химический каталог




Этюды о симметрии

Автор Е.Вигнер

постулируется в специальной теории относительности, являются макроскопическими, и на них не распространяются кванто-вомеханические соотношения неопределенности. Более того, все успехи теории относительности достигнуты в области макроско-

•) Из журнала: Helv. Phys. Acta, Suppl., IV, 210 (1956). Этот выпуск журнала посвящен пятидесятилетнему юбилею теории относительности.

пической физики. Основным объектом изучения в теории относительности служит явление, которое современный физик-экспериментатор заведомо проглядел бы, если бы не одно чисто внешнее обстоятельство: экспериментатор и его приборы постоянно «привязаны» к полу лаборатории. Объекты, представляющие основной интерес для квантовой теории, по своей природе макроскопические: частицы, изучаемые в квантовой механике, настолько легки, что их индивидуальный гравитационный эффект почти заведомо ненаблюдаем даже в принципе. Если иметь в виду столь сильные различия в развитии и в предмете теории относительности и квантовой теории, то серьезные трудности, с которыми физики столкнулись при попытке объединить обе эти теории, вряд ли вызовут удивление. Более того, было бы удивительно, если бы для осуществления полного синтеза теории относительности и квантовой теории нам не понадобилось бы изучить еще целый ряд новых явлений. Приятно отметить, что и попытки частичного объединения идей столь различных теорий увенчались огромным, хотя и несколько неожиданным, успехом. Говоря об успехах релятивистской квантовой теории, я имею в виду главным образом предложенное Дираком простейшее, релятивистски инвариантное уравнение для отдельной частицы (электрона), позволяющее учесть ащн частицы [1, 2], кроме того, данное Паули доказательство, что простейший способ квантования уравнения для отдельной частицы естественно приводит к сформулированному Паули постулату эквивалентности для всех частиц и к принципу запрета для частиц с полуцелым спином [3—5], а также релятивистски инвариантные методы теории возмущений, разработанные Томонага, Швингером и Фейнманом и позволившие описать тончайшие детали строения электронных спектров водорода и других элементов [6]. Однако, несмотря на всю важность этих достижений, я не буду излагать подробно полученные результаты, а попытаюсь нарисовать общую картину современного состояния столь важной области физики. В частности, я постараюсь проследить переход от классической физики к теории относительности на примере квантовомеханических уравнений элементарных частиц и инвариантов этих уравнений. Сначала я рассмотрю классическую теорию, а затем подробно опишу переход к специальной теории относительности. Прежде чем приступать к обсуждению общей теории относительности, мы изучим квантовомеханические свойства пространств де Ситтера. Это позволит нам построить наиболее точную математическую модель общей теории относительности, не прибегая вместе с тем к полной переформулировке наших представлений о пространстве и времени. Однако следует подчеркнуть, что при рассмотрении пространств де Ситтера мы еще не сталкиваемся

с теми весьма серьезными логическими проблемами, которые возникают при полном включении глубоких физических идей общей теории относительности в единую схему релятивистской квантовой теории. Эти проблемы будут слегка затронуты в конце доклада.

В основе большей части моего анализа лежит идея эквивалентности между квантовомеханическими уравнениями для одной частицы и простейшими — так называемыми неприводимыми — представлениями (с точностью до множителя) группы симметрии того мира, в котором эти уравнения применяются. Несколько недель тому назад !) я уже имел возможность изложить некоторые аспекты своих взглядов и поэтому постараюсь не повторяться. Наиболее важным моментом я считаю рассмотрение с одних и тех же позиций преобразования вектора состояния (или волновой функции) под действием всех элементов группы симметрии нашего «мира» (см. [9, 10]). Одним из таких преобразований служит «течение времени», т. е. сдвиг временной оси. Именно это преобразование представляет основной интерес в более привычном варианте теории, однако более глубокого понимания смысла релятивистской инвариантности можно достичь, лишь рассмотрев это преобразование не в отдельности, а в связи с другими релятивистскими преобразованиями.

