химический каталог




Этюды о симметрии

Автор Е.Вигнер

щая теория относительности основывается на двух аксиомах. Согласно первой аксиоме Эйнштейна, координаты сами по себе не имеют смысла; непосредственно наблюдать можно только совпадения в пространстве-времени и только такие совпадения и должны быть предметом физической теории. Эта аксиома налагает столь слабые ограничения, что, если говорить строго, с ней согласуется всякая физическая теория, в том числе (как мы увидим ниже) и современная квантовая механика. При доказательстве этого утверждения мы обнаружим, что оно выполняется при некоторых весьма специальных условиях. Хотя в обычных лабораторных экспериментах эти условия, как правило, соблюдаются, они тем не менее остаются специальными условиями. Необходимость выполнения этих условий делает обычную квантовую механику весьма искусственной с точки зрения первой аксиомы Эйнштейна,

Вторая аксиома Эйнштейна — это принцип эквивалентности, отдающий гравитации предпочтение перед всеми остальными типами взаимодействия. Обоснованием для такого предпочтения служит особая простота гравитационного взаимодействия и равенство гравитационной и инертной масс. Справедливость этого принципа в области микроскопической физики не столь очевидна, как справедливость первой аксиомы. Известно много правил, выполняющихся с большой точностью для электромагнитного и других типов взаимодействий; вполне возможно, что особая роль, отводимая гравитационному взаимодействию, исчезнет, уступив место еще неизвестной высшей гармонии. По этой причине я буду уделять основное внимание первой аксиоме Эйнштейна: непосредственный физический смысл имеют лишь совпадения, а не значения координат.

В этой связи прежде всего следует заметить, что если рассматривать лишь конечное число частиц, то первую аксиому Эйнштейна нельзя распространить даже на классическую теорию. Основной вопрос, на который теория должна была бы дать ответ, можно сформулировать примерно так: имеется 10 частиц; известно, что произошли столкновения между частицами 1—2, 5—6, 3—6; произойдет ли столкновение между частицами I—5? Ни одна из существующих теорий не пыталась дать ответа на подобные вопросы даже в тех случаях, когда условия задачи допускают некоторое уточнение, например когда известна временная последовательность столкновений для каждой частицы. Переход от счетной последовательности совпадений к непрерывному риманову пространству подразумевает существование бесконечно многих мелких частиц, непрестанно «витающих» вокруг «центральных» частиц и сталкивающихся с последними. Эти бесконечные столкновения и порождают метрику. Предположение о бесконечном субстрате, состоящем из очень малых частиц, не так уже далеко от действительности; примером такого субстрата может служить свет, испускаемый звездами. Мы узнаем о существовании звезд потому, что свет, «совпадавший» с ними, дошел до нас и «совпал» с нами. Гипотеза о бесконечном субстрате не встречает возражений и со стороны классической теории, поскольку в ней не существует ограничений на размеры частиц с заданной энергией.

Совершенно иная ситуация складывается в квантовой теории. Начать с того, что такое событие, как столкновение частиц, не является абсолютным, а подвергается наблюдению. Наиболее естественным критерием, позволяющим судить о том, что столкновение произошло, служит изменение импульса сталкивающихся частиц. Однако измерение импульса требует конечного объема, и поэтому вряд ли кто-нибудь станет утверждать, будто столкновение должно стать основным, первичным понятием физики, в терминах которого следует описывать все остальное.

Кроме того, принятие гипотезы о существовании бесконечного субстрата, состоящего из чрезвычайно малых частиц, также сопряжено с определенными трудностями. Чтобы мы могли фиксировать положение центральной частицы, например звезды, с большей точностью, субстрат должен состоять из частиц с очень короткой длиной волны. Малая же длина волны устанавливает нижний предел энергии и, следовательно, гравитационной массы субстрата. Эта трудность была бы вполне реальной и весьма «осязаемой», не будь гравитационная постоянная так мала. Малость этой константы играет чрезвычайно важную роль в формулировке современной квантовой теории, если считать, что физический смысл имеют только совпадения. При таком подходе квантовомеханический эксперимент, производимый над изолированной системой, и использование лорен-цевой метрики следовало бы описывать так. Изолированная система окружена в пространстве чем-то вроде сети, в узлах которой расположены часы. Пользуясь этой сетью, мы можем, вопервых, установить, что на поверхности, окружающей изолированную систему, пространство-время в разумном приближении допустимо считать плоским и, во-вторых, задав систему координат с лоренцевой метрикой, передавать системе импульсы и регистрировать ее отдачу. С помощью такой сети с часами можно было бы, например, измерить сечения столкновений и даже построить всю S-матрицу.

