химический каталог




Этюды о симметрии

Автор Е.Вигнер

морфные группе симметрии рассматриваемой задачи — существенно потому, что в квантовой механике всякое унитарное преобразование эквивалентно любому другому унитарному преобразованию, отличающемуся от него множителем, равным по модулю 1. В результате исследований, проведенных главным образом Баргманом [18], выяснилось, что столь сильную неоднозначность можно ослабить, а в большинстве случаев после надлежащего расширения унитарной подгруппы даже заменить гомоморфизм изоморфизмом. Такая расширенная группа носит название квантовомеханической группы симметрии. Операции квантовомеханической группы симметрии разбивают гильбертово пространство состояний на подпространства, каждое из которых инвариантно относительно преобразований группы. Следовательно, в каждом инвариантном подпространстве эти операции индуцируют представление квантовомеханической группы симметрии унитарными преобразованиями.

Физики предприняли намного более подробное изучение представлений групп симметрии, чем это было сделано до них математиками. В тех случаях, когда представления уже были в принципе известны, физики нашли канонические формы неприводимых представлений и инвариантные подпространства прямых (или тензорных) произведений инвариантных подпространств. Это позволило им построить теорию различных коэффициентов связи (3/-, 6/- и других /-символов более высокого порядка), представляющих интерес и с точки зрения чистой математики. Для некоторых некомпактных групп Ли физики нашли ранее неизвестные унитарные представления. Во многих случаях все нетривиальные представления оказались бесконечномерными. Отыскание бесконечномерных представлений всех локально компактных групп превратилось в быстро развивающуюся область математики.

Вплоть до недавнего времени в центре внимания физика, занимающегося изучением следствий тех или иных принципов инвариантности, находилась теория представлений групп. Труппой симметрии в большинстве случаев служила либо квантово-механическая группа Пуанкаре, либо какая-то из ее подгрупп. В последние годы интерес переместился на группы, являющиеся лишь группами приближенной симметрии и образующие различные расширения группы Пуанкаре. Таким образом, мы присутствуем при обратном процессе, когда основным объектом изучения вновь становятся не представления известных групп, а проблемы построения самих групп, в частности таких, которые содержат в качестве подгруппы группу Пуанкаре. Относительно таких групп и их представлений получено много интересных результатов.

ЭВОЛЮЦИЯ ФИЗИКИ

Физика и естествознание за последние 100—150 лет претерпели значительные изменения. Изменился дух науки, ее предмет, способ действия.

1) Работа Гиббса [1], весьма законченная по ^форме, объемом почти 300 страниц была написана в 1901 г. и опубликована Йельским университетом в 1902 г. В 1928 г. вышло ее второе издание. Во втором томе работы [2] помещены интересные примечания Гааза к работам Гиббса (точнее, два комментария— короткий и длинный). Работа Гиббса [3], в которой он ввел понятие, справедливо носящее его имя, — понятие фазового пространства, имела объем всего лишь 1 страницу. Она была опубликована в 1884 г. Желающие могут найти ее на стр. 16 второго тома «Научных трудов Вилларда Гиббса» [4].

Изменение jryxa науки произошло в направлении все более возрастающей изощренности. Если лет сто назад законы физики формулировались в терминах непосредственно наблюдаемых величин, то современная физика использует для тех же целей сложнейшие математические построения, и это не удивительно, поскольку проведенный современной физикой анализ понятия «непосредственно наблюдаемые величины» привел к выводу, что в микроскопической области такие величины не существуют. Мало кто помнит, что первый крупный шаг на пути к изощренной в математическом отношении теории — введение фазового пространства с его чудовищным числом измерений — был сделан Виллардом Гиббсом1). Следующие два шага на пути к математически изощренной теории хорошо известны — создание теории относительности и квантовой механики. По иронии судьбы последние два шага были предприняты именно для того, чтобы исключить из физической теории непосредственно ненаблюдаемые величины. Величины, принципиальную ненаблюдаемость которых создатели теории относительности и квантовой теории сознавали, действительно удалось исключить, но их место заняли также непосредственно ненаблюдаемые величины: вектор состояния и гравитационная метрика — понятия, отличающиеся от понятий классической физики намного большей математической и логической изощренностью.

18. Принципы симметрии в старой и новой физике 217

Предмет физики, да и других естественных наук также изменился. Это изменение особенно заметно на примере физики: если в конце прошлого века физика занималась изучением лишь макроскопических объектов, то теперь мы считаем работу по макроскопической физике (например, изящную новую теорию трения Боудена и Табора [5]) экзотической.

