химический каталог




Этюды о симметрии

Автор Е.Вигнер

оборот, производя над нашей системой измерения и пытаясь проверить, изменяются ли ее свойства так, как они должны были бы изменяться в силу наших причинных уравнений, мы вносим элемент случайного. Однако, согласно квантовомеханической теории, степень предсказуемости результатов всевозможных измерений, производимых над системой, не убывает с увеличением промежутка времени, в течение которого система предоставлена самой себе: непосредственно после наблюдения степень предсказуемости так же велика, как и много времени спустя. Неопределенность результатов, так сказать, для одних измерений возрастает ровно настолько, насколько убывает для других. В классической механике аналогом этого утверждения служит теорема Лиувилля. Она говорит нам следующее: если известно, что в некоторый момент времени точка, изображающая в фазовом пространстве состояние рассматриваемой системы, находится в элементе объема определенной величины, то для любого момента времени в будущем, можно указать равный по величине элемент объема, который будет содержать точку, изображающую состояние рассматриваемой системы. Аналогично неопределенность в результате измерения в момент времени О величины Q0 равна неопределенности измерения в момент времени t величины

Qt - ехр (- iHt/h) Q0 exp (iHt/Ь).

Информация, получаемая в более поздние моменты времени, может оказаться менее ценной, чем информация, полученная в более раннем состоянии системы (вследствие возрастания энтропии), но в принципе количество информации со временем не меняется.

НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ ОРТОДОКСАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ИЗМЕРЕНИЯ

Два способа изменения вектора состояния проще всего свести к одному, описав весь процесс измерения как некое событие во времени, подчиняющееся квантовомеханическим уравнениям движения. Можно было бы рассуждать так: если такое описание возможно, то отпадает необходимость в гипотезе о существовании второго способа изменения вектора состояния; если же оно невозможно, то постулат об измерении несовместим с остальной частью квантовой механики. К сожалению, в действительности ситуация оказывается не столь простой.

Если мы хотим описать процесс измерения с помощью уравнений квантовой механики, то необходимо проанализировать взаимодействие между объектом измерения и измерительным прибором. Пусть при измерении некоторого объекта мы «четко различаем» состояния а&\ ... . Производя измерения над объектом, находящимся в этих состояниях, мы получаем числа %и Я2, ... . Начальное состояние измерительного прибора обозначим через а. Если измеряемая система сначала находилась в состоянии a<v), то состояние полной системы «объект измерения плюс измерительный прибор» до того, как они вступили во взаимодействие, будет определяться прямым произведением а X В рассматриваемом нами случае, когда измеряемая система находится в одном из четко различимых состояний, взаимодействие не должно влиять на объект измерения, что приводит к отображению

а X a^->a<v> X a(v). (I)

Состояние объекта в результате измерения не изменилось, но изменилось (в зависимости от начального состояния объекта) состояние прибора. Предположим, что a<v> — состояния прибора, которым соответствуют различные положения стрелки, указывающей состояние объекта измерения. Тогда состояние прибора а№ можно назвать «положением стрелки v». Векторы состояния с№\ а&), ,.. взаимно ортогональны: обычно соответствующие состояния можно легко отличить даже макроскопически. Поскольку до сих пор мы рассматривали лишь «четко различимые» состояния, для каждого из которых проводимое измерение заведомо приводит к некоторому вполне определенному

числу, статистический элемент еще не входил в наши рассуждения *).