Предложенную схему нетрудно упростить, но прежде следует заметить, что необходимость использования сети с часами заставляет усомниться в целесообразности рассмотрения случая, когда простая система, например частица, находится одна во всей Вселенной, а ее параметры удовлетворяют тем или иным уравнениям. Чтобы мы могли высказывать какие-то утверждения относительно поведения нашей частицы, ее необходимо окружить сетью с часами, но окружить сетью всю Вселенную мы, очевидно, не в состоянии. Именно по этой причине я сомневаюсь в том, что уравнения для частиц в пространстве де Ситтера имеют глубокий смысл, и, в частности, в том, имеют ли смысл те свойства уравнений, которые следуют из симметрии пространства де Ситтера в целом (под последним я понимаю плоскости и центры симметрии пространства).

Если проанализировать, как интерпретируются измерения, производимые над так называемыми изолированными системами, то станет ясно, что в действительности физики неявно используют описанную нами сеть с часами, окружая ею исследуемую систему. Движение звезд и других объектов обеспечивает допустимость гипотезы о приближенно плоском пространстве и позволяет снабдить систему координат лоренцевой метрикой. Прибор, используемый для измерения, создает и регистрирует частицы, свойства которых подлежат измерению. Несложное рассуждение показывает, что гравитационные силы, исходящие от «изолированной системы», не влияют на возможность сколь угодно точного измерения сечений, если объем части пространства, заключенной внутри сети с часами, не ограничен сверху.

Описанную только что ситуацию все же нельзя назвать удовлетворительной с точки зрения общей теории относительности, поскольку та физическая величина, которая порождает метрику, отличается от исследуемой физической величины. Идеализированная сеть с часами, позволяющая установить метрику, но не вносящая своим гравитационным полем никаких возмущений в «изолированную систему», может существовать лишь потому, что гравитационная постоянная очень мала. В теории,, полностью удовлетворяющей первой аксиоме Эйнштейна, физическую систему не нужно было бы делить на две части: одну — создающую метрику, другую — подлежащую измерению.

Простейший способ построения такой теории состоял бы в полном отказе от использования координат. Вопросы, на которые могла бы давать ответ физическая теория, звучали бы примерно так: «У меня есть система, в которой имеется некоторое трехмерное многообразие, обладающее следующим свойством: вероятность найти на этом многообразии частицу 5 равна произведению вероятностей найти на нем частицы 1, 2, 3 и 4. Существует ли другое трехмерное многообразие, для которого вероятность обнаружения на нем частицы 5 определяется какой-то другой известной функцией вероятностей обнаружения на нем же частиц 1, 2, 3 и 4?» В такую теорию входили бы не производные полевых величин по координатам, а производные одних амплитуд вероятности по другим.

В отсутствие взаимодействия уравнения такой теории можно было бы получать, исключая координаты из уравнений обычной квантовой механики. Эта программа вполне осуществима, хотя я сам получил в этом направлении лишь предварительные и весьма неполные результаты. Уравнения, возникающие в результате исключения переменных, отличаются от обычных уравнений меньше, чем можно было бы ожидать. В них, в частности, вновь возникают величины, аналогичные gih. Физический смысл новых уравнений тождествен физическому смыслу исходных уравнений, и я приведу сейчас пример таких уравнений лишь для того, чтобы проиллюстрировать свою мысль, хотя я и уверен, что эти уравнения не решают никаких проблем.