Изменился, наконец, и способ действия. Теперь у нас есть Большая Наука (в смысле Альвина Вейнберга) с ее сотнями ученых, вливающихся каждое утро в лаборатории, дабы сорвать завесы, за которыми природа пытается скрыть свои тайны. Это изменение уже неоднократно обсуждалось, и я не хочу останавливаться на нем сейчас.

И все же кое-что осталось неизменным. Как и во времена Галилея, если воспользоваться словами самого Галилея 4), «природа формулирует свои законы на языке математики». Идеи симметрии и инвариантности неизменно (по крайней мере, если иметь в виду последние 150 лет) играют важную роль в физике, и значение их, по-видимому, все возрастает.

С другой стороны, существенно изменились представления о том, какие разделы математики особенно полезны физикам. Даже 50 лет назад математический аппарат физика ограничивался теорией обыкновенных дифференциальных уравнений с небольшой «примесью» уравнений с частными производными. Лет 35 назад уравнения с частными производными и теория гильбертова пространства уже занимали в математическом образовании физика доминирующее место. Сегодня нам чаще приходится слышать о теории аналитических функций одной или нескольких переменных, о теории обобщенных функций и, наконец, о теории групп и их представлений, чем о теории гильбертова пространства и преобразованиях к главным осям, хотя последние и по сей день, по-видимому, могут служить языком для формулировки законов природы.

СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ

l) «Egei е scritto in lingua matematica,.,». См. работу [6].

Вернемся к первой теме моей лекции и рассмотрим роль симметрии в старой (в действительности очень старой) физике. В те давние времена симметрия использовалась по существу лишь в кристаллографии. Я упоминаю об этом здесь не потому, что мне удалось получить какие-то новые математические результаты, представляющие интерес для кристаллографов, а совсем по иной причине. История кристаллографии служит примером того, как Одни и те же идеи возникают и развиваются параллельно у математиков и у естествоиспытателей и как обе

категории исследователей, имеющих вначале весьма отдаленное представление друг о друге, на более поздней стадии развития теории объединяют свои усилия. Роль естествоиспытателя сводится в основном к постановке новых проблем и нахождению некоторых их решений. Математик не только способствует более глубокому пониманию решения, найденного естествоиспытателем, но и существенно обобщает первоначальную постановку проблемы. На ранних стадиях своего развития каждое из этих направлений ничего не знает о результатах и методах своего соседа, но впоследствии между ними устанавливается тесное сотрудничество.

То, о чем я намереваюсь рассказать в своем докладе, относится в основном к естествоиспытателям, но я надеюсь, что и математики смогут почерпнуть из доклада кое-что новое для себя.

История применения идей симметрии в физике начинается с 1830 г., когда Гессель вывел 32 кристаллографических класса1). Так принято называть конечные группы собственных и несобственных поворотов в трехмерном пространстве, содержащие лишь элементы порядка 1, 2, 3, 4 и 6. Статья Гесселя появилась за два года до знаменитой дуэли2), происшедшей в Париже. В том же 1830 г. впервые прозвучал термин «группа», и само понятие было четко сформулировано.

1) Статья Гесселя была первоначально опубликована в справочнике [7],

а позднее напечатана в одной из книг серии «Освальдовские классики точнога

естествознания» (см. [8], стр. 91 и далее). Интересующихся историей кристал*

лографии мы отсылаем к книге [9]. Современный обзор истории кристаллогра-

фии, отличающийся необычайной широтой охвата материала, см. в книге [10].

2) Имеется в виду дуэль, на которой погиб основоположник теории групп

Эварист Галуа. — Прим. перев.

3) Речь идет о статье Гаюи [11]. Подробная библиография приведена в

книге Берна [10] (стр. 190). Берк выражает сомнение (см. стр. 83, 84 его

книги) в том, что Гаюи ничего не знал о работах своих предшественников, и

в частности о работах Бергмана.

Может возникнуть вопрос, почему Гессель ограничился рассмотрением групп, содержащих лишь элементы порядка 1, 2, 3, 4 и 6. Причина заключалась в том, что Гесселю было известно свойство кристаллов, открытое за 50 лет до того одним из основателей кристаллографии аббатом Гаюи3). Гаюи обнаружил удивительную особенность расположения кристаллографических плоскостей. Заключается она в следующем. Выберем за направления осей координат линии пересечения любых трех кристаллографических плоскостей. Тогда отношения длин отрезков, отсекаемых на этих осях любой другой кристаллографической плоскостью, будут выражаться рациональными числами. Это свойство кристаллов получило название закона рациональных индексов. Группа симметрии кристалла, содержащая повороты на любые углы, кроме 60, 90° и кратных им, противоречила бы закону рациональных индексов. С этим обстоятельством и связано условие Гесселя: все повороты, входящие в группу симметрии кристалла, должны быть элементами порядка 1, 2, 3, 4 и 6.