Выясним теперь, что произойдет, если начальное состояние объекта измерения будет не «четко различимым», а произвольной линейной комбинацией акт*1* + ага^ + ... таких состояний. В этом случае из линейности квантовомеханического уравнения движения (в силу так называемого принципа суперпозиции) следует, что вектор состояния системы «объект измерения плюс измерительный прибор» после измерения совпадает с выражением, стоящим справа от стрелки;

а X [2 avo-(v)] 2 av [a<v> X a<v>]. (2)

Разумеется, в этом результате также нет, да и не может быть статистического элемента. Однако в состоянии (2), возникающем в результате измерения, существует статистическая корреляция между состоянием объекта и состоянием прибора: одновременное измерение у системы «объект измерения плюс измерительный прибор» двух величин (первой — подлежащей измерению характеристики исследуемого объекта и второй — положения стрелки прибора) всегда приводит к согласующимся результатам. Вследствие этого одно из названных измерений становится излишним — к заключению о состоянии объекта измерения можно прийти на основании наблюдения за прибором. Это следует из специальной формы вектора состояния (2), не содержащей члена X с v ф нехорошо известно, что статистическая корреляция только что описанной природы играет весьма важную роль в структуре квантовой механики. Одним из первых указаний на это следует считать данное Моттом объяснение прямолинейного трека, оставляемого сферической волной вылетающей а-частицы [39]. Принципиальное различие в логических основах квантовой механики и более ранней теории Бора — Крамерса — Слэтера состоит в том, что квантовая механика, используя для своих волн не обычное, а конфигурационное пространство, допускает статистические корреляции подобного рода.

1) Самосопряженный (эрмитов) характер каждой наблюдаемой можно вывести из соотношения (1) и унитарности отображения, указанного стрелкой. См. в работе [38] примечание 2 на стр. 102.

Возвращаясь к проблеме измерения, мы видим, что нам не удалось ни достигнуть конфликта между теорией измерения и уравнениями движения, ни интерпретировать теорию измерения в терминах уравнений движения. Уравнения движения допускают описание процесса измерения лишь постольку, поскольку состояние объекта, над которым производится измерение, нахо

дилхя в соответствии с состоянием измерительного прибора. Тем самым проблема производимого над объектом измерения превращается в проблему наблюдения, производимого над измерительным прибором. Введение еще одного, второго прибора для установления состояния первого прибора и т. д., очевидно, позволяет, в свою очередь, свести новую проблему к проблеме наблюдения, производимого над вторым, третьим и т. д. приборами, но не меняет главного: нельзя получить полного описания наблюдения, поскольку квантовомеханические уравнения движения причинны и не содержат статистического элемента, в то время как измерение содержит его.

Следует признать, что физик, разделяющий квантовомеханические концепции, при обсуждении измерений делает много упрощающих предположений. Например, он исходит из допущения о том, что измерительный прибор независимо от начального состояния объекта измерения всегда «что-нибудь покажет». Такое допущение, очевидно, нереалистично, поскольку наблюдаемый объект может удалиться от прибора и никогда не прийти в соприкосновение с ним. Еще важнее то обстоятельство, что сторонник квантовой теории избрал слово «измерение» и использует его для обозначения специального типа взаимодействия, с помощью которого можно получить информацию о состоянии определенного объекта. Так, измерение такой физической константы, как сечение, не относится к категории, называемой последователем квантовой теории «измерением». Его измерения отвечают лишь на вопросы, относящиеся к эфемерному состоянию физической системы, типа: какова компонента импульса этого атома вдоль оси х? С другой стороны, поскольку наш физик не в состоянии проследить путь информации до того момента, когда она попадает в его сознание или в сознание другого наблюдателя, он считает, что измерение завершено, как только установлено статистическое соотношение между подлежащей измерению величиной и состоянием некоего идеализированного прибора. Ясно, что употребление сторонником квантовой теории слова «измерение» в столь специальном смысле следовало бы особо подчеркнуть.

Этим замечанием я закончу обзор ортодоксальной теории измерения. Как уже говорилось, практически все сказанное нами можно найти в книге Лондона и Бауэра [34].

