химический каталог




Этюды о симметрии

Автор Е.Вигнер

« x0pQ - - *2р2 - -ад (3)

— лоренц-инвариантное скалярное произведение. На протяжении всей работы ковариантные и контравариантные компоненты равны для временной (индекс 0) координаты и равны по величине, но противоположны по знаку для пространственных координат (индексы 1, 2, 3). Это правило неизменно соблюдается при поднятии и опускании всех индексов. Кроме того, для скалярного произведения двух пространственно-подобных векторов мы используем обозначение (х, р), в силу чего, например,

{х} p} = x°p°-(x, р). При любом целом / функции

Р}т(Ъ, Ф)/(р) (/"=-/, -/+1, /) (4)

(их всего 2/4-1; р, t> и ф — сферические координаты в пространстве рь р2, рз; / — произвольная функция) образуют линейные наборы, инвариантные относительно поворотов вокруг

точки р\ = р2 = pz ~ 0, Функции PJn — это не что иное, как хорошо известные сферические гармоники. Линейные наборы (4) инвариантны также и относительно инверсии, т. е. замены рь р2, рз на —рь — р2, —рз- Разумеется, свойствами инвариантности относительно поворотов и инверсии обладает не только каждый набор (4) в отдельности, но и сумма произвольного числа таких наборов, если наряду с каждой функцией (4) мы будем брать все 2/ 4- 1 функций и их линейные комбинации. Множитель /(р) при разных / может быть различным.

При обращении времени функция ф(рь р2, рз) переходит [13] в функцию

®Ф(Р1» Р2, РЗ) = Ф*(-РЬ ~Р2, ~Рз). (5)

Под обращением времени мы понимаем операцию, которая волновую функцию ф переводит в волновую функцию т)(ф), обладающую следующим свойством: любой эксперимент, проводимый над дф в момент времени —/, приводит в точности к такому же результату, к которому он привел бы, если бы его производили над функцией ф в момент времени г. Из соотношения (5) и постулата «б» следует, что если функции

Pi№, ф)/(р) локализованы в начале координат, то и наборы

Р-т (Ф, Ф) f (р), т. е. Р+т (f>, ф) f (р), также локализованы. То же верно для суммы и разности соответствующих пар функций. Отсюда ясно, что множитель f(p), не ограничивая общности, можно считать вещественным.

Действие оператора сдвига в импульсном пространстве сводится просто к умножению на ехр(—i{at р}):

Т (а) ф = ехр (— i {а, р}) ф. (6)

Нам понадобятся лишь чисто пространственно-подобные сдвиги, т. е. мы предполагаем, что а0 = 0. Из принятого нами постулата «в» для таких сдвигов следует, что «сдвинутая» функция ехр (i(a, р))ф ортогональна ф, если функция ф локализована, или что

{ J" J I * (Л, ft, Рз) I2 ехр [i (a,p, + a2ft + a3p,)] dP'dP^ = о (6а)

для любого ненулевого вектора а. Это означает, что в разложение функции |ф|2/ро в интеграл Фурье входит лишь та ее часть, которая отвечает нулевому волновому числу. Следовательно, |ф|2/ро есть константа, и модуль |ф| пропорционален рЦ2. Сравнивая полученный результат с функциями (4), мы видим, что допустимым является лишь значение / = 0. Поскольку ранее было показано, что множитель f(p) можно считать вещественным, мы получаем

ф2 = (2я.Г3ро- (7)

Как и ожидалось, скалярный квадрат (ф, ф) бесконечен, и локализованная функция ф принадлежит непрерывному спектру.

Если ограничиться одними лишь постулатами «а» — «в», то функция ф могла бы быть разрывной, и при некотором р выполнялось бы соотношение

+ Pv° = (р2 + ц2)7',

а при всех остальных р — соотношение

Однако независимо от выбора ф при сохранении равенства (7) в рассматриваемом нами случае существует лишь одно состояние, локализованное в начале координат. Действительно, если бы нашлось два таких состояния ф! и фг, то \pi должно было бы быть ортогональным не только ф! ехр (—i {я, р}), но и фг ехр (—i {а, р}), откуда следует, что помимо соотношения |ф|2~Ро выполняется также и соотношение ф*ф2~р0, и, таким образом, функция ф! пропорциональна функции фг-