Рассмотрим для простоты мир, обладающий лишь одним

пространственным измерением, и поля, удовлетворяющие урав-

нению Клейна—Гордона. Воспользуемся двумя такими полями

ф! и ф2 для того, чтобы исключить координаты. Остальные поля

обозначим фа. Вычислим вторую производную от ф по х в пере-

менных (р:

Левая часть уравнения (9), просуммированная по х, даст

тоФа- Суммируя по х правую часть, получаем из (9) уравнения

где

8il

S

(10а)

Уравнения (10) можно рассматривать как уравнения, определяющие gij. Условие совместности сводится к обращению в нуль детерминанта 4-го порядка (а=1, 2, 3, 4)

= 0.

(И)

Уравнение (11) не содержит координат. Как я уже говорил, оно приводится здесь лишь в качестве иллюстрации, а не потому, что имеет какой-то особый смысл.

ЛИТЕРАТУРА

1. Dirac Р. А. М., Proc. Roy. Soc, 117, 610 (1928).

2. Dirac P. A. AT., Proc. Roy. Soc, 118, 351 (1928).

3. Pauli W„ Phys. Rev., 58, 116 (1940).

4. Pauli W.t Progr. Theor. Phys., 5, 526 (1950),

5. Schwinger /., Phys. Rev., 82, 914 (1951).

6. Jauch /., Rohrlich F., Quantum Field Theory, Addison-Wesley Press, New York 1955

7. Wigner £".,' Nuovo Cim., X3, 517 (1956).

8. Newton T. A, Wigner Rev. Mod. Phys., 21, 400 (1949). (Статья 22 данной книги.)

9. Wigner E., Ann. of Math., 40, 149 (1939).

10. Bargmann V., Wigner E., Proc Nat. Acad. Sci. USA, 34, 211 (1948).

11. Bargmann V., Ann. of Math., 59, 1 (1954).

12. Indnu E., Wigner E.t Nuovo Cim., 9, 705 (1952).

13. Indnu E., Wigner Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 39, 510 (1953).

14. Thomas L. Ann. of Math., 42, 119 (1941).

15. Newton T. £>., Ann. of Math., 51, 730 (1950).

16. Dirac P. A. M„ Ann. of Math., 36, 657 (1935).

ОБ ОПЕРАЦИИ ОБРАЩЕНИЯ ВРЕМЕНИ В КВАНТОВОЙ

МЕХАНИКЕ )

1. При исследовании вращения плоскости поляризации в магнитном поле Крамере [1J установил важные общие свойства решений квантовомеханической задачи на собственные значения ). В частности, он показал, что в системе с нечетным числом частиц, находящейся под действием сил чисто электрической природы, всегда должно происходить по крайней мере двукратное вырождение уровней энергии. Свои результаты Крамере получил, исходя из решения задачи на собственные значения для выведенного Брейтом [3] уравнения, которое остается релятивистски инвариантным и во втором порядке теории возмущений. С помощью прямых выкладок он показал, что, когда число электронов нечетно, из одного решения уравнения Брейта можно получить другое, отличное от первого.

В настоящей работе предпринимается попытка дать несколько более общее обоснование результатов Крамерса, в частности показать, что используемая им операция представляет собой не что иное, как операцию обращения времени. Эту операцию мы включим в обычную теоретико-групповую схему уровней энергии, что, как мы увидим, не совсем тривиально вследствие ее нелинейности.

Известно, что многие важные общие свойства квантово-ме-хапических систем, в особенности те, которые представляют интерес для спектроскопии, тесно связаны с симметрией систем. Чтобы мы могли воспользоваться соображениями симметрии, рассматриваемый уровень энергии должен обладать лишь конечным вырождением. Для системы, свободно перемещающейся в пространстве (например, для атомов), это условие заведомо не выполняется вследствие непрерывного спектра, обусловленного движением системы как целого. К решению возникшей проблемы существует два подхода: во-первых, можно считать, что ядра не принадлежат интересующей нас системе и связаны с фиксированными точками пространства; во-вторых, можно

ввести дополнительное условие, запрещающее системе свободно перемещаться в пространстве,— потребовать, чтобы система обладала не только строго заданной энергией, но и нулевым полным импульсом ). При рассмотрении атомов оба подхода приводят к одинаковым результатам. При изучении молекул первый подход используют в тех случаях, когда основной интерес представляют электронные уровни, а второй — когда желательно учесть движение ядер. Поскольку в действительности ядра не связаны с фиксированными точками пространства, первый подход позволяет получать лишь приближенные результаты ).

