химический каталог




Этюды о симметрии

Автор Е.Вигнер

Пространство состояний квантовой теории — ее гильбертово пространство — является линейным в подлинном смысле этого слова!

Первый из приведенных выше аргументов во многом объясняет интерес, проявляемый физиками к унитарным представлениям. Как показал Баргман [18], унитарные представлений

!) «Фазовое пространство» как математическое понятие впервые ввел Гиббс [3].

группы Галилея в неявном виде использовались еще в теории Шредингера. Унитарные представления группы Пуанкаре были найдены в конце 30-х годов. За исключением тривиального представления, все они оказались бесконечномерными1). Физически такой результат эквивалентен утверждению о том, что система не может быть релятивистски инвариантной, если она не обладает бесконечным набором ортогональных состояний. Обратив внимание на свойства унитарных представлений некомпактных групп Ли, физики стимулировали интерес математиков к этой области. В настоящее время, математики намного обогнали физиков в изучении унитарных представлений некомпактных групп Ли, и разобраться в результатах Гельфанда, Наймарка, Хариш-Чандры и многих других авторов отнюдь не легко2).

РОЛЬ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

*) Впервые это было показано автором [19].

2) Гельфанд, Наймарк и их сотрудники опубликовали чрезвычайно много работ. С моей точки зрения, наибольшего внимания заслуживает книга Гельфанда и др. [20], работы Наймарка [21] и Гельфанда и Наймарка [22]. См. также статьи этих авторов, опубликованные в «Успехах матем. наук» и «Трудах Моск. матем. общества».

Статей Хариш-Чандры так много, что их трудно полностью перечислить. Книги, в которой бы излагались его результаты, до сих пор нет. См. ранние статьи Хариш-Чандры [23]. Среди его последних работ мне хотелось бы о.тме* тить статьи [24, 25].

Обратимся теперь к вопросу, который мы уже задавали ранее: почему вращения и собственные преобразования Галилея или Лоренца оказывают столь различные действия на состояния? Можно сказать, что полная группа симметрии состоит из элементов трех типов: сдвигов, поворотов и собственных преобразований Галилея или Лоренца. Рассмотрев минимальные подпространства, инвариантные относительно сдвигов, т. е. подпространства в пространстве представления, образующие базис неприводимого представления подгруппы сдвигов, мы обнаружим, что одно из таких подпространств остается инвариантным при вращениях. У физика подобный результат не вызывает удивления: подпространство, о котором идет речь, содержит векторы состояния, соответствующие покоящейся системе. Действительно, перебрав неприводимые представления полной группы симметрии, мы убедимся, что вращения индуцируют в интересующем нас подпространстве некое неприводимое представление группы вращений. С другой стороны, собственное преобразование Галилея или Лоренца переводит каждое минимальное подпространство, инвариантное относительно сдвигов, в подпространство тон же размерности, ортогональное исходному подпространству состояний. Таким образом-, переход от состояний с одной скоростью к состояниям с другой скоростью оказывает на минимальные подпространства, инвариантные относительно сдвигов, такое же действие, как и любое другое преобразование в классической теории, а именно: создает совершенно новое состояние. Поэтому преобразования, переводящие состояния с одной скоростью в состояния с другой скоростью, в каком-то смысле тривиальны. Преобразования же, соответствующие вращениям, в высшей степени нетривиальны: в рассматриваемом нами подпространстве они порождают неприводимое представление группы вращений. Отсюда следует, что неприводимые представления полной группы симметрии характеризуются тем, как ведет себя под действием сдвигов и вращений некоторое выделенное минимальное подпространство. Мы подробно остановились на этом вопросе, чтобы объяснить, почему физики питают столь большой интерес к группе вращений в трехмерном пространстве. Интерес этот вполне понятен: в основе его лежит общий принцип инвариантности Пуанкаре или Галилея.