КРИТИКА ОРТОДОКСАЛЬНОЙ ТЕОРИИ

Попытки модифицировать ортодоксальную теорию за счет полного отказа от картины, концентрированным выражением которой следует считать соотношения (1) и (2), предпринимались неоднократно. Здесь мы рассмотрим лишь те из них, ко

торые исходят из предположения о том, что результатом изме рения является не вектор состояния, представимый в виде суммы, стоящей в правой части соотношения (2), а так называемая смесь, т. е. один из векторов состояния вида

а<м.) х оМ, (3)

и что при взаимодействии между объектом измерения и измерительным прибором это состояние возникает с вероятностью |а^|2. Если бы это было так, то, установив тем или иным способом (точный рецепт не дается), какой из векторов состояния (3) отвечает истинному состоянию системы, мы не изменили Ч5ы самого состояния системы: мы просто «установили бы, какая из различных возможностей реализуется в действительности». Р1наче говоря, конечное наблюдение лишь увеличивает сумму наших знаний о системе и ничего не меняет. Это неверно, если вектор состояния после взаимодействия между объектом измерения и измерительным прибором имеет вид (2), потому что состояния с векторами вида (2) обладают свойствами, которыми не обладает ни одно из состояний (3). Поясним это обстоятельство на примере, поскольку оно имеет фундаментальное значение для последующего анализа.

В качестве примера рассмотрим опыт Штерна — Герлаха1), в котором у налетающего пучка частиц измеряется проекция спина на направление, перпендикулярное плоскости чертежа (фиг. 1). Индекс v принимает два значения. Они соответствуют двум возможным ориентациям спина. «Измерительным прибором» служит координата положения частицы, измеряемая в направлении, также перпендикулярном плоскости чертежа. Если эта координата в рассматриваемом эксперименте положительна, то спин частицы направлен к нам; если же координата отрицательна, то спин направлен от нас. Эксперимент доказывает существование статистической корреляции между состоянием «измерительного прибора» (координаты положения) и состоянием объекта измерения (спина), которую мы уже обсуждали. Обычно эксперимент проводят для того, чтобы по положению пучка частиц определить направление спина. Измерение считается законченным (поскольку цель эксперимента состоит в установлении статистической корреляции), когда частица достигает того места, где на фиг. 1 стоят горизонтальные стрелки, указывающие направление спина.

1) Недавно тот же эксперимент с другой точки зрения рассмотрел Ва* кита [40].

Для нас же важна правая часть фиг. 1. Из нее видно, что состояние объединенной системы «объект плюс прибор» (спин плюс координата частицы, т. е. полное состояние системы) обладает некоторыми свойствами, отсутствующими у каждого из разделенных пучков частиц. Если эти два пучка свести вместе с помощью магнитного поля, создаваемого током в кабеле, то они будут интерферировать, и спин снова станет вертикальным. Это можно проверить, пропустив пучок, образовавшийся от слияния двух первых пучков, через второй магнит, не показанный на фиг. 1. Если состояние системы соответствует пучку, первоначально отклонившемуся в нашу сторону, то, пропуская его через второй магнит, мы увидим, что он с одинаковой вероятностью отклоняется как в нашу, так и в противоположную сторону. То же справедливо и по отношению ко второму пучку,

Фиг. 1.

первоначально отклонившемуся в сторону от нас. Хотя осуществить предлагаемый эксперимент было бы трудно, нет никаких сомнений в том, что поведение частиц и их спинов при описанных условиях согласуется с квантовомеханическими уравнениями движения. Следовательно, выражение (2), обладающее в данном случае свойствами, отличными от свойств любой из альтернатив (3), правильно передает свойства системы «объект плюс прибор».