Прежде чем приступать к основной части своего доклада, я хотел бы пояснить свою мысль на одном примере, основанном на специальной теории относительности. Начнем с оператора бесконечно малого сдвига во времени, играющего особо важную роль в более традиционной формулировке теории. Из общих принципов квантовой механики следует, что этот инфини-

') Доклад был прочитан на конгрессе Международного союза чистой и

прикладной физики, состоявшемся в Пизе с 13 по 17 июня 1955 г.; см. ра-

боту [7]. Следует отметить, что соображения, о которых пойдет речь в до-

кладе, применимы не только к допустимым состояниям отдельной частицы,

но и ко всем наборам состояний, в которых число элементов настолько мало,

насколько это согласуется с принципом суперпозиции и с релятивистской ин-

вариантностью. Так, например, они одинаково хорошо применимы ко всем со-

стояниям движения атома кислорода (или почти любого другого атома), нахо-

дящегося в основном состоянии. Требование о «возможно малом» наборе со-

стояний исключает состояние движения атома кислорода, находящегося в двух

или большем числе возбужденных состояний, потому что из них можно вы-

брать меньший набор состояний, для которых будет выполняться принцип

суперпозиции и которые к тому же допускают релятивистски инвариантное

описание: используя термин «основное состояние», мы даем именно такое ре-

лятивистски инвариантное описание набора. Этим и объясняется, почему выра-

жение «отдельная частица» было сочтено недостаточно широким для описания

систем, к которым применимы наши соображения, и мы предпочли назвать эти

системы «элементарными». Отдельные частицы являются лишь наиболее важ-

ными физическими системами этого типа. Более подробно о понятии элемен-

тарной системы см. в работе [8]. -

тезимальный оператор имеет вид tf/f, где Н — некоторый самосопряженный оператор. Отсюда для вектора состояния Ф получаем известное уравнение

t%-HO. (!)

Если фй и vh — собственные функции и собственные значения оператора Я, то общее решение уравнения (1) можно записать сразу же. Оно имеет вид

Ф=-2а.в",У*Ч.. (1а)

где ak — произвольные постоянные. Это — полное решение уравнений движения, однако его нельзя назвать полным решением физической проблемы, поскольку физические свойства состояний ф/j неизвестны. Иными словами, уравнение (1а) говорит о том, как происходит движение, но умалчивает о том, что движется.

Здесь решающее значение приобретает связь между оператором сдвига во времени и другими релятивистскими операторами. Из нее мы, например, узнаем, что инфинитезимальные операторы сдвигов вдоль пространственных осей iPx, iPyi iPz коммутируют с оператором Н, ибо независимо от того, в каком порядке мы будем производить сдвиги в пространстве и во времени, результат получггтся один и тот же. Из этого замечания следует, что все которые переходят друг в друга под действием сдвигов, отвечают одинаковым собственным значениям Vfe. Сам по себе этот результат тривиален, но рассмотрение собственных преобразований Лоренца и вращений приводит к более значимым результатам и позволяет устанавливать физически важные свойства собственных функций ф^, если набор операторов, соответствующих всем релятивистским преобразованиям, неприводим [8]. В этом и заключается сущность той позиции, с которой я хочу сравнить классическую и релятивистскую квантовую теорию.

Обозначим через Ur и U8 унитарные операторы, соответствующие двум релятивистским преобразованиям г и s (ими, например, могут быть уже упоминавшиеся сдвиги). Тогда оператор Urs, отвечающий произведению rs двух релятивистских преобразований, очевидно, будет удовлетворять соотношению

urs = urus.