Рассмотрим теперь неприводимое представление группы вращений или какой-либо другой группы. Если мы захотим «пощупать его своими руками», то сделать это лучше всего с помощью какой-нибудь системы координат в пространстве представления. Естественнее всего определить последовательность подгрупп G, Gn-\, Gn-2, Gi, обладающую следующим свойством: каждый член последовательности является максимальной подгруппой в предыдущем члене, a G\ состоит лишь из единичного элемента. Введем некоторые предположения. Будем считать, что преобразования группы G, служащие одновременно элементами подгруппы Gn-\ и образующие представление этой подгруппы, содержат неприводимые представления подгруппы Gn-i с кратностью, не превышающей 1. Кроме того, предположим, что аналогичное утверждение справедливо для ограничения любого неприводимого представления каждой из групп Gk на подгруппу Gh-i- Тогда в пространстве представления группы G можно однозначно задать направление, указав неприводимые представления групп G2, Сз. ■. •, Gn_i, в пространстве представлений которых это направление содержится. Тем самым мы получаем возможность построить единичный вектор в указанном направлении. Совокупность таких единичных векторов образует базис в пространстве представлений: единичные векторы попарно ортогональны и образуют в исходном пространстве неприводимого представления группы G полную систему.

Поясним сказанное на примере. В качестве G выберем симметрическую группу S„, образованную всеми перестановками из п символов. Пусть Sn-u Sn-2, ^ — цепочка подгрупп, обладающая указанными выше свойствами, причем 5n_fe означает симметрическую группу, перестановки которой оставляют последние k символов на месте. Тогда из классических теорий Юнга [26, 27] и Фробениуса [28]]) следует, что неприводимые представления подгруппы Sn-fc-i входят в ограничение любого неприводимого представления Sn~h на подгруппу Sn-fc-i с кратностью, не превышающей 1. Следовательно, мы можем задать вектор в пространстве представления 3 + 2 группы 55, указав, что он принадлежит пространству представления 3+1 группы 54, пространству представления 2+1 группы 53 и пространству представления 2 группы S2. В случае группы вращений в трехмерном пространстве цепочка подгрупп помимо 0(3) содержит лишь группу 0(2) [и, конечно, 0(1)]. Группа 0(2) состоит из вращений, оставляющих инвариантной ось г, т, е. из вращений вокруг оси г. Такой выбор «координат» приводит к обычной форме неприводимых представлений группы 0(3).

В заключение я хотел бы упомянуть о новом математическом результате, относящемся к затронутой нами теме2). Я имею в виду необходимое и достаточное условие, для того чтобы подгруппа обладала рассмотренным Выше свойством: ограничение представления всей группы на эту подгруппу не содержало бы представлений этой подгруппы с кратностью, большей 1 (указанным свойством должны обладать все неприводимые представления полной группы). Чтобы сформулировать приведенное выше условие, полезно ввести понятие подкласса. Подклассом называется совокупность элементов группы, трансформируемых друг в друга элементами подгруппы. Ясно, что произведение двух подклассов содержит лишь полные подклассы и что обычные классы сопряженных элементов содержат один, два или большее число подклассов. Не столь очевидно, коммутируют ли подклассы (обычные классы сопряженных элементов коммутируют). Если подклассы коммутируют, то соответствующая подгруппа обладает интересующим нас свойством. В этом состоит необходимое условие. Нетрудно видеть, что подклассы коммутируют, если каждый из них совпадает с обратным себе. Легко показать, что подклассы группы Sn относительно подгруппы Sn-i этим свойством обладают. Таким образом, к результату, следующему из теорий Юнга и Фробениуса, можно Прийти и другим путем.

1) См. также работу [29] и более «физическую» статью Коулменз в сбор-

нике [30].

2) См. статью автора в сборнике [ЗЦ.