Чтобы исключить из рассмотрения разрывные функции ф, мы вводим дополнительное условие регулярности; отношение

остается конечным, когда нормированные волновые функции фп стремятся к ф; Mok здесь означает инфинитезимальный оператор собственного преобразования Лоренца в плоскости x°xh [12]:

Новый постулат позволяет исключить все разрывные функции ф, и для волновой функции единственного состояния, локализованного в начале координат, мы получаем выражение

♦ = (2n)~v>Ji. (9)

Требование регулярности «г» в действительности сводится к требованию ограниченности отношения (8) для всех Мм. Однако если вместо M0k в выражение (8) подставить операторы Ai23, М31 или Af12, то вновь полученные выражения автоматически окажутся ограниченными: их сумма равна /'(/ + 1). Следовательно, требование, чтобы операторы М23, АР1 и М12 были применимы к функции ф, не приводит к новому условию.

В координатном пространстве локализованная волновая функция определяется выражением (2). С точностью до постоянной она имеет вид [14]

(г) =(Ь)*;< (9а)

При г->оо функция W(r) стремится к нулю как е~^г\ при г-у О она стремится к бесконечности как г~ъ1к Волновая функция

(9а) квадратично не интегрируема, поскольку принадлежит непрерывному спектру.

Действуя оператором сдвига на функцию (9), получаем для волновой функции состояния, локализованного в момент времени г = 0 в точке х\ х2, д:3, выражение

Т (- х) ф = (2Я.ГМ2 ехр [ - i (р'х1 + pV + р3*3)] -

Последнее должно быть собственной функцией оператора qh координаты k, отвечающей собственному значению xk. Оператор qh определяется, следовательно, так:

ц\ (р) - (2лГ3 { pfe~* <^xk {p$k X

Хе<(р'*)ф(р/) ^Pl, (10)

Ро

где dx и dp' означают соответственно dx]dx2dx3 и dp[dp'2dp'Zt Известно, что оператор (10) можно представить в виде

Л(р)-(/-4г-^)№«)-х

Xij (p'0)''''<f(p')dxdp'= -if-JL-+-ЈL\v(p). (И)

Эти выражения справедливы как для ненулевой, так и для нулевой массы покоя. Интересно, что оператор qh после перехода из импульсного в координатное пространство приобретает сравнительно простой вид

^W-^W + ^Ji^«AL^ (12)

Здесь х и у означают пространственные части 4-векторов xv* и yv, a dy — интегрирование по у\ у2, у3. Обычный оператор qk содержит лишь первый из указанных в (11) членов.

Следует заметить, во-первых, что операторы координат, к которым с необходимостью приводят наши постулаты, коммутируют друг с другом, вследствие чего для сравнения можно пользоваться только случаем «е», указанным в работе Прайса (наши операторы qk тождественны его операторам qh). Во-вторых, состояние, локализованное в начале координат в одной координатной системе, не локализовано в движущейся системе координат, даже если в момент времени t — 0 начала обеих систем совпадают. Отсюда следует, что наши операторы qh не имеют простого ковариантного смысла при релятивистских преобразованиях. Лишены простого ковариантного смысла и обычные операторы qk. Более того, хотя на первый взгляд кажется, что волновая функция Ф(х) = 6(х) инвариантна относительно релятивистских преобразований, оставляющих неподвижным начало координат, в действительности это не более чем «математический мираж». Убедиться в «призрачности» инвариантности б-образной волновой функции лучше всего, записав 6-функ-цию в импульсном пространстве путем обращения формулы (2). Результат такого преобразования ро, действительно, имеет простой ковариантный смысл, но не является квадратично интегрируемой функцией. Если же мы попытаемся аппроксимировать его квадратично интегрируемой функцией, например фа = р0 ехр (—а2р2), то образ фа при преобразовании Лоренца не

будет стремиться к фа с ростом а. В самом деле, если ац. <^ 1, то скалярное произведение функции фа и ее образа при преобразовании Лоренца не будет зависеть от а и превышать норму фа.

ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ И НЕНУЛЕВОЙ MACCOFf ПОКОЯ

Воспользуемся еще раз описанием, предложенным в работе [12], т. е. определим волновые функции на положительной поле гиперболоида р\ = р] + р\ + р\ + ц-2 и дополним переменные рь

р2, р3 спиновыми 25 переменными Јi, £2, - - •, HS, каждая из которых содержит 4 компоненты. Волновые функции, отвечающие различным состояниям системы, будут симметричными функциями спиновых переменных | и будут удовлетворять 2s уравнениям

2 YjP** = И>> а=1> 2, 25. (13)

Непротиворечивость этой системы уравнений была доказана в работе [12]. Действующие на |а матрицы у устроены так, что две матрицы уа с различными первыми индексами коммутируют, а с одинаковыми первыми индексами удовлетворяют известным соотношениям

YSyS + yЈyЈ = 2£"\ (13а)

Существенное различие между рассматриваемым случаем и бесспиновыми ча'стицами состоит в том, что допустимые волновые функции должны не только быть заданы на положительной поле гиперболоида, но и удовлетворять уравнениям (13). Первому требованию мы удовлетворим, выбрав в качестве независимых переменных pi, р2, Рь- Выполнить же второе требование не столь просто. Построить волновые функции, обладающие всеми упомянутыми свойствами, нам поможет один прием, особенно успешно применявшийся Шредингером [5]. Определим операторы

Каждый из них является проекционным оператором:

и функция £аф автоматически удовлетворяет соответствующе-

му уравнению (13). Обозначим произведение всех операторов

Еа через Е:

Е = Е{Е2 . . . E2s, (14а)

тогда £ф — допустимая функция, удовлетворяющая всем уравнениям (13).

Скалярное произведение выберем в виде

М>, фН f Po2s~]^<Vdp. (15)

При таком определении скалярного произведения из постулата «в» и того обстоятельства, что формула (6) остается в силе и в рассматриваемом случае, сразу же следует, что всякая волновая функция, локализованная в начале координат, удовлетворяет аналогу формулы (7):

2Ж2 = (2яГ3/#+>. (16)

Оператор обращения времени имеет вид

вф(рь Ръ р0 = Сф*(- Рь -Р2> - Рз). (17)

где С — матрица, действующая на переменные £ и удовлетворяющая соотношениям

Cy°; = ylC (а=1, 2, 2s);

СУа=~У1С (a=l, 2, .... 2s; fc-1,2,3). (17а)

Если матрицы у0, у2, у3 вещественны, то матрица у1 — мнимая.

C=fWaY3a; C*-(-l)*. (176)

Поскольку матрица С, как следует из определяющих ее соотношений, вещественна, мы получаем также, что в2 = (—I)2s. Последнее соотношение справедливо независимо от.выбора

Y-матриц. Оператор инверсии пространственных координат / имеет вид

^(Pj. PV РЗ) ~ Y?Y? • • • У1^(- Рр ~Р2. ~Рз) <18)

и коммутирует с оператором Еа, определяемым по формуле (14).

Чтобы построить систему волновых функций, инвариантных относительно вращений, прежде всего определим аналог чисто спиновой функции для релятивистских уравнений (13). Для этого определим вспомогательные функции VM, не зависящие от Рь р2, Рз и содержащие одни лишь спиновые переменные Функции VM удовлетворяют уравнениям

Y°A, = fm (а=1, 2, .... 2s) (19)

И

J 1 2 YaYa^m = MVm (Ш = ~ 5> ~S+l, . . ., 5-1,5). (19a) a

Поскольку матрицы у0 и IY]Y2 коммутируют, их временно можно считать диагональными. Из уравнения (19) следует, что функции VM отвечают собственному значению +1 матрицы У°. Таких функций 22я, однако нас интересуют лишь симметричные функции переменных |, а их всего лишь 25+1. Друг от друга эти функции отличаются значением индекса Т: функция VM имеет отличные от нуля компоненты лишь при таких |, для которых s + m матриц IYLY2 равны +1, а остальные 5 — Т матриц равны —1. При таких | значение VM равно

(s + m)l (s-m)\ VII ~S (25!) J 1 '

следовательно, функция VM нормирована в том смысле, что

2 кг"-24=1. (196)

Физически индекс Т соответствует спиновому угловому моменту относительно оси л:3. Четность функции VM в силу соотношений (19) и (19а) положительна.