В своей работе мы покажем, что установленные Крамерсом свойства связаны с разновидностью симметрии, не рассматривавшейся ранее. Наши результаты применимы в обоих только что названных подходах, которые мы для удобства будем называть просто первым (фиксированные ядра) и вторым (нулевой полный импульс).

2. Рассмотрим систему, свободно перемещающуюся в пространстве. Если внешних полей нет, то ее группой симметрии будет неоднородная группа Лоренца, а в нерелятивистском случае— неоднородная группа Галилея, которые помимо обычных преобразований Лоренца или Галилея содержат еще сдвиги в пространстве и времени (х/ = л^ + Яг). При рассмотрении системы, не обладающей способностью свободно перемещаться в пространстве, симметрия задачи, естественно, уменьшается.

При первом подходе неподвижные центры притяжения прежде всего определяют состояние абсолютного покоя. Тем самым исключаются преобразования, при которых исходная и конечная системы координат движутся относительно друг друга. По аналогичным причинам отпадает и большинство чисто пространственных преобразований. Остаются лишь те преобразования, которые входят в группу симметрии решетки, образуемой центрами притяжения (раньше их также всегда включали в рассмотрение). Кроме того, существуют еще и чисто временные преобразования tf = t-hto и =—t. Если рассматриваются одни лишь сдвиги во времени, то задание энергии однозначно

— iEUh

определяет представление е , которому принадлежит состояние. Из свойств этой симметрии, в частности, следует, что состояния с точно заданной энергией не меняются со временем. Таким образом, преобразования ?=t + t0 не позволяют прийти к каким-либо новым заключениям, и нам не остается ничегодругого, как заняться изучением преобразования t'~—t, выражающего обратимость времени. Как мы увидим далее, именно это преобразование приводит к правилам Крамерса. Разумеется, об обратимости времени можно говорить лишь тогда, когда внутреннее движение центров притяжения не влияет на направление времени и, в частности, когда они не создают магнитное поле ). Что же касается полей, обусловленных спином ядер, то они очень слабы, и в первом приближении ими вполне можно пренебречь (наши рассмотрения и без того носят лишь приближенный характер).

Аналогичная ситуация возникает и при втором подходе. Действительно, если в некоторой системе координат полный импульс системы равен нулю, то эта система координат выделена, и ее можно считать покоящейся. Это означает, что из чисто пространственных преобразований мы должны вычеркнуть сдвиги, поскольку система с нулевым полным импульсом принадлежит к тривиальному представлению группы сдвигов, т. е. вообще не изменяется при сдвигах. С остальными чисто пространственными и чисто временными преобразованиями все обстоит так же, как и в уже рассмотренном нами первом случае. Единственное отличие заключается лишь в том, что теперь чисто пространственные преобразования обычно (в отсутствие внешних полей) порождают всю группу трехмерных вращений.

Итак, мы видим, что как первый, так и второй подход к квантовомеханической задаче, помимо рассматривавшихся ранее элементов симметрии (чисто пространственных преобразований), содержит еще один элемент симметрии — обращение времени. Исследованием этого элемента симметрии (только в нерелятивистском случае!) мы и займемся в дальнейшем.

3, Прежде всего необходимо выяснить, какая операция К переводит волновую функцию ф в волновую функцию Кц> такого состояния, которое отличается от состояния, описываемого функцией ф, направлением времени: прошлое Кц> совпадает с будущим ф, а будущее Кц> тождественно прошлому ф. Предположим сначала, что мы действуем в рамках упрощенной теории Шредингера, не учитывающей спина частиц. Тогда функция ф — ф(#ь х%, хп) зависит лишь от декартовых координат частиц.