При решении конкретных задач выбор той или иной формы неприводимых представлений трехмерной группы вращений позволяет существенно упростить вычисления. Квадраты матричных элементов допускают простую, хотя и с трудом поддающуюся экспериментальной проверке интерпретацию: они указывают вероятность того, что частица с определенной компонентой углового момента в одном направлении будет иметь некое значение компоненты углового момента в другом направлении. Более широкую известность получили и подтверждены обширным экспериментальным материалом правила Хенля—Кронига, позволяющие вычислить отношение интенсивностей переходов между подуровнями, на которые расщепляются в магнитном поле два уровня [32—35]. В этом случае следует выбирать подгруппу 0(2) (направление магнитного поля должно оставаться инвариантным при вращениях).

РАЗЛОЖЕНИЕ КРОНЕКЕРОВСКОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

1) Понятие кронекеровского произведения было неявно использовано при описании физической системы, состоящей из двух подсистем, еще в работах Шредингера (см., например, [36]). В явном и точном виде это понятие сформулировал фон Нейман [17].

Конкретный выбор формы неприводимых представлений во многом облегчает и решение той задачи, к которой мы сейчас перейдем: разложение кронекеровского произведения представлений на неприводимые представления. Эта задача встречается чрезвычайно часто, и перечислить все ее применения было бы трудно. Физической основой большинства приложений служит правило получения вектора состояния составной системы, включающей в себя две подсистемы: искомый вектор состояния определяется в гильбертовом пространстве, которое является прямым произведением (иногда его также называют кронеке-ровским произведением) гильбертовых пространств подсистем, а сам вектор состояния есть не что иное, как кронекеровское произведение векторов состояний подсистем1). Следовательно, если две системы образуют единое целое, причем каждая из них находится в состоянии, которому отвечает вектор базиса неприводимого представления (не обязательно одного и того же), то вектор состояния всей системы будет лежать в пространстве, являющемся кронекеровским произведением пространств двух неприводимых представлений. Аналогичное утверждение применимо и к случаю, когда составная система включает в себя три или большее число физических подсистем. Первый вопрос, который возникает здесь с точки зрения теории представлений, заключается в следующем: каким образом прямое произведение пространств можно разложить на подпространства, каждое из которых принадлежит неприводимому представлению, и что за неприводимые представления при этом возникнут?

По-видимому, будет полезно наметить здесь общий ход рассуждений, позволивший дать ответ на эти вопросы. Наиболее важной группой, к которой можно применять излагаемые ниже соображения (и к которой они в действительности были применены), и на этот раз является группа 0(3), Кто-то сказал, что в отличие от математика физик живет в трехмерном пространстве не только физически, но и «мысленно». Группа 0(3) амбивалентна, т. е. все ее классы сопряженных элементов совпадают с обратными классами. В силу этого все ее характеры вещественны. В дальнейшем мы будем предполагать, что все встречающиеся нам характеры вещественны,' поскольку введение комплексных характеров приводит лишь к незначительным усложнениям теории. Группа Пуанкаре также амбивалентна, но некоторые из упоминаемых далее групп неамбивалентны.

Если характеры представлений равны х(а)» 5С(Ь}> Х(с)» • • • » т0 характер их прямого произведения равен

Z(r) = X«4r)xm(r)x(c4r) .... (1)

и кратность, с которой x(v) входит в представление с характером S, равна

Nv = /Г1 J" S(г) x(v) (г) dr = /Г! J х{а) (г)%(Ь) (г) ... x(v) (г) dr, (la)

где h — элемент объема группы, если последняя компактна. Если группа конечна, то h — порядок группы. Величина г озна^ чает элемент группы, a f dr—инвариантное интегрирование по группе для компактных групп и суммирование по всем элементам группы для конечных групп. Обобщение последней формулы на случай некомпактных групп представляет собой интересную проблему. В решении ее, насколько известно, достигнуты большие успехи, но считать ее полностью решенной пока еще нельзя.

Следует заметить, что в выражение для Nv все сомножители входят симметрично. Обозначим их через (а, Ь, v). Для случая, когда имеется всего три сомножителя, т. е. рассматривается разложение кронекеровского произведения двух представлений, это означает, что произведение а и Ь содержит с с таким же коэффициентом, с каким Ь входит в кронекеровское произведение а и с или а — в кронекеровское произведение Ь и с.