Функции VM не являются допустимыми, поскольку не удовлетворяют волновым уравнениям (13), поэтому мы определим спиновые функции следующим образом:

УТ (РЬ Р2, РЗЛИ • • -, HS) = EVM (Т= - 5, ..., 5). (20)

Функции Vm — допустимые волновые функции с положительной четностью и отвечают состоянию с угловым моментом mhотносительно третьей оси координат. Их нормировка отличается от (196):

Sir-M^r- (20а)

Наиболее общее решение уравнений (13) представимо в виде линейной комбинации функций Vm с произвольными коэффициентами, зависящими от рь р2, рз. Систему волновых функций, инвариантных относительно вращений и отражений, образуют волновые функции

%т - 2 5 (/, s), т_щ, Т.Р^Т,(Ь, <p)/» VM,. (21)

Здесь р, f>, ф вновь означают сферические координаты в пространстве р , р , р , Д—произвольные неизвестные функции модуля р. Если системе функций, обладающей перечисленными выше свойствами инвариантности, принадлежит какая-то одна функция вида (21), то ей принадлежат и все остальные функции того же вида с различными т, но одним и тем же множителем Д. Суммирование по I проводится по всем четным значениям от |/ — s\ до / + 5, если фj должна обладать положительной четностью, и по нечетным / — в противном случае. Величины S(l,s) —обычные коэффициенты ), позволяющие получать полный момент / из волновых функций с заданным «орбитальным моментом» / и «спиновым моментом» 5.

Поскольку полярные углы f>, ф при р = 0 неопределены, множитель fi(p) при р = 0 должен обращаться в нуль (исключение составляет случай / = 0), иначе функция ф^т имела бы при р = 0 особенность, и к ней нельзя было бы применять оператор Мт [напомним, что отношение (8) должно быть ограниченным; в действительности, ограниченность этого отношения необходимо постулировать не только для оператора M0k, но и для его квадрата]. Итак, если ряд (21) не содержит члена с / = 0, то функция ф^т при р = 0 обращается в нуль. Однако из равенства (16) следует, что ф^™ не может обращаться в нуль при р = 0, если масса покоя отлична от нуля. Следовательно, разложение всякой локализуемой волновой функции должно содержать член с / = 0. Это, в свою очередь, происходит, если / = 5 и волновая функция обладает положительной четностью.

Если же функция ф;т имеет отрицательную четность, то в разложение (21) входят лишь /ь fsi ■ • •. а эти множители при р = = 0 обращаются в нуль. Итак, все волновые функции, локализованные в начале координат, имеют угловой момент / = 5 и представимы в виде

Окончательный результат (мы опускаем ту часть вычислений, которая относится к определению ft) можно сформулировать так: имеется всего 25 +1 волновых функций, локализованных в начале координат, их явный вид определяется выражением

^m = (2n)-'h2spls+' '(p0 + ii)-sVm(pl, р2, р- !,, .... |2s). (216)

[Иначе говоря, из всего разложения (21а) остается лишь член с / = 0.] Этот результат вряд ли можно назвать удивительным ').

Оператор координат вычисляется точно так же, как и в случае нулевого спина, и имеет вид

^-*n(1+^w(-<-dw* (22)

Ot'— 1

При s = 72 эта формула согласуется с результатом Прайса [4] [см. оператор q в его работе, случай «е»].

Роль проекционного оператора Е в выражении (22) сводится лишь к подавлению той части волновой функции, которая отвечает отрицательной энергии, и выделению той ее части, которая соответствует только положительной энергии. Поскольку оператор qh действует лишь на волновые функции,

определенные на положительной поле гиперболоида, второй оператор Е (стоящий после множителя p~$j(p0 + p)s), строго говоря, можно было бы опустить. При вычислении матричного элемента между двумя волновыми функциями, с чисто положительными значениями энергии можно было бы опустить оба проекционных оператора Е [5]. Множители, содержащие р0, необходимы для эрмитовости оператора idjdpf из-за множителя PQ2S~1 в элементе объема (15) оператор будет обладать нужными свойствами, если после умножения на PQ+1^ справа и деления на тот же множитель слева он приобретет вид эрмитова

оператора. Оператор JJJj-(1 + у°) — проекционный, т. е. совпа-

а=1

дает со своим квадратом. Пользуясь этим свойством, его можно было бы ввести еще раз перед вторым оператором Е, от чего все выражение (22) приобрело бы несколько большую симметрию. Оператор координаты (11) для частицы Клейна — Гордона является частным случаем более общего выражения (22) и получается из него при 5 = 0.