Таким образом, рассматривая эксперимент Штерна —Гер-лаха, можно указать конкретный и, по-видимому, экспериментально осуществимый способ, позволяющий отличить вектор состояния (2), следующий из ортодоксальной теории, от более наглядной смеси состояний (3), которую можно было бы ожидать, исходя из интуитивных соображений. Нет никаких сомнений в том, что здесь вопрос решается в пользу ортодоксальной теории. Интересно, что даже в столь простом случае осуществить выбор между вектором состояния (2) и смесью состояний (3) очень трудно. Возникают два вопроса. Во-первых, существует ли принцип, согласно которому в более сложных случаях нельзя провести различие между вектором состояния (2) и смесью состояний (3)? Насколько известно автору, этот вопрос до сих пор серьезно не обсуждался, и мы затронем его также лишь вскользь. Второй вопрос можно сформулировать так: существует ли непрерывный переход между вектором состояния (2) и смесью состояний (3), т. е. переход от более простых случаев, когда в результате взаимодействия между объектом измерения и измерительным прибором возникает вектор состояния (2), к более сложным и более реалистичным случаям, когда истинное состояние системы «объект плюс прибор» больше напоминает смесь состояний (3)? Этот вопрос, так же как и первый, можно исследовать в рамках квантовой механики или же можно постулировать отклонения от квантовомеханических уравнений движения, в частности от принципа суперпозиции.

«Более сложный» и «более реалистичный» случай в данном контексте означает, что измерительный прибор, состояние которого должно коррелировать с измеряемой величиной, в силу самой природы позволяет без труда измерять свои состояния, т. е. устанавливать корреляцию между этими состояниями и состоянием другого «измерительного прибора». После установления такой корреляции состояние второго «прибора» будет коррелировано и с состоянием объекта измерения. Установление корреляций между состоянием прибора, непосредственно контактирующего с объектом измерения, и состоянием другого прибора особенно распространено в тех случаях, когда первый прибор имеет макроскопическую природу, т. е. сложен с квантово-механической точки зрения. Легкость установления вторичных корреляций служит мерой того, насколько реалистично утверждение о полноте измерения. Если установить состояние прибора, производившего первичное измерение, так же трудно, как состояние объекта измерения, то утверждение о том, будто установление корреляции между состоянием первичного прибора и объекта измерения является полным измерением, не слишком реалистично. Тем не менее ортодоксальная теория считает его соответствующим действительности. Возникает вопрос: согласуется ли с принципами квантовой механики допущение о том, что в конце реально проводимого измерения состояния системы «объект плюс прибор» волновая функция будет определяться не соотношением (2), а смесью состояний (3)? Как мы увидим, ответ на этот вопрос отрицателен. Следовательно, та модификация ортодоксальной теории, о которой шла речь в начале этого раздела, противоречит принципам квантовой механики.

Обратимся теперь к выкладкам. Хотя обычно это и не подчеркивается, тем не менее ясно, что для того, чтобы в результате взаимодействия прибора с объектом измерения получилась смесь состояний, само начальное состояние должно быть смесью состояний1). Это следует из общей теоремы о том, что характеристические корни матрицы плотности являются интегралами движения. Действительно, предположение о том, что начальное состояние системы «объект плюс прибор» есть смесь, весьма естественно, так как вектор состояния прибора, обычно рассматриваемого как макроскопический объект, вряд ли известен. Итак, предположим, что начальное состояние нашего измерительного прибора представимо в виде смеси состояний А@\ ..., причем вероятность состояния Л(Р) равна рр. Не ограничивая общности, можно считать, что векторы взаимно ортогональны. Для состояния А№ прибора и состояния cKv> объекта уравнения движения дают конечное состояние

д») х стм -* Alf>v) X a,v>. (4)

