дает вероятность одного из четырех исходов какого-то одного из 9 измерений. Если не вводить новых постулатов, то никаких противоречий не возникает.

Однако Белл вводит дополнительный постулат о том, что скрытые параметры определяют компоненты спина первой частицы в любом из направлений ш и что эта компонента не зависит от направления, в котором измеряется компонента спина второй частицы, и, наоборот, компонента спина второй частицы в любом из трех направлений <oi, <ог, <0з определяется значениями скрытых параметров и не зависит от направления, в котором измеряется компонента спина первой частицы. Оба предположения весьма естественны, поскольку две рассматриваемые частицы разделены большим пространственным интервалом, и прибор, измеряющий спин одной из них, не оказывает никакого воздействия на измерение, производимое над второй частицей. Свой постулат Белл называет поэтому постулатом локальности. Смысл постулата заключается в том, что, хотя между состояниями двух частиц могут быть любые статистические соотношения, ориентация прибора, используемого для измерения компоненты спина одной частицы, не влияет на спин другой. Из постулата локальности следует, что вместо 49 существенно различных областей в пространстве скрытых параметров мы имеем лишь 26 существенно различных областей. Каждую из таких областей можно обозначить символом (ai, 02, 03', Ti, гг, тз). Все о* и т принимают два значения: + или —; о относятся к первой, а т — ко второй частице. Например, если

скрытые параметры принадлежат области (+ ; 1 ),

то измерение компоненты спина первой частицы в направлении (Di даст значение + (т. е. +7г) независимо от того, в каком направлении измеряется спин второй частицы. Измерение компоненты спина первой частицы в направлениях &2 и еоз даст результат —. Точно так же измерение компоненты спина второй частицы в направлении eoi даст результат — независимо от того, в каком направлении была измерена компонента спина первой частицы. Измерение компоненты спина второй частицы в направлении юг даст, + , а в направлении <0з даст —.

Состояние, для которого нам не удастся воспроизвести кван-товомеханические вероятности результатов 9 возможных измерений компонент спина, какие бы положительные вероятности мы ни приписывали 26 областям (ai, 02, аз; TI, Т2, тз), есть син-глетное состояние двух спинов. Условимся впредь обозначать через (аи 02, аз; л, Т2, тз) вероятность того, что скрытые параметры синглетного состояния двух спинов принимают значение, лежащее в области (ai, <тг, 0"з;ТД, ТЗ). ДЛЯ вычисления кван-товомеханических вероятностей различных исходов 9 возможных измерений обозначим через f}12, §23, ^31 углы между направлениями ©1, ©г, m (каждый из углов заключен между 0 и я). Вероятность того, что измерение компоненты спина первой частицы в направлении &i и измерение компоненты спина второй частицы в направлении ыь дадут одновременно положительный (или одновременно отрицательный) результат, равна 7г sin2 l]2®ik- Вероятность того, что первое измерение даст положительный, а второе — отрицательный результат (или наоборот) равна 7г cos2 V2^ft. Оба эти выражения получаются прямыми выкладками. Их можно также вывести, заметив, что синглетное состояние обладает сферической симметрией, вследствие чего полная вероятность того, что спин первой частицы имеет именно направление сэг (а не противоположное), равна 7г- Если измерение компоненты спина первой частицы в направлении &1 даст положительный результат, то измерение компоненты спина второй частицы обязательно даст отрицательный результат. Следовательно, измерение спина второй частицы в направлении «2 даст положительный результат с вероятностью cos2 1/2®, где f>— угол между направлениями —&\ и ©2. Полная вероятность получить положительный результат для обоих измерений, как указывалось выше, равна

icos2yf} = — sin2 ~f}12.

Аналогично можно вычислить и вероятности других комбинаций знаков. Однако, поскольку направления «о* удовлетворяют определенным условиям, найденные значения вероятности нельзя воспроизвести с помощью скрытых параметров.