Закон рациональных индексов Гаюи был эмпирическим законом, и его вряд ли удалось бы открыть, если бы рациональные числа, которыми выражаются отношения длин отрезков, отсекаемых кристаллографическими плоскостями на координатных осях, не были очень простыми. При надлежащем выборе основных плоскостей числители и знаменатели этих рациональных чисел, как правило, меньше 6, а нередко и 4. Если бы рациональные числа, о которых говорится в законе Гаюи, были произвольными, закон рациональных индексов нельзя было бы проверить экспериментально. Более того, само открытие закона было бы невозможным, если бы Гаюи не исходил из наглядной картины строения кристаллов, описанной почти за 300 лет до него епископом Стено1),— правильного расположения атомов в узлах пространственной решетки. Ныне мы располагаем доказательствами реальности такой картины. Именно она привела Гаюи к открытию закона рациональных индексов, который затем был проверен экспериментально и в свою очередь позволил указать, каким ограничениям должны удовлетворять повороты для того, чтобы они могли входить в группу симметрии кристалла (условия Гесселя). Когда в самом конце прошлого века Федоров [14] и Шенфлис [13] исследовали полную симметрию кристаллов, обнаружилось, что найденные Гесселем группы являются 32 различными факторгруппами всех возможных пространственных групп по инвариантным подгруппам, образованным сдвигами. Пространственными группами называются дискретные подгруппы евклидовой группы, содержащие три некопланарных сдвига. Всего, как показали Федоров и Шенфлис с помощью теоретико-групповых методов, уже известных в то время по крайней мере некоторым кристаллографам, существует 230 пространственных групп. Введенное Гесселем ограничение (элементы групп симметрии кристаллов могут иметь лишь порядок 1, 2, 3, 4 и 6) оказалось гораздо менее произвольным, чем могло показаться на первый взгляд.

') См. работу [12]. В действительности в этой работе содержится лишь зародыш идеи о кристаллической решетке.

Заключительная часть истории роли симметрии в очень старой физике представляет интерес лишь для физиков. Свойства симметрии кристаллов определенным образом проявляются в макроскопических свойствах кристаллов, что позволяет получать ценные сведения об их внутреннем строении. Информация такого рода с полным пониманием групповых свойств операций симметрии, хотя, как правило, и не на языке теории групп, была получена в основном Гротом [15]1). Нам, физикам старшего поколения, по-прежнему доставляет удовольствие читать о свойствах кристаллов и узнавать о тех чрезвычайно редких исключениях, когда симметрия, присущая подавляющему большинству свойств кристаллов, слегда нарушается. К сожалению, симметрию кристаллов нельзя сформулировать на языке современной квантовой теории, поскольку эта симметрия носит лишь приближенный характер (приближенный в том смысле, что она верна, если движение ядер можно описывать с помощью классической, т. е. неквантовой, теории). Не меньшее сожаление вызывает и то обстоятельство, что никому из нас не удалось установить пределы применимости понятия симметрии кристалла и указать явления, в которых должен проявляться ее приближенный характер.

Прежде чем переходить к более современным вопросам, и в частности к квантовой теории, я должен заметить, что интуитивные представления о симметрии играли важную роль в мышлении великих физиков прошлого, хотя явное использование симметрии в старой физике ограничивалось в основном кристаллографией. Например, считалось, что между двумя материальными точками всегда действует центральная сила, т. е. сила, направленная вдоль соединяющей их прямой. Лишь такое направление силы совместимо с инвариантностью относительно вращений. Инвариантность законов физики относительно сдвигов (как в пространстве, так и во времени) была гипотезой, захватившей умы естествоиспытателей задолго до того, как был найден изощренный способ ее формулировки. В некоторых работах Ньютона ясно ощущается, что их автор был знаком с принципом, который мы теперь называем принципом инвариантности Галилея.

1) В более явном виде теоретико-групповой подход использовал в своем учебнике Фойгт [16].

В конце рассматриваемого нами периода истории физики Гамель, Клейн и Нетер ^предложили для законов сохранения, встречающихся в физике, весьма изящный и тонкий вывод на основе теоретико-групповых соображений. К тому времени законы сохранения уже были, разумеется, хорошо известны, и физики умели выводить их более элементарными способами. Поскольку использование принципа симметрии при выводе законов сохранения носит косвенный характер, а весь круг возникающих при этом проблем неоднократно обсуждался и математиками и физиками, мы не будем останавливаться на нем более подробно.