В используемом нами упрощенном варианте теории Шредингера операция /С, как известно, совпадает с операцией комплексного сопряжения: /Сф=ф*. Однако мы сохраним за операцией обращения времени обозначение К и будем использовать лишь следующие три ее свойства:

№р = ф, K2=l, (I)

К (шр + Н) = cfKy + b*Kty, (II)

(Ф, ф) = (ф, ФГ = №1>, лгф), (Ш)

или

«Ф, ^) = (Ф, W = Ф). (Ша)

[Здесь («, и) означает эрмитово скалярное произведение функций а и и, т. е. интеграл от u*v по всему конфигурационному пространству.] Оказывается, что при четном числе электронов результаты, полученные нами, полностью справедливы и для теории, учитывающей спин. Единственное различие состоит лишь в том, что К будет означать не обычный переход к комплексно сопряженному выражению, а некоторую другую операцию, также обладающую свойствами (I) — (Ш). Из равенства (II) следует (и это существенно для дальнейшего), что оператор К нелинеен. Все остальные операторы линейны, и мы не всегда будем особо подчеркивать последнее обстоятельство.

Функция вещественна, если Кц> = ф, и мнима, если — —ф. Линейный эрмитов оператор А называется вещественным, если он переводит вещественную функцию в вещественную. Вещественный оператор, очевидно, переводит комплексную величину в комплексно сопряженную, вследствие чего

Мф = ЯЛф, АК = КА, А^КАК. (1)

Мнимый оператор В переводит вещественную функцию в чисто мнимую и, таким образом, удовлетворяет соотношению

В = - КВК. (2)

Из соотношения (1) в силу обратимости времени следует, что если ф — собственная функция оператора Л, то /Сф — также собственная функция. Функции ф и ^ф можно заменить вещественными функциями ф+^Сф и /(ф—/Сф). Отсюда ясно, что все собственные функции, не ограничивая общности, можно считать вещественными. Следовательно, оператор энергии должен быть вещественным (к такому же заключению' мы приходим, рассматривая оператор Шредингера).

Аналогичные утверждения справедливы для всех чисто пространственных преобразований симметрии. Произведем ли мы сначала поворот Q, а затем операцию обращения времени или, наоборот, сначала обратим время и лишь затем произведем поворот,— результат (состояние) будет один и тот же. Следовательно, для всех ф

Щц> - c9QK<p, (3)

где сФ — константа, равная по модулю 1; для различных волновых функций она могла бы быть разной. Покажем, что коэффициент с;Г одинаков для всех волновых функций. Если бы коэффициент сф отличался от с^, то в силу линейности Q следовало бы, что

KQ (ф + = KQy + KQty = СФ<Жф + =

= <y^QK (ф + Ф) = <чр+1$/Сф 4- Сф+^/С^,

откуда

Заменим далее оператор Q оператором 0 = |/cffQ; тогда

/СОф - О/Сф. (За)

Следовательно, оператор О веществен. В упрощенном варианте теории Шредингера это также естественно, поскольку операциями симметрии в ней служат вещественные преобразования аргументов волновых функций.

Вещественный характер волновых функций и операторов имеет решающее значение при рассмотрении элемента симметрии ¥ — —г. Вещественны вообще все операторы, которые либо не содержат времени, либо содержат лишь четные степени t (ибо для таких операторов их средние значения для ф и Кц> равны). Следовательно, операторы координат и функций координат, квадрата скорости, кинетической и полной энергии и т. д. вещественны. Наоборот, все операторы, содержащие нечетные степени t (например, операторы скорости, углового момента и т. д.) мнимы, ибо их средние значения для ф и /Сф равны по величине и противоположны по знаку. В самом деле, в первом случае

(Лф, ф) = (ф, Лф) = (/Сф, Мф) - (КАКу, Ф), откуда мы заключаем, что

А - КАК.

Во втором случае

(Ф, Вф) = - (/СФ, вк<?) мы получаем соотношение

в = - квк.