Чтобы убедиться в этом, заметим прежде всего, что значение такого символа, как ( + , аг, аз; +, тг, т3), равно нулю, поскольку соответствующая область отвечает состояниям, для которых измерение компонент спина обеих частиц в направлении &i даст положительный результат. Для интересующего нас синглетного состояния вероятность такого события равна нулю. Следовательно, скрытые параметры не могут принимать значений, которые приводили бы к положительным компонентам спинов обеих частиц в направлении <0i. То же верно и для направлений <ог и <оз, вследствие чего символы (аь аг, а3; %\, %% т3) равны нулю (исключение составляет лишь случай Ti = —сч, Т2 = —аг, тз — = —аз). Таким образом, отличными от нуля остаются лишь 8 символов.

Вычислим теперь вероятность того, что измерение компоненты спина первой частицы в направлении m и второй частицы в направлении ©а даст положительный результат. Искомая вероятность равна сумме 16 слагаемых, из которых лишь два отличны от нуля:

2 2 ( + , <*2> <*з; ТЬ Т2, +) =

<*2, Cf3 Т|, Тг

= (+ + -; + ) + ( + —; - + + )*

-i-sin2 j*8i- (2)

Последнее выражение дает квантовомеханическое значение интересующей нас величины. Однако первое слагаемое во второй строке относится к состояниям, дающим положительную компоненту спина первой частицы в направлении о>2 и положительную компоненту спина второй частицы в направлении 0)3. Следовательно, это слагаемое на величину (— + —; + — +) меньше чем 72sin2t}23- Точно так же второе слагаемое во второй строке на величину (+ — +; — + —) меньше вероятности одновременного получения положительных результатов при измерениях компоненты спина первой частицы в направлении o)i и второй частицы в направлении 0)2. Следовательно, второе слагаемое меньше чем V2 sin2 V2t>i2. Таким образом, из формулы (I) следует, что теория скрытых параметров позволяет получать квантовомеханические вероятности лишь в тех случаях, когда углы между тремя направлениями coi, ©2, 0)3, в которых измеряются компоненты спинов, удовлетворяют неравенству

у sin2 у t>23 + j sin2 у т>12 > у sin2 у f}31. (3)

Это неравенство l) принимает особенно простой вид, если три направления о) расположены в одной плоскости и, кроме .того, вектор 0)2 лежит на биссектрисе угла между coi и юз-В этом случае t>i2 = #23 = '/г^зи и неравенство (3) переходит в неравенство

sin2 уf>12 > у sin2 j f>3, = у 4 sin2 у f}12 cos2 у f>12, (4)

откуда

cos2у #I2 <y, у #i2>x л или ^31<ЗТ.

К этому же результату мы придем и в том случае, когда вектор юг не лежит на биссектрисе угла между векторами cot и о)з-Таким образом, условие (3) нарушается всякий раз, когда три направления копланарны. Разумеется, неравенство (3) может нарушаться и при некомпланарных направлениях coi, 0)2, 0)3.

') Как обратил внимание Шимони, неравенство Белла легко следует из неравенства (3).

Как мы увидим позднее, существуют еще и другие условия, которым должны удовлетворять направления о> для того, чтобы измерение проекций двух спинов (каждый из которых равен 7г), образующих синглет, можно было воспроизвести с помощью скрытых параметров.

НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА

С математической точки зрения выводы Белла не могут не вызывать удивления. Начать с того, что пространство скрытых параметров было разделено на 64 области, каждая из которых имела определенный «вес»—вероятность. С помощью этих 64 вероятностей (точнее, с помощью 63 вероятностей, так как полная вероятность равна 1) требовалось воспроизвести результаты лишь 9 существенно различных экспериментов. Однако то обстоятельство, что вероятность получения положительного результата при измерении компонент спинов обеих частиц в направлении, например, coi равна нулю, означает обращение в нуль суммы

2 2 ( + , су2, сг3; +, т2, т3), (5)