Произведя над каким-нибудь состоянием сдвиг на а и измерив затем координату хк, мы получаем результат, на ак превышающий результат измерения той же координаты xh до сдвига. Отсюда при а0 — 0 находим соотношение

Т{- a)qkT(a) = qk + ak. (23)

Подставляя вместо Т(а) выражение (6) и переходя к пределу при очень малых ак, имеем

(qkpl - plqk) Ф = - йЛ1ф> (23а)

где ф — любая допустимая волновая функция. В действительности, с помощью прямых вычислений, используя тождество

ЕА (1 + Y°) ЕА = pfi (/>„ + ц) £а> (24)

мы получаем коммутационное соотношение

q V - Р V = ~ . (25)

Коммутационные соотношения операторов qk и ро имеют обычный вид, поскольку ро зависит лишь от ph. Операторы qk служат компонентами векторного оператора в трехмерном пространстве, поэтому их коммутационные соотношения с пространственными компонентами Мм также не отличаются от обычных.

В заключение мы хотели бы заметить, что аналогичное рассмотрение было проведено и для уравнений с нулевой массой покоя. В случае спина 0 и V2 мы снова получили выражения для локализованных систем, совпадающие с формулами (9) и (216). Однако для более высоких, но конечных значений спина s, начиная с s = 1 (уравнения Максвелла), оказалось, что локализованные состояния в указанном выше смысле не существуют. Это обстоятельство мы считаем неудовлетворительным, хотя и не особенно неожиданным. Не вполне удовлетворительна также и ситуация с бесконечным спином.

ОБСУЖДЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Первое, что следовало бы выяснить, — это причина, по которой наши локализованные состояния вопреки общепринятым представлениям не являются б-функциями в координатном пространстве. Происходит это, разумеется, потому, что все наши волновые функции отвечают состояниям со строго положительной энергией, чего нельзя сказать о б-функциях. Оператор (22) также преобразует волновые функции, отвечающие положительной энергии, в функции, обладающие тем же свойством.

Нередко говорят, что измерение координат частицы (например, электрона) с точностью, превышающей комптоновскую длину волны, привело бы к рождению пары. Отсюда делается вывод о том, что операторы координат не должны сохранять положительной определенности энергии, отвечающей волновой функции. Поскольку в результате измерения координат мы получаем частицу, находящуюся в определенной точке пространства, а не частицу и несколько пар, приведенные только что рассуждения в действительности означают отрицание возможности измерения координат частицы. Даже встав на подобную точку зрения, нельзя не признать странным, что рождение пары в равной мере исключает возможность измерения координат для столь сильно отличающихся систем, как электрон, нейтрон и даже нейтрино. Приведенные выше вычисления показывают, что в предположении об измеримости координат и существовании локализованных состояний элементарных систем с ненулевой массой покоя нет ничего абсурдного. Более того, постулаты «а» — «г», основанные на соображениях симметрии, однозначно определяют локализованные состояния и операторы координат для всех элементарных систем с ненулевыми массами покоя.

Для сложных (неэлементарных) систем единого определения локализованных состояний не существует. И хотя легко показать, что локализованным состояниям можно по-прежнему приписать определенный полный угловой момент /, при попытке перенести остальные рассуждения на случай сложных систем возникают трудности. В частности, суммирование в формуле (16)

возникает вопрос о том

следует производить не только по спиновым переменным 6, но также и по всем состояниям с различной полной массой покоя и спином. В результате состояния, способные сосуществовать как локализованные состояния в смысле наших постулатов, могут появиться даже при различных значениях у. Обычные рассуждения показывают, что такой ситуации следует ожидать, поскольку если система содержит несколько частиц, то состояния, в которых любая из них локализована в начале координат, удовлетворяет нашим постулатам. То же верно для состояний, в которых в начале координат локализована другая частица, или для состояний, в которых произвольная линейная комбинация координат равна нулю. В результате не только значительно возрастает число локализованных состояний, но и появляется возможность существования многочисленных обширных наборов локализованных состояний, удовлетворяющих принятым нами постулатам, хотя никакие два набора нельзя считать локализованными одновременно. Иначе говоря, каждый набор локализованных состояний для сложных систем не только гораздо шире множества локализованных состояний элементарной системы: среди многих наборов, удовлетворяющих нашим постулатам, необходимо еще произвести выбор. По-видимому, дальнейшее продвижение в определении локализованных состояний сложных систем невозможно без допущений, учитывающих конкретную структуру системы. Локализованные состояния естественно определить как такие, сужение которых на любую элементарную часть сложной системы локализуемо. Есть основания полагать, что такое определение соответствует центру масс всей системы.