В случае трех сомножителей вычисление Л/, как правило, не вызывает никаких затруднений. В принципе вычисления N достаточно для того, чтобы разложить кронекеровское произведение любого числа сомножителей, Справедливость этого утверждения следует из полноты системы характеров, позволяющей использовать соотношение

^Mfl^SNfM. (2)

V

Подставив его в разложение прямого произведения трех сомножителей, получим

{abed) = J] (abv) j* x(v) W %{с) W %{d) М dr = J] (a6v) (vcrf). (3)

V V

Последняя формула наводит на мысль ввести матрицы Мк:

Map = (axp). (4)

Матрицы Мк симметричны, а их элементами служат целые неотрицательные числа. Строки и столбцы матриц Мн отвечают неприводимым представлениям. Все матрицы Ми, как видно из выражения для (abed), коммутируют друг с другом. Справедливо тождество

(abc .. . v) = (MbMЂ .. ,)flV- (5)

Поскольку матрицы М в правой части можно переставлять, левую часть тождества (5) можно записать в нескольких формах. Ни одна из этих форм не позволяет получить полную симметрию окончательного выражения, поэтому найти [отличный от правой части формулы (1а)] общий вид левой части тождества (5), который был бы симметричен,—дело отнюдь не легкое.

Возможность разложения кронекеровского произведения двух представлений, например и D(b\ на какие-то определенные сомножители не отвечает на главный вопрос, представляющий интерес для физика: как осуществить само разложение? Разложить кронекеровское произведение представлений на неприводимые представления — значит преобразовать произведение пространств представлений D^) и в пространства представлений неприводимых компонент их кронекеровского произведения. Такое разложение неоднократно встречается в приложениях и особенно подробно исследовано для трехмерной группы вращений.

Первая проблема, с которой мы сталкиваемся при решении задачи о разложении, — это единственность искомого преобразования. Последняя в свою очередь зависит от единственности базисных векторов в двух пространствах, которые нам предстоит преобразовать друг в друга. Если базисные векторы в £)(«) и определены однозначно, базис прямого произведения этих двух пространств также однозначно определен. Иначе обстоит дело в том случае, если какое-нибудь представление входит в кронекеровское произведение представлений и с кратностью, большей 1: тогда уже не всякий базисный вектор пространства произведения можно просто отождествить с каким-то вполне определенным базисным вектором неприводимого представления D&\ Если неприводимое представление Z)<c> входит в Z)<a) X с кратностью (abc), то унитарное преобразование в (abc) -мерном пространстве останется свободным, и, для того чтобы задать его полностью, нам понадобится вводить какие-то дополнительные условия на базисные векторы пространства произведения. Над этой проблемой много размышлял Биденхарн1). Он построил базис для случая ^-мерной унитарной группы.

При рассмотрении наиболее интересной для физика группы— группы вращений 0(3) —указанная выше трудность не возникает: все кратности (abc) принимают в рассматриваемом случае значения 0 или 1. Группы, обладающие тем свойством, что их символы (abc) могут принимать только значения 0 или 1, называются просто приводимыми. Их рассмотрению уделили много внимания Макки и Вигнер 2).

Если составная система содержит более двух подсистем, т. е. если интерес представляет кронекеровское произведение более двух представлений, то одно и то же неприводимое представление даже в случае просто приводимых групп может входить в разложение с кратностью, большей 1. Для однозначного определения искомого представления в этом случае, очевидно, необходимо действовать по индукции шаг за шагом так, как мы вычисляли кратность (abc . .. v).

[) См. статьи Биденхарна, [37, 38], а также его обзор в сборнике [31] (стр. 173) и работы Мошинского [39—41] (см. также работу [42]).