Чрезвычайно важен тот факт, что это соотношение не является необходимым следствием основных постулатов квантовой теории и инвариантности уравнений. Наоборот, поскольку векторы состояния содержат неопределенный множитель, квантовая теория и соображения симметрии приводят лишь к соотношению

c/rs=co(r, s)UrUat (2)

где со (г, s) —функция (очисло), зависящая от г и s. В математике об унитарных операторах, удовлетворяющих равенству (2), говорят, что они с точностью до множителя образуют (унитарное) представление группы симметрии. Поэтому весь последующий анализ будет основан на рассмотрении представлений (с точностью до множителя) группы классической механики (галилеевой группы), группы специальной теории относительности (неоднородной группы Лоренца или группы Пуанкаре), группы симметрии пространства де Ситтера и т. д. Начнем с классической теории.

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

X " xf~

vy ау У yr

аг z zf

1 at t f

0 1 1 1

В этом случае группа симметрии состоит из преобразований симметрии евклидова пространства, т. е. из вращений и сдвигов и преобразований Галилея, т. е. преобразований, описывающих переход к движущейся системе координат. В матричной записи все названные преобразования имеют вид

R\i R12 К\ъ

(3)

R2I $22 $23

R3\ R32 R33

ООО

_ о о о

Будучи примененной к вектору с компонентами х, у, г, /, 1, такая матрица порождает вектор, последняя компонента которого снова равна 1. Эта компонента не имеет физического смысла и вводится исключительно из соображений математического удобства. Первые же четыре компоненты вектора х\ у', z\ t\ 1, получающегося из вектора х, у, г, t, 1 при действии нашей матрицы, указывают значения преобразованных координат х\ у', z\ tf. Величины R называются компонентами матрицы вращения; они описывают поворот, содержащийся в обобщенном преобразовании Галилея; vx, иу, vz—компоненты скорости второй системы координат относительно первой, а параметры а — сдвиг начала второй системы относительно начала первой во времени и в пространстве. Группа матриц вида (3) называется группой Галилея. Это и есть группа симметрии классической механики. Исследование представлений с точностью до множителя группы Галилея приводит к удивительному результату [11]: существует два и только два типа представлений. Первый тип — простейший из возможных; операторы такого представления удовлетворяют соотношению Urils = Urs, где г и s — любые два преобразования Галилея. В частности, если г— пространственный сдвиг, а 5 — переход к движущейся системе координат, то Ur и U8 коммутируют. В представлениях второго типа пространственные сдвиги и переходы к движущейся системе координат не коммутируют: произведения этих операторов, взятых в различном порядке, отличаются множителем

it<^l=pi/na.v (л\

GJ ($, Г) * ' W

где m — произвольная вещественная постоянная. Уравнение Шредингера (для одной частицы) принадлежит ко второму типу, а величина т, входящая в формулу (4), имеет смысл массы частицы. Исследование представлений второго типа, в общих чертах намеченное во введении, приводит к обычным операторам для импульса, скорости, энергии и координат. Например, чтобы получить операторы координат, необходимо найти три коммутирующих между собой оператора, преобразующихся при поворотах как векторы. Сдвиг начала координат на вектор а должен изменять эти операторы на аддитивную постоянную а. Кроме того, искомые операторы должны оставаться инвариантными при переходах к движущейся системе координат. Существует только один набор из трех операторов, удовлетворяющих всем требованиям. Эти операторы совпадают с обычными операторами координат. Аналогично можно определить и операторы импульса и скорости. Их отношение равно величине ш, входящей в формулу (4).

Итак, ситуация с представлениями второго типа вполне удовлетворительна, но те же постулаты для представлений первого типа не выполняются. В гильбертовом пространстве представлений первого типа не существует троек операторов, удовлетворяющих, например, условиям, перечисленным для операторов импульса [12]. Инфинитезимальные операторы сдвигов рХл ру, pz при переходе к движущейся системе координат преобразуются как

р->р, 8->e+pv,

т. е. операторы пространственных сдвигов при таких преобразованиях остаются неизменными. Отсюда с необходимостью следует вывод о том, что представления первого типа не имеют физического смысла и что не существует частиц, векторы состояния которых под действием преобразований Галилея преобразуются по представлению первого типа. Пока этот результат кажется нам обособленным, то он предстанет в новом свете,

когда мы будем рассматривать классическую механику как предельный случай специальной теории относительности.