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

Нельзя не удивляться тому, что принципы симметрии играли явную и непосредственную роль лишь в весьма узкой области старой физики — кристаллографии. Действительно, инвариантность уравнений движения относительно групп Галилея или Пуанкаре1), включающих в себя всю евклидову группу, должна приводить к прямым следствиям для явлений, лежащих вне кристаллографии. Выясним, в чем состоят эти следствия.

Рассмотрим очень простую систему: атом водорода с электроном, движущимся по боровской орбите. К каким очевидным, «наивным» следствиям приводит инвариантность уравнений движения относительно группы Галилея или Пуанкаре? Во-первых, мы вправе утверждать, что атом водорода с успехом может находиться в любом другом месте, а не только там, где он действительно находится. Во-вторых, электрон может находиться в любой точке свой орбиты. В-третьих, атом водорода может находиться в состоянии равномерного прямолинейного движения, а не только в состоянии покоя. Наконец,боровская орбита может лежать в любой наклонной плоскости, а не только в горизонтальной. Все эти свойства атома водорода могут соответствовать истине, но ни одно из них ничего не говорит о свойствах боровской орбиты.

1) Согласно классической, т. е. нерелятивистской, теории, уравнения движения останутся инвариантными, если три пространственные координаты Xi (i = 1, 2, 3) подвергнуть преобразованию Галилея

з

*£= 2 °ikxk + vit + al ('=1.2,3),

где величины Oik образуют ортогональную матрицу 3X3. Время t либо остается инвариантным (t'—t), либо подвергается преобразованию сдвига начала отсчета

f=t + a0.

Вектор v указывает, какую скорость имеют две системы координат (старая и новая) относительно друг друга; вектор а определяет, насколько начало новой системы координат было смещено относительно начала исходной системы координат при t = 0. В соответствующем преобразовании симметрии, принятом в теории относительности (преобразование Пуанкаре), время обретает большее равноправие по сравнению с пространственными координатами: вместо времени t в теории относительности вводится переменная х0 = ct (с — скорость света), и преобразование записывается в виде

з

x't = 2 Likxk + a{ (/-0, 1, 2, 3),

где L — преобразование Лоренца, т. е. какой-то элемент группы 0(1, 3). Преобразование Пуанкаре иногда также называют неоднородном преобразованием Лоренца,

Проанализируем последнее утверждение. По-видимому, атом водорода действительно мог бы находиться в любой точке пространства и иметь любую скорость, однако его боровская орбита явно не могла бы иметь произвольную ориентацию. Действительно, если бы это было возможным, то атом водорода, расположенный в данной точке пространства и находящийся в состоянии покоя, мог бы (вопреки всей нашей интуиции, всему опыту и нулевой энтропии внутреннего движения) находиться в бесконечно многих различных состояниях. Нелепость подобного вывода ощущалась всеми задолго до создания квантовой механики.

1) Ныне этот факт общеизвестен, однако впервые он был точно сформу лирован фон Нейманом [17].

Как разрешает это противоречие квантовая механика? Коль скоро состояние движения атома водорода известно, мы вообще полностью знаем его состояние. Отсюда следует, что атом водорода (по крайней мере, если отвлечься от спина) сферически симметричен. Возникает вопрос: все ли состояния атома водорода сферически симметричны? Очевидно, не все: комбинация протон — электрон должна обладать сферически несимметричными состояниями. Поскольку все такие состояния, так же как в классической теории, можно подвергнуть вращениям, мы получаем бесконечно много состояний, связанных с высоколежа-щими возбужденными состояниями атома водорода. Однако все такие состояния представимы (и это обстоятельство имеет решающее значение) в виде линейных суперпозиций конечного числа состояний. Существенно здесь то, что в квантовой механике физическое состояние — реальное состояние системы — определяется не положением и скоростями, а вектором в гильбертовом пространстве1). Эквивалентность всех направлений в квантовой теории, так же как и в классической, означает существование всех состояний, получающихся из любого заданного состояния при вращениях. Однако в отличие от классической в квантовой теории история на этом не заканчивается: в последней все состояния, получающиеся при вращении из какого-то одного состояния, можно представить в виде линейных комбинаций некоторых базисных состояний, в классической же теории линейной суперпозиции состояний не существует. Состояния в квантовой теории — это векторы в линейном пространстве. В классической теории такое утверждение было бы просто неверно. Мы не можем взять сумму двух состояний классической системы, но ничто не мешает нам сделать это для квантовых состояний. Более того, вектор состояния, равный сумме двух других векторов состояния, в действительности не определяет нового состояния: описываемое им состояние с вероятностью 7г является первым и с вероятностью 7г — вторым состоянием. Так обстоит дело по крайней мере в том случае, если векторы состояния, для которых мы ищем сумму, ортогональны. Если же они не ортогональны, то их нельзя считать совершенно различными. Отсюда, в частности, следует, что при вычислении энтропии необходимо учитывать лишь состояния с ортогональными векторами состояния.