2) Результаты Вигнера содержатся в статье [43]. Эта статья и ее более подробный вариант опубликованы также в сборнике [44], В этот же сборник включено несколько ранее изданных статей, сыгравших важную роль в формировании взглядов физиков на теорию представлений групп, в частности статьи Рака. Результаты Макки опубликованы в работах [45, 46], а также в его книге [47].

Рассмотрим сначала разложение кронекеровского произведения двух неприводимых представлений а и b просто приводимой группы. Базисные векторы в пространстве представления а обозначим через ai, а% .. . ; число их определяется размерностью 1а представления а. Пусть a — любой из векторов базиса ai, аг, . •-. ; суммирование по а означает суммирование по всем векторам ось аг, ■ . • . Аналогично следует понимать и суммирование по |3, где р —любой из k базисных векторов рь р2, ... представления Ь. Чтобы выразить один из базисные векторов у представления с, входящего в кронекеровское

произведение представлений а и Ь, через базисные векторы (а, Р) произведения пространств представлений а и Ь, необходимо выразить у в виде суммы

Y = 2 Суад (а, Р).

(6)

Все три представления а, Ь и с входят в коэффициенты суар симметрично [аналогично тому, как они входят в (аЬс)]. Коэффициенты суа$ можно записать в виде

(6а)

где /с — размерность представления с, а второй множитель в правой части называется (по пока не существенным для нас причинам) 3/-символом. Если не считать возможного изменения знака, 3/-символ инвариантен относительно перестановки столбцов. Эти 3/-символы или эквивалентные им выражения называются коэффициентами Клебша — Гордана (хотя я никогда не мог понять почему) или коэффициентами векторной связи. Второе название, на мой взгляд, предпочтительнее. Они были подробно вычислены для группы 0(3), и имеющиеся таблицы 3/-символов по своему объему соперничают с таблицами логарифмов {).

Если нам нужно связать воедино три подсистемы, то мы можем сначала связать две из них, а затем присоединить к ним третью. Во многих случаях такой подход имеет физический смысл, потому что связь между первыми двумя подсистемами может оказаться сильнее связи между любой из них и третьей подсистемой. Пусть а, 6, с — три представления, кронекеров-ское произведение которых требуется найти. Связывая а и Ь, получаем разложение базисного вектора ц. представления т в прямом произведении пространств представлений а и Ь\

(7)

1) Насколько известно, впервые 3/-символы были вычислены в книге [48], гл. XVII. Более симметричное выражение для 3/-символов приведено в статье из сборника [44], стр. 89—133. Численные значения 3/-символов можно найти в работе [49].

Затем мы образуем кронекеровское произведение представления т и оставшегося представления с. Базисный вектор 6 представления d будет содержать вектор (ц., у) с коэффициентом

в силу чего

г, (a b m\t'tn с d\

8 u

li. a, p, Y

Продолжая этот процесс, мы будем связывать все большее и большее число подсистем, т. е. получать базисные векторы неприводимых компонент прямого произведения пространств нескольких неприводимых представлений.

Следует заметить, однако, что полученный выше вектор 6 может не совпасть с вектором, который получился бы в том случае, если бы мы сначала разложили кронекеровское произведение представлений а и с, а затем связали одно из неприводимых пространств в этом кронекеровском произведении с пространством представления Ь. Причина несовпадения результатов обусловлена тем, что представление d могло бы возникнуть не только в результате связи пространства представления с с компонентой m прямого произведения пространств представлений а и Ьч но и в результате связи пространства представления с с другой компонентой mr того же прямого произведения. Поэтому вектор б правильнее было бы обозначать 6т, где индекс m указывает то промежуточное представление, которое затем было связано с представлением с. Аналогично вектор

6'= J e ) у (8а)

a, P. Y, И' Г

следовало бы обозначать h,m — индекс mf указывает промежуточное представление, которое затем связывается с Ь. Взаимно

однозначного соответствия между векторами 6Ш и d'm нет, но

каждый из векторов 6/Пг можно представить в виде линейной комбинации векторов 6т (и наоборот). Для всех базисных векторов а, р, у и 6 коэффициенты одинаковы и равны (с точностью до знака и множителя lm) «6/-символам», или коэффициентам Рака ]):

ж, XI [а Ь m \

tn

1) 6/-СИМВОЛЫ были впервые введены в работах Рака независимо от более ранних исследований Вигнера (см., например, статью Вигнера в сборнике [44]). Работы Рака [50—53] были посвящены решению некоторых проблем теории атомных спектров. Они вошли в сборник [44]. Численные значения коэффициентов Рака, или б/-символов, см. в работе [49].