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ "

Группа симметрии в этом случае состоит из комбинаций пространственных и временных сдвигов с обычными (однородными) преобразованиями Лоренца. Последние в свою очередь имеют смысл комбинаций вращений и переходов к движущейся системе координат. Преобразования группы специальной теории относительности можно записать с помощью матриц вида

"Л„

л12 Л13 Л

л21 Л-22 л23 л

Л33 л

Ли Л03 л(

0 0 0 0

X

У У'

Z zf

t V

_1 _ _ 1

(5)

Последняя координата, как и прежде, введена для большего математического удобства. Элементы Л означают компоненты однородных преобразований Лоренца, т. е. преобразований, оставляющих инвариантной квадратичную форму х2 + у2 + -f z2 — t2 (отражения, или инверсии, мы пока не рассматриваем). Известно, что галилеевы преобразования (3) можно считать предельными случаями преобразований (5). Интересно проследить, каким образом представления группы Галилея возникают из представлений (5) в результате предельного перехода, т. е. каким образом квантовая теория классической физики возникает как предельный случай квантовой механики специальной теории относительности.

Ни одно представление группы Пуанкаре (5) не имеет множителя, аналогичного множителю (4) группы Галилея, Наоборот, все представления неоднородной группы Лоренца (она же — группа Пуанкаре) можно нормировать так, что соотношение

UrUs = ± Urs (6)

Pl

будет выполняться для любых двух преобразований г и s. С другой стороны, представления можно классифицировать по значениям, принимаемым лоренцевой суммой квадратов инфи-нитезимальных операторов сдвига

У

(7)

Pi -Рх~Р

Эта величина может быть положительной, равной нулю или отрицательной.

Только первые два случая были исследованы подробно. Оказалось, что они эквивалентны уравнениям для частиц с положительной и нулевой массами покоя. Если сумма (7) положительна, то операторы импульса, скорости и координат можно определить аналогично тому, как уже говорилось в случае галилеевой группы. Если же сумма (7) равна нулю, то определить операторы координат в некоторых случаях бывает невозможно, но удовлетворить всем постулатам для операторов импульса и скорости удается всегда, причем одним и только одним способом. При переходе от (5) к (3), т. е. при обращении скорости света в бесконечность, только что описанные представления переходят в представления галилеевой группы.

Соответствие между представлениями имеет следующий вид [13]:

р1- р\- р1 -pl = m2>0, со = eima'v;

р1- р\- — pl = 0, конечный спин, со = efSa'v;

р\- р1- р\ — р\ = 0, бесконечный спин, со — 1;

р\~ р1- Pi -й<о, со = 1;

где со — величина, входящая в формулу (4). Представления, отвечающие положительной и обычной, нулевой массе покоя, имеют разумный нерелятивистский предел. В остальных случаях предельный переход приводит к представлениям, в которых нельзя определить ни оператора импульса, ни оператора координат. Случай, когда сумма (7) отрицательна, т. е. когда инфинитезимальные операторы сдвигов образуют пространственно-подобный вектор, по общему мнению, противоречит условиям причинности Крамерса — Кронига. Нетрудно видеть, что в этом случае разумный нерелятивистский предел также не существует. Отсюда ясно, какой должна быть интерпретация истинных представлений группы Галилея (т. е. для которых при всех г и 5 справедливо соотношение UrUs = ±Ј/rs): они служат нерелятивистским пределом релятивистских частиц с пространственно-подобным импульсом, для которых нарушается принцип причинности.