Прежде чем сформулировать математические проблемы, к которым приводит линейность векторов состояния, я хотел бы несколько дополнить нарисованную выше картину. До сих пор мы рассматривали лишь состояния, получающиеся из некоторого состояния при вращениях. Что произойдет, если мы будем переводить друг в друга состояния с различными скоростями? Пусть атом водорода находится сначала в состоянии покоя, а затем движется с различными скоростями. Из инвариантности относительно преобразований Галилея или Пуанкаре следует, что если система существует в состоянии покоя, то ее можно привести в состояние равномерного прямолинейного движения с любой скоростью и в любом направлении. Существование одного заданного состояния вновь вынуждает нас, так же как и в классической теории, постулировать существование бесконечно большого числа других состояний. Верно ли, что в квантовой механике это бесконечное множество состояний или, точнее, множество отвечающих им векторов состояний можно представить в виде линейных комбинаций меньшего числа состояний?

Ответ на этот раз должен быть отрицательным. Действительно, для любых двух состояний с различными скоростями векторы состояний ортогональны. С точки зрения физики такой результат естествен (экспериментально мы можем отличать состояния с различными скоростями, но не можем отличать состояния с различной ориентацией орбит). Тем не менее столь сильное различие между следствиями двух типов преобразований симметрии — вращений в пространстве и собственных преобразований Галилея или Лоренца—не может не вызывать удивления.

Рассмотрим наконец последний тип преобразований Галилея: сдвиги в пространстве и во времени. С этими преобразованиями ситуация очень проста: если скорость задана, то состояние инвариантно относительно сдвигов. Это прямое следствие соотношения неопределенности Гейзенберга. Если требуется получить состояние, локализованное в определенный момент времени в окрестности некоторой точки, нужно построить суперпозицию состояний с различными скоростями — состояний, которые, как мы только что узнали, ортогональны друг другу.

Сказанное ранее на языке, привычном для физика, полезно повторить, прибегнув к точной математической терминологии. В классической механике состояние системы определяется положением точки в фазовом пространстве. Если система состоит из одной частицы, то ее фазовое пространство шестимерно: три координаты отвечают пространственным координатам частицы и три — компонентам ее скорости. Размерность фазового пространства системы, состоящей из большего числа частиц, соответственно больше1). Преобразования Галилея и Пуанкаре — это линейные неоднородные преобразования в фазовом пространстве. В квантовой механике состояние любой системы определяется вектором в бесконечномерном гильбертовом пространстве. Действующие в этом пространстве преобразования симметрии линейны, а фактически даже унитарны. Поскольку унитарное преобразование, отвечающее произведению двух преобразований симметрии (по крайней мере с точностью до несущественного множителя), совпадает с произведением унитарных преобразований, соответствующих каждому из сомножителей, унитарные преобразования, действующие в гильбертовом пространстве состояний, образуют (по крайней мере с точностью до множителя) унитарное представление группы симметрии. В нерелятивистских теориях группой симметрии служит группа Галилея, в релятивистских — группа Пуанкаре. Некоторые внешние воздействия иногда понижают полную группу симметрии пространства-времени до какой-нибудь из подгрупп названных групп. Так, при движении электронов в кристалле группа симметрии совпадает с одной из 230 пространственных групп.

Резкое различие между классическими и квантовыми преобразованиями симметрии объясняется отнюдь не различием между линейными неоднородными преобразованиями, с одной стороны, и унитарными преобразованиями — с другой. Столь сильное различие обусловлено прежде всего тем, что в классической теории преобразование симметрии всегда одно и то же или, точнее, зависит лишь от числа частиц, координаты и скорости которых мы преобразуем. В квантовой же теории преобразования симметрии (унитарные представления группы симметрии) для разных систем различны и определяют многие свойства системы. Кроме того, сложение двух состояний, не имеющее смысла в классической теории, обретает смысл в квантовой теории.

страница 22
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Скачать книгу "Этюды о симметрии" (2.82Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
домашние кинотеатры премиум готовые решения
http://taxiru.ru/shashki-dlya-taxi-all/
DQ.B8WER.003
благодарственное письмо творческому коллективу

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(14.12.2017)