имеет ли особый смысл определение локализованных состояний

и операторов координат. Такие сомнения с особой силой могут

возникать у тех, кто склонен видеть в матрице столкновений

будущую форму теории. Однако не следует забывать, что обыч-

но излагаемый вариант теории затрагивает лишь вопросы, свя-

занные с вычислением сечений. Существует другая, не менее

интересная серия вопросов, относящихся к местоположению

рассеянных частиц: насколько ближе к центру рассеяния ча-

стицы находятся в действительности по сравнению с тем слу-

чаем, когда они долетали бы до центра рассеяния, а затем,

'мгновенно повернув, продолжали бы лететь в новом направле-

нии [J6]? Для ответа на подобные вопросы в релятивистской

области необходимо иметь хоть какое-то определение локализо-

ванных состояний для элементарных систем. С этой точки зре-

ния не может не вызывать удовлетворения тот факт, что нам

удалось однозначно определить локализованные состояния

именно для таких систем. ,

/

ЛИТЕРАТУРА

1. Wigner Ann. of Math., 40, 149 (1939).

2. Eddington A. S., Fundamental Theory, Cambridge University Press, London, 1946,

3. Fokker A. D., Relativitatstheorie, Groningen, Noordhoff, 1929.

4. Pryce M. H. L., Proc. Roy. Soc, J95A, 62 (1948).

5. Schrodinger £., Sitzungsber. Berl. Akad. Wiss., 418 (1930).

6. Schrodinger £., Sitzungsber. Berl. Akad. Wiss., 63 (1931).

7. Finkelstein R. /., Phys. Rev., 74, 1563A (1948).

8. Metier Chr.t Comm. Dublin Inst, for Adv. Studies A, № 5 (1949).

9. Papapetrou A., Acad. Athens, 14, 540 (1939).

10. Thomas L. H., Ann. of Math., 42, 113 (1941).

11. Newton T. D.t Princeton Dissertation, 1949.

12. Wigner £., Nachr. Gesell. der Wissen., Mathematisch-Physikalische KJasse, Heft 5, 546 (1932). (Статья 21 данной книги.)

13. Bargtnann V., Wigner £., Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 34, 211 (1948).

14. Campbell G. A., Foster R. M., Fourier Integrals for Practical Applications, American Telephone and Telegraph Company, 1931.

15. Wigner £., Gruppentheorie und ihre Anwendungen auf die Quantenmechanik der Atomspektren, Friedr. Vieweg und Sohn, Braunschweig, 1931. (Имеется перевод: Вигнер E., Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров, ИЛ, 1961.)

16. Eisenbud L., Princeton Dissertation, 1948.

О СКРЫТЫХ ПАРАМЕТРАХ И КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИХ ВЕРОЯТНОСТЯХ )

ВВЕДЕНИЕ

Мысль о том, что вероятностный характер квантовомехани-ческого процесса измерения отнюдь не свидетельствует о несостоятельности детерминизма, высказывалась неоднократно. Сторонники этой точки зрения считают, что наша неспособность предсказать исход квантовомеханического измерения обусловлена незнанием значений, принимаемых некоторыми «скрытыми параметрами». Значения этих скрытых параметров (истинная природа последних остается неопределенной) однозначно определяют поведение описываемой ими системы и даже позволяют предсказывать результаты производимых над ней измерений. Тем не менее получить непосредственно значения скрытых параметров невозможно. Дело в том,

страница 28
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Скачать книгу "Этюды о симметрии" (2.82Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
купить шашку такси форма самолёта от одной штуки или одна штука
аренда звукового оборудования цены
часы русский стиль официальный сайт
линзы шаринган из наруто и сколко стоит

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(09.12.2016)