а поскольку все 16 слагаемых неотрицательны, то и каждое из них в отдельности также должно быть равно нулю. Уравнение (2) и аналогичные ему другие уравнения (для вероятностей одновременного определения компонент спина в направлениях ±(ди ±©л) можно разрешить относительно 8 величин (аь <у2, о*з; —О], —02, —аз). В самом деле, рассматриваемые совместно, все эти уравнения оставляют неопределенным один параметр. Но поскольку

(+ + +; Ж ; + + +Н

= 1 - j (sin21 f}12 + sin2 } 023 + j sin2 \ fj3]), (6)

то наши уравнения, разрешенные относительно величин (ои о"2, о~з; —04, —0*2, —о*3), будут содержать по крайней мере одну отрицательную вероятность, если правая часть уравнения (6) отрицательна. Кроме того, мы получим уравнение

(+ - +; - + -) + (- + -; + - +) =

= j (sin21 f}12 + sin2 } f>23 - sin2 } f>31) (7)

и два других уравнения, отличающихся от (7) лишь циклической перестановкой направлений юг. Условие, в силу которого правая часть уравнения (7) положительна, приводит к неравенству (3), а два других неравенства получаются из (3) при циклической перестановке индексов 1, 2, 3. Заметим, хотя это и неочень важно, что если правые части уравнений (б) и (7) и выражений, получающихся из последнего уравнения при циклической перестановке индексов, положительны, то все вероятности (сч, 02, оз; —оь —о"2, —аз) также можно выбрать положительными, приравняв друг другу слагаемые в левых частях уравнений (6) и (7). Таким образом, измерения в направлениях an компонент спинов, образующих синглет, можно интерпретировать в терминах скрытых параметров тогда и только тогда, когда эти четыре выражения положительны.

Неравенства (3) и неравенства, получающиеся из них при циклической перестановке индексов, имеют вид неравенств треугольника со сторонами sin2 Уг^гл- Условие, выведенное из равенства (6), устанавливает верхний предел радиуса окружности, описанной вокруг этого треугольника. Если бы длины сторон треугольника были равны не sin2 72^> a sin 72^, то неравенства треугольника выполнялись бы для всех направлений со*. Важность квадратичной зависимости вероятностей от углов между направлениями, в которых производится измерение спина, отмечал еще Белл [5].

В заключение следует сказать и о роли того конкретного состояния — синглета, образованного двумя спинами 72, — которое было использовано в нашем рассуждении. Пусть фь ф2, . и фь ф2, ... — ортогональные наборы состояний двух систем. Аргументация Белла в том виде, как она изложена в нашей статье, применима ко всем состояниям 2 ап^>пЧ)п объединенной системы, у которых по крайней мере два коэффициента ап отличны от нуля. Применима она и к состояниям системы «объект плюс измерительный прибор», возникающим в идеальных квантовомеханических измерениях. Пример синглетного состояния двух спинов 7г был использован нами потому, что реализация этого состояния и измерения, существенные для проводимого нами анализа, не вызывают никаких сомнений.

Автор выражает свою признательность Беллу и Шимони за обсуждение „первоначального варианта статьи. В частности, многое из того, о чем говорится во введении, было включено в окончательный текст по их советам.

ЛИТЕРАТУРА

1. von Neumann Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Springer Verlag, Berlin, 1932. (Имеется перевод: Иоганн фон Нейман, Математические основы квантовой механики, изд-во «Наука», М., 1964.)