*) Некоторые из авторов, открывших заново неймановское описание измерения [соотношення (1) и (2)], упустили из виду это обстоятельство. Они полагают, будто из макроскопической природы измерительного прибора следует, что если несколько «положений стрелки» имеют отличные от нуля вероятности [как в случае, когда вектор состояния представим в виде (2)], то состояние системы с необходимостью является скорее смесью (чем линейной комбинацией) состояний (3), т. е. состояний, которым соответствует строго определенное («четко различимое») положение стрелки. Свою точку зрения они аргументируют ссылкой на то, что к макроскопическим объектам применима классическая механика, а состояния вида (2) не имеют аналогов в классической теории. Подобные аргументы противоречат современной квантовомеханической теории. Движение макроскопического тела действительно может быть адекватно описано с помощью классических уравнений движения, если состояние тела допускает классическое описание. Последнее допущение, согласно современной теории, выполняется не всегда. Об этом ясно, хотя и в несколько гротескной форме, свидетельствует шредингеровский парадокс с кошкой (см. [34—36]). Кроме того, проведенное сейчас нами обсуждение опыта Штерна — Герлаха наглядно показывает, что в принципе между вектором состояния, определяемым правой частью соотношения (2), и смесью состояний (3), каждому из которых отвечает вполне определенное положение стрелки, имеются заметные различия. Позднее мы коснемся предложений о такой модификации квантовомеханических уравнений движения, при которой результат -измерения сможет быть смесью состояний (3) даже в том случае, если начальное состояние описывалось вектором состояния (2),

Каждое состояние A(iv\ A(2v\ ... будет указывать одно и то же состояние cr<v) объекта; стрелка для всех A^lv\ A<-2v\ ... будет находиться в положении v. При различных v положения стрелки также будут различными. Следовательно, при различных v векторы А№) ортогональны, даже если индексы р у них различны. С другой стороны, состояния A(Pv> и А№) при р ф о также ортогональны, потому что произведения А^ X cr(v) и AW X a(v) получаются при действии унитарного преобразования на два ортогональные состояния AW X a(v) и Л(0> X a<v>, а скалярное произведение векторов А№> X a<v> и Л«™) X a(v) равно {А<^\ А«™)).

Следовательно, векторы А№) образуют ортонормированную (хотя, по-видимому, и не полную) систему

(А™, Л№>) = W (5)

Из линейности уравнения движения следует, что если начальное состояние объекта измерения было линейной комбинацией 2 «va(V>» то состояние системы «объект плюс прибор» после измерения будет смесью состояний

Л(р) X 2 ava<v) - 2 сц U(pv) X a(v)] = Ф(р> (6)

V

с вероятностями рр. Эта смесь в силу принятых допущений эквивалентна смеси ортогональных состояний

Чт = 2 xfk) [Лш X а(й)]. (7)

р

Это наиболее общий вид состояний, в которых измеряемая величина имеет строго определенное значение Хц, а соответствующее состояние объекта измерения связано с некоторым состоянием измерительного прибора родним из состояний 2x{^k)A<Pil)y

определяемым положением стрелки ц,. Кроме того, если Р^и — вероятность состояния Щ^к\ то должно выполняться равенство

2/V* = laJ2- (7а)

к

Коэффициенты x^k\ естественно, зависят от а.

Однако оказывается, что смесь состояний Ф(р> не может од-

новременно быть смесью состояний (за исключением того

случая, когда лишь один из коэффициентов а отличен от нуля).

Чтобы смесь состояний Ф<Р) была смесью состояний W№\ долж-

но выполняться необходимое условие: состояния Ч^*) должны

быть линейными комбинациями состояний Если это усло-

вие выполнено, то всегда можно найти коэффициенты и, такие,

что

2 *Г [А'М X а""] = Ч*"» = 2 «рФ(Р) = 2 «(>«v [A,pv) X <r,v>]. (8)

Р Р Р, V

В силу линейной независимости Л<ру> из этого равенства имеем

последнее же соотношение не может выполняться, если более чем один коэффициент а отличен от нуля. Отсюда следует, что предположение о возникновении после измерения состояния системы «объект плюс прибор», представимого в виде смеси состояний, каждое из которых соответствует строго определенному положению стрелки, противоречит квантовомеханическим уравнениям движения.