Чтобы полностью задать представление (или эквивалентное ему уравнение), необходимо помимо массы указать еще спин частицы 5. Если масса, покоя положительна, то частицу можно считать покоящейся, и тогда число ее состояний равно 25 + 1. Число состояний при любом заданном импульсе также равно 25 + 1. Если же масса покоя равна нулю, то при всех 5 >-1/2 существуют лишь два различных состояния частицы. Частицу с нулевой массой покоя, разумеется, нельзя рассматривать в системе покоя. Тем не менее, столь сильное различие в поведении частиц с нулевой и конечной массами покоя следует объяснить несколько подробнее.

Если частица находится в состоянии покоя и спин ее в любом направлении имеет вполне определенное значение, то 25 + 1 состояний частицы можно получить, наблюдая ее из систем координат, получающихся из исходной системы координат после соответствующего поворота. Однако если частица движется очень быстро, т. е. если пространственная и временная компоненты ее импульса почти равны, а ее спин имеет вполне определенную проекцию на любое направление движения частицы, то ситуация становится инвариантной относительно вращений. Чтобы заметно изменить спин в направлении движения, частицу необходимо рассматривать в системе координат, относительно которой она находится почти в состоянии покоя, т. е. ее скорость существенно меньше скорости света. Если масса покоя частицы равна нулю, то этого сделать нельзя. Следовательно, спин частиц с нулевой массой покоя в направлении их движения является релятивистской характеристикой таких частиц. То обстоятельство, что частицы с нулевой массой покоя имеют вместо одного два направления поляризации, обусловлено симметрией относительно отражения. Отражение переводит спин S в направлении движения частицы в спин —5 в том же направлении. В случае конечной массы покоя состояние —5 (так же как и все остальные направления) можно также получить, применив вращение; четность есть отношение векторов состояния, полученных при вращении и отражении. Поскольку при нулевой массе покоя состояние —5 нельзя получить из состояния 5 вращением, частицы с нулевой массой покоя не имеют четности или, точнее, обладают состояниями, которые являются одновременно и четными и нечетными относительно отражения при одних и тех же энергиях и импульсах. Имеется лишь одно исключение: частица Клейна — Гордона (S = 0)\ Для нее отражение не порождает нового вектора состояния, а воспроизводит со знаком плюс или минус исходный.

Поляризация быстро движущейся частицы под действием не слишком «сильного» преобразования Лоренца почти не меняется; это особенно легко видеть на примере электрона Дирака. Если состояние с положительной поляризацией в направлении движения разложить по собственным функциям оператора у — iytyxyyyz, то модули коэффициентов будут равны

pt + т + р Pt + m-p

Вектор состояния, для которого у = 1, останется вектором с у = 1 и после выполнения преобразования Лоренца. То же верно и для вектора состояния с у = — 1. Если коэффициент при первом векторе практически равен 1, то и после преобразования Лоренца, не изменяющего длину вектора с у = 1, этот коэффициент останется близким к 1. Отсюда следует, что при таких преобразованиях Лоренца поляризация существенно не изменится.

Это можно выразить и иначе, показав, что интересующее нас свойство является свойством группы Лоренца и не зависит от выбора ее представления, т. е. выполняется при всех значениях спина. Рассмотрим частицу, находящуюся в состоянии покоя и поляризованную в направлении оси г. Подвергнув частицу преобразованию Лоренца с гиперболическим углом се, сообщим ей скорость в направлении оси г. Позднее мы будем считать, что этот угол очень велик и что частица «сильно» релятивистская, пока же мы получили частицу, поляризованную в направлении движения, которое совпадает с осью г. Чтобы получить частицу, поляризованную в направлении своего движения, но уже движущуюся в каком-то другом направлении, необходимо сначала произвести поворот и добиться желаемого направления поляризации, а затем сообщить частице скорость в нужном направлении. Релятивистскую инвариантность утверждения о том, что частица поляризована в направлении своего движения, можно проверить следующим образом. Частице, движущейся в направлении оси z и поляризованной в том же направлении, сообщим скорость в направлении оси х, подвергнув ее преобразованию Лоренца с гиперболическим углом е. Сначала мы будем считать угол 8 произвольным, но затем предположим, что он много меньше угла а. Частица могла бы находиться в том же состоянии движения, если бы ей сначала сообщили скорость в направлении, составляющем угол f> с осью z (подвергнув ее преобразованию с гиперболическим углом се'), где