Коэффициенты Рака играют важную роль и в ряде других физических проблем, атомная и ядерная спектроскопия — лишь

две из них. Имеются обширные таблицы коэффициентов Рака; обнаружен целый ряд их свойств симметрии. Так, любые столбцы в б/-символах можно переставлять местами:

а Ь е) \b а е) I а е b )

с d fHd с fHc f Л= (10)

Любые два столбца можно перевернуть «вверх ногами»:

\a b е) \с d е) fa d f }

\с d /) = (« Ь fHc Ь е\=— (10а)

a b т с d mf

Кроме того, имеется ряд соотношений ортогональности, которые, так же как и соотношения симметрии (10) и (10а), справедливы для коэффициентов Рака любой просто приводимой группы. Для коэффициентов Рака группы 0(3) Редже доказал несколько дополнительных соотношений симметрии; более глубокая причина существования их остается пока несколько загадочной:

~(а-\- с + b — d) у (а — с + b + d)

i i [• (")

-^(а + с — b + d) у (— a + c + b+d) m'j

если a, b, с, . . . означают представления трехмерной группы вращений 0(3) размерности 2а + 1, 2b + 1, 2с + 1, . ... Редже [54, 55] обнаружил аналогичные соотношения ') и между коэффициентами векторной связи группы 0(3).

1) Обобщение соотношений Редже рассмотрел Шарп.

2) См. работы [56—59], а также статью Понцано и Редже в сборнике [31],

3) См. также работу Шарпа [61].

Многие авторы рассматривали прямые произведения более трех представлений. Основным мотивом их деятельности (в частности, Биденхарна, Эдмондса, Понцано) была не разработка методов решения физических задач, а чисто математические исследования ряда захватывающе интересных связей2). Наиболее полным обзором работ этого направления, содержащим к тому же существенное обобщение ранее полученных результатов, следует, по-видимому, считать работу [60]3). Кроме того, Чакрабарти, Лёви-Нахас, Леви-Леблон и австралийский физик, математик и философ Кумар предложили выражения для б, в которые представления a, b и с трехмерной группы Вращений 0(3) входят симметрично [62—64]. Кумар получил аналогичные выражения и для неприводимых компонент кроне-керовских произведений более трех неприводимых представлений группы 0(3).

В заключение этой части моего доклада я могу с уверенностью сказать, что более внимательный и более тщательный анализ прямых произведений неприводимых представлений, по крайней мере некоторых групп, и в частности 0(3), позволил получить ряд интригующих соотношений. Может быть, эти соотношения недостаточно общи и слишком конкретны, чтобы прийтись по вкусу математикам, но многим из нас, физиков, исследование этих соотношений, бесспорно, доставило удовольствие.

Я отнюдь не уверен, что исследования разложений прямых произведений представлений групп исчерпали себя. В этой области получено много других, не упоминавшихся в моем докладе результатов1), и ряд вопросов, на которые я хотел бы знать ответ, все еще остается открытым. Тем не менее проблемы, имеющие для физики особо важное значение, очевидно, уже решены, как были решены ранее математические проблемы кристаллографии. Новое поле для приложений идей симметрии открыто (и, надо сказать, весьма кстати) в наиболее современной части

страница 23
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Скачать книгу "Этюды о симметрии" (2.82Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
концерт киркорова апрель 2016
кубик рубика купить дешево
Lorus RT311CX9
Оконная ручка Daniela (Даниела) Martinelli

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(08.12.2016)