2. Bell !. 5., Rev. Mod. Phys., 38, 447 (1966).

3. Jauch J. M„ Piron C, Helv. Phys. Acta, 36, 827 (1963).

4. Kochen S, В., Specker £., Journ. Math. Mech., 17, 59 (1967).

5. Bell J. 5., Physics, 1, 195 (1965).

6. Bohm £>., Bub J., Rev. Mod. Phys., 38, 453 (1966).

7. Clauser J. F., Home M. A., Shimony A., Holt R, A., Phys. Rev. Lett., 23, 880 (1969).

ВНУТРЕННЯЯ ЧЕТНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ*)

ВОЗМОЖНОСТЬ СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОЙ ЧЕТНОСТИ

Принятая в современной квантовой теории поля схема описания элементарных частиц с математической точки зрения далека от завершенности. Вместе с тем ей присущи определенные черты, связанные главным образом со свойствами инвариантности и имеющими, по-видимому, непреходящее значение. Важность этих черт теории вряд ли можно переоценить, поскольку именно они дают нам наиболее надежные принципы классификации и позволяют интерпретировать быстро разрастающуюся и уже ставшую чрезвычайно сложной экспериментальную картину.

Цель настоящей статьи состоит в том, чтобы обратить внимание физиков на существование возможных (а в некоторых случаях и необходимых) ограничений одного из наиболее общих понятий — понятия «внутренней четности» элементарной частицы. Хотя при этом наше мышление не подвергается радикальной перестройке, мы все же считаем, что известная осторожность в указанных вопросах полезна, ибо она не позволит называть гипотезы «теоремами» или отвергать как «неприемлемые» такие варианты теории, которые при более гибкой схеме оказываются лишенными каких бы то ни было противоречий. Другим преимуществом приводимых нами соображений следует считать то, что они позволяют внести некоторую ясность в область, где до сих пор имеется еще много спорного ).

') Из журнала: Phys. Rev., 88, J01 (1952). Написана совместно с Виком и Вайтманом. (Обычно эту статью называют «три W». — Прим. перев.)

Согласно более или менее общепринятым представлениям, каждая элементарная частица должна обладать определенной «внутренней четностью», которая (по крайней мере, в принципе) однозначно определяется из эксперимента ).

Чтобы ясно представить себе слабые стороны подобных воззрений, полезно предварительно вспомнить некоторые простые факты, относящиеся к формализму квантовой теории поля.

Трансформационные свойства (в нашем случае — четность) для того или иного класса частиц можно описать двумя способами, и оба эти способа следует иметь в виду. Во-первых, можно указать закон преобразования квантованного поля. Например, сказать, что некоторые из бесспиновых частиц являются квантами «псевдоскалярного» поля, т. е. такого поля <р, закон преобразования которого при инверсии относительно начала координат задается формулой

¥{х,У>г)= - Ф(~ х, -у, -z). (1)

Во-вторых, можно указать закон преобразования вектора состояния или шредингеровской функции Ft дающей квантовоме-ханическое описание состояния поля *), т. е. найти такой унитарный оператор /, что функция

F' = IF (2)

будет описывать состояние, зеркально симметричное состоянию, описываемому функцией F.

Разумеется, между двумя возможными способами описания трансформационных свойств существует весьма простая связь, ибо в квантовой механике «наблюдаемые», или операторные, величины, так же как и поле <р(л;, у, г) в приведенном выше примере, преобразуются по закону

ф' = /ф/~\ (3)

в то время как вектор состояния преобразуется по закону (2).

Таким образом, унитарный оператор / полностью определяет закон преобразования полевых величин, и, наоборот, зная закон преобразования последних, вполне можно отыскать оператор /. Например, если ф — псевдоскалярное поле, то это означает, что

Iq>{x, у, z)Tl = - ф(- х, - у, - г), (4)

а отсюда можно заключить, что оператор / имеет вид

IF = a>(.-\)No+N2+Ni+-F, (5)

где Ni — число частиц (описываемых псевдоскалярным полем ф) с угловым моментом /, а со — произвольный множитель, рав-

') Мы намеренно избегаем хамелеоноподобного термина «волновая функция» и строго различаем вектор состояния в одном случае от полевой функции в другом,

ный по модулю единице

страница 29
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Скачать книгу "Этюды о симметрии" (2.82Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
баскетбольный мяч spalding nba gold series
будильник прикольный
курсы парикмахерского искусства
004.050400.026

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(06.12.2016)