спо/= chache, sinf} & cha sh e/sh a'. (8а)

Однако направление поляризации во втором случае отличалось бй от направления поляризации в первом. Чтобы оба направления совпали, систему, прежде чем придавать ей скорость в направлении f>, необходимо повернуть на угол Ф — б, где б определяется из условия

sin б = sh e/sh a' - sh е (ch2 a ch2 e - l)~v\ (86)

Последнее следует просто из тождества для преобразований Лоренца

А (•£ , ej A (0,a) = A (f>, a')tf№-6),

где углы а и е произвольны, а углы а\ ■& и б определяются из соотношений (8а) и (86); A(f>, а) означает преобразование

Лоренца с гиперболическим углом а (в дальнейшем — просто «преобразование а») в направлении, лежащем в плоскости xz и составляющем угол Ф с осью г; R(q>) —поворот на угол <р в плоскости xz. Если бы угол б был равен нулю, то частица, поляризованная в направлении своего движения, после того как над ней произвели преобразование а, осталась бы поляризованной в направлении своего нового движения (в направлении fr) после второго преобразования е. Если же угол 6 отличен от нуля, то «согласованность» направлений движения и поляризации нарушается. Однако угол _6 очень мал, если е <С а, т. е. когда гиперболический угол второго преобразования намного меньше гиперболического угла первого, и если а ^> 1.

ПРОСТРАНСТВА ДЕ СИТТЕРА

Группа симметрии обычного пространства де Ситтера состоит из преобразований, оставляющих инвариантным мир де Ситтера:

х + у + z + w - t = R .

Группу специальной теории относительности можно считать предельным случаем группы симметрии пространства де Ситтера в точно таком же смысле, в каком группу Галилея можно считать предельным случаем неоднородной группы Лоренца. Эти группы оставляют инвариантными следующие квадратичные формы:

x + y + z , x -r-y -r-z -t , x -{-y + z + w -t .

Уравнения, инвариантные в пространстве де Ситтера, или представления группы симметрии пространства де Ситтера !) обладают многими интересными свойствами. Различие между частицами с ненулевой и нулевой массами покоя перестает быть резким: частицы с отличной от нуля массой покоя в пространстве де Ситтера характеризуются тем, что их комптоновская длина волны очень мала по сравнению с размерами Вселенной. Еще более замечательны свойства частиц относительно дискретных операций группы симметрии: пространственной инверсии и обращения времени. В частности, в пространстве де Ситтера трудно сохранить требование положительной определенности энергии или заменяющей ее величины. Последнее обстоятельство вряд ли вызовет удивление, если учесть, что одно и то же преобразование, ускоряющее ход времени в одной части пространства, замедляет ход времени в другой. Физический смысл этого явления станет яснее на следующем этапе развития теории — при рассмотрении общей теории относительности.

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

К этой теме я приступаю с большими колебаниями, поскольку в настоящее время неясны даже общие контуры квантовой механики, согласующейся с идеями общей теории относительности. Многое из того, что было сказано и написано на эту тему, правильнее было бы назвать релятивистской теорией частиц со спином 2 (релятивизм понимается в смысле специальной теории относительности), а не переносить на квантовую теорию весь круг идей и методов, выдвинутых Эйнштейном.

Большинство из нас считают, что об

страница 25
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Скачать книгу "Этюды о симметрии" (2.82Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
Самое выгодное предложение от магазина компьютерной техники КНС Нева - лазерные принтеры Canon - корпоративные поставки в Санкт-Петербург.
комоды и тумбы для белья
аренда автобуса в сутки стоимость
руки вверх казань 2016

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(27.04.2017)