4. Мы видим, что все собственные функции можно считать вещественными. Отсюда сразу же следует, что среднее значение мнимого эрмитова оператора для всех состояний с одной и той же энергией должно быть равно нулю:

(ф„ £ф,Жф2, ЯФ2) + №з, £фз)+ ••• =0, (4)

ибо каждое слагаемое в левой части равно нулю, если собственные функции вещественны:

При отсутствии вырождения (например, в случае когда система не обладает пространственной симметрией) аналогичное утверждение справедливо и для отдельных собственных функций. Так, например, среднее значение скорости для любого стационарного состояния равно нулю. То же можно сказать о кубе и вообще любой нечетной степени компонент скорости, поэтому любая скорость имеет ту же вероятность, что и скорость, равная ей по величине, но противоположная по направлению. Аналогичные утверждения справедливы и для углового момента.

5. Перейдем теперь к случаю, когда система помимо инвариантности относительно обращения времени обладает еще и пространственной симметрией. Рассмотрим собственные функции фь ф/, принадлежащие неприводимому представлению D группы пространственной симметрии:

ол=2я(£М\. (5)

Операция обращения времени коммутирует со всеми пространственными элементами симметрии, в силу чего с чисто математической точки зрения полную группу симметрии системы можно представить в виде прямого произведения группы пространственной симметрии и операции обращения времени. Однако применять теорию представлений в ее обычной форме к такой полной группе нельзя, поскольку операция обращения времени нелинейна. При более детальном рассмотрении выясняется, что необходимо различать три случая (см. работы [6,7]):

а) представление D можно преобразовать к вещественному

виду;

б) представления D и D* неэквивалентны;

в) представления D и D* эквивалентны, но их нельзя при-

вести к вещественному виду.

Случай «а». Рассматривая, например, все однозначные представления трехмерной группы вращений и вращений с отражениями, двумерной группы вращений с отражениями, а также представлений симметрической группы, можно считать, что

представление D заранее приведено к вещественному виду. Из (5) при переходе к комплексно сопряженным величинам находим

KOjrtb, = OgKb = 2 D {IQbKb • (6)

То же соотношение справедливо и для вещественных функций

в силу чего функции щу ..., ^ под действием как пространственных преобразований, так и обращения времени преобразуются только через функции и. Функции v\, ..., vt также преобразуются только через v. Поэтому если функции и и v линейно независимы, то нет никаких оснований считать, что функции v должны принадлежать тому же собственному значению, которому принадлежат функции и (даже в том случае, когда имеет место случайное вырождение).

Таким образом, в случае «а» обращение времени не приводит к дополнительному вырождению и проявляется лишь в том, что все собственные функции, принадлежащие вещественной форме представления, путем умножения на некоторую константу также приводятся к вещественному виду.

Если А — вещественный эрмитов оператор и функции г|з* и ijjj принадлежат собственным значениям типа «а», то связывающий их матричный элемент оператора А оказывается вещественным:

(Ь, Л*/)*« УС*,, КАЪ) = {Ъ, Aty). (7)

Если оператор А обладает еще и пространственной симметрией задачи, то, комбинируя элементы этой симметрии с равенством (7), можно получить дополнительные сведения о свойствах матричного элемента оператора А. Хотя в дальнейшем это нам нигде не понадобится, упомянем в качестве примера, что среднее значение мнимого эрмитова оператора, обладающего пространственной симметрией задачи (такими операторами могут быть

2 ХпРпх + РпхХп + УпРпу + РпуУп + ZnPnz + PnzZn п

ИЛИ

хМх + уМу + гМг),

для любого стационарного состояния ctity] + ... + a$i равно нулю, если нет случайного вырождения

(2 Mb. 8 2 «А) = 2 а*ак(^

где скалярное произведен

страница 26
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Скачать книгу "Этюды о симметрии" (2.82Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
детская вратарская форма футбольная легия
виниловая наклейка радиация
таланты и поклонники
ремонт вмятины где

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(27.07.2017)