Итак, мы с необходимостью приходим к выводу о том, что измерения, оставляющие систему «объект плюс прибор» в одном из состояний с определенным положением стрелки, нельзя описать с помощью линейных законов квантовой механики. Следовательно, если такие измерения существуют, то квантовая механика верна лишь в ограниченных пределах. Такое заключение должно быть известно многим, хотя только что проведенного подробного доказательства до сих пор никто не давал. Людвиг в Германии и автор настоящей статьи независимо высказали предположение о необходимости такой модификации квантово-механических уравнений движения, которая бы допускала описание вышеупомянутого типа измерений [41, 42]. Это предложение до сих пор подробно не обсуждалось, потому что оно было высказано лишь как предположение и в настоящее время еще не имеет доказательной силы. И хотя оно вполне может оказаться правильным, все же приходится признать, что пока единственно обоснованной среди известных теорий измерения нужно считать ортодоксальную теорию. Из такого признания с необходимостью следует дуалистическая теория изменений вектора состояния, и в частности редукция вектора состояния. Однако на ранее поставленный вопрос мы должны ответить утвердительно: существует [41, 42] непрерывный переход между вектором состояния (2), полученным на основе ортодоксальной теории, и необходимой смесью состояний (3), постулируемой более интуитивной теорией измерения.

ЧТО ТАКОЕ ВЕКТОР СОСТОЯНИЯ?

Вектор состояния играет настолько важную роль в формулировке квантовомеханической теории, что эту роль желательно обсудить подробнее. Кроме того, нам необходимо знать, каким образом можно определить вектор состояния. Поскольку (согласно квантовой механике) вся информация получается в форме результатов измерения, стандартный способ получения вектора состояния также сводится к проведению измерений над системой *).

') Существуют, однако, и другие способы, позволяющие привести систему в определенное состояние. Они основаны на том обстоятельстве, что малая система, взаимодействуя с большой системой, находящейся в определенном и хорошо известном состоянии, сама может почти с абсолютной достоверностью переходить в определенное состояние. Так, возбужденный атом водорода, если его поместить в большой контейнер, внутри которого нет излучения, с вероятностью, почти равной единице, передаст всю свою энергию полю излучения контейнера и перейдет в основное состояние. На этот способ «приготовления» достояний особое внимание обращал Маргенау.

Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо прежде всего вывести формулу для вероятности того, что последовательные измерения, производимые над системой, приведут к некоторым заранее заданным результатам. Мы выведем формулу вероятности и в представлении Шредингера и в представлении Гейзенберга. Пусть над системой в моменты времени tif t2, ..., tn производится п последовательных измерений. Обозначим через Qi, Q2, ..., Qn операторы измеряемых величин в представлении Шредингера. Собственные векторы этих операторов будем обозначать буквой г(? с соответствующими верхними индексами, а собственные значения — буквой q. Тогда

Q/+S," = 4\№Р- (9)

В представлении Гейзенберга измеряемым величинам (если измерения производились в соответствующие моменты времени) отвечают операторы

Q? = etHtiQje-lHti- (10)

Их собственные векторы мы обозначим через ф<р, где

q47) - в""Qfф!? = (Юа)

Если Ф—начальный вектор состояния, то вероятность появления последовательности qЈ\ q(Ј\ q{Ј] результатов измерения равна квадрату модуля выражения

(e~im®, $М)(е-ш«*-ЩМ, i|>j2>) ... (e~iH яр£>). (11)

To же выражение с помощью собственных векторов операторов в представлении Гейзенберга записывается проще:

(Ф, Ф<;>)(фа), q,p) ... (ф^-о, ФМ). (11 а)

Следует заметить, что искомая вероятность не определяется 11 гейзенберговскими операторами Q

страница 15
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Скачать книгу "Этюды о симметрии" (2.82Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
передние дисковые тормоза для ваз 2115 купить
кровать мягкая ткань рогожка 160*200
заправка чиллера blue box
electrolux enb 3669 s цена

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(29.05.2017)