химический каталог




Физическая химия

Автор Б.П.Никольский, Н.А.Смирнова, М.Ю.Панов, Н.В.Лутугина и др.

p>Решение. Коэффициент вариации среднего значения W(X)

равен по определению: W (Х)~ о(Х)/Х • 100% (см. разд. XIV. 6).

Отсюда найдем стандартное отклонение среднего для каждого уровня измеряемой величины: a(Xi)—W(X)- Xl/\00= 1,25 10~3оС> а{Х2)= W (X) * Х2/100=_2,5 • 10_3oC. Но стандартное отклонение среднего результата о(Х) связано со стандартным отклонением единичного результата а через кратность измерений п: о(Х) = = о';^/п- Это позволяет найти ri\ и п2:

п{ = [а/с (Х{)]2 = [3 • 10-3/(1,25 • Ю-3)]2 = 5,76; п\ = 6; п2 = [а/а (X2)f = [3 • 10-3/(2,5 • 10~3)]2 = 1,44; п2 = 2.

Вместо нецелочисленных значений п\ и п2 следует взять в качестве наилучшей оценки ближайшие большие целые числа (п\ и пг2).

Пример. 5. Среднее из ряда измерений э. д. с. гальванического элемента равно 0,674 В. Генеральное стандартное отклонение измерений не превышает 0,003 В. Полагая, что отклонение любого единичного результата, которое реализуется с вероятностью р <С 0,003, происходит вследствие значимой причины— промаха, оценить, можно ли считать промахом частный результат Е = 0,693 В.?

Решение. Назовем появление каждого из результатов событием. Тогда каждое из событий, вероятность которого р <С 0,003, можно рассматривать как значимое, т. е. не случайное. Величину р называют уровнем значимости. Дополняющая ее до единицы вероятность 2а — 1 — р— доверительная вероятность. Вес события, реализуемые с вероятностью, не большей 2а = 1 — — р — следствие закономерных колебаний случайной величины. Все события, реализуемые с вероятностью, меньшей р — значимые. Их появление не оправдано случаем.

Доверительной вероятности 2а = 1—р = 0,997 отвечает размах колебаний случайной величины около среднего ±3 ЗоЕ. Следовательно, результат Е можно считать промахом и не принимать в расчет при вычислении среднего арифметического и стандартного отклонения серии измерений.

XIV. 10. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИ ОЦЕНКЕ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

В практике статистических исследований и при обработке результатов измерений достаточно распространена ситуация, когда случайная величина имеет заведомо близкое к нормальному распределение, но представляющая ее выборочная совокупность имеет малый объем, т. е. не является достаточно представительной. Поскольку при этом генеральные параметры не могут быть

Рис. XIV. 7. Вид кривых плотности вероятности ф(<) для распределения Стьюдента при трех значениях числа степеней свободы.

надежно оценены, возникает необходимость статистической оценки по выборочным параметрам.

В основе статистических -3-2-1 1 2 з

оценок нормально распределенных случайных величин по выборочным параметрам лежит распределение Стьюдента, связывающее три важнейших характеристики выборочной совокупности — ширину доверительного интервала, соответствующую ему доверительную вероятность и объем выборки п (или число степеней свободы выборки / = — п—1 ). Применение распределения Стьюдента для оценки неизвестного среднего ц. нормальной случайной величины основано на следующем. Пусть Хи Х2, Хп — независимые результаты измерений величины X с неизвестными параметрами ц и а. Вычислим соответствующие выборочные параметры Хп и Sn и составим дробь, обозначив ее через t:

t = (Xn~ |i)/S„.

Распределение величины t по f = n—1 степеням свободы носит название распределения Стьюдента. Сравним его с распределением Лапласа. Если Uj— мера отклонения среднего

результата измерений от математического ожидания р, в единицах генерального стандартного отклонения среднего а{Х), то коэффициент Стьюдента —аналогичная мера в единицах выборочного стандартного отклонения среднего результата:

?/- = (Хп - |i)/er (X) = АХ- Уя/tr; f- = (Хп ~ |i)/S (X) = ДХПриведенные равенства по сути дела являются математическими определениями нормированных аргументов U и / функций Лапласа и Стьюдента. Их сопоставление показывает, что величины (У и г не равны, ибо SN=ЈG- Но t—>U аналогично тому,

п->оо

как 5л->о при п со.

Вид кривых плотности вероятности ф(г) для трех разных значений f приведен на рис. XIV. 7. Для f = co кривая ф(г) совпадает с кривой нормированного распределения Лапласа (см. рнс. XIV.6,б). Для выборок конечного объема п кривая ф(г) идет более полого, ниже соответствующей гауссовой кривой, но также асимптотически приближаясь к оси абсцисс при больших значениях \t\. Это означает, что при одинаковой ширине доверительного интервала доверительная вероятность, оцененная по Стьюденту, всегда меньше доверительной вероятности распредеI 3,08 6,31 12,71 31,82 63,66 127,32 636,62

2 1,89 2,92 4,30 6,97 9,93 14,09 31,60

со 1,64 2,35 3,18 4,54 5,84 7,45 12,94

4 1,53 2,13 2,78 3,75 4,60 5,69 8,61

5 1,48 2,02 2,57 3,37 4,03 4,77 6,86

6 1,44 1,94 2,45 3,14 3,71 4,32 5,96

7 1,42 1,90 2,37 3,00 3,50 4,03 5,41

8 1,40 1,86 2,31 2,90 3,36 3,83 5,04

9 1,38 1,83 2,26 2,82 3,25 . 3,69 4,78

10 1,37 1,81 2,23 2,76 3,17 3,58 4.59

11 1,36 1,80 2,20 2,72 3,11 3,50 4,44

12 1,36 1,78 2,18 2,68 3,06 3,43 4,32

13 1,35 1,77 2,16 2,65 3,01 3,37 4,22

14 1,34 1,76 2,15 2,62 2,98 3,33 4,14

15 1,34 1,75 2,13 2,60 2,95 3,29 4,07

16 1,34 1,75 2,12 2,58 2,92 3,25 4,02

17 1,33 1,74 2,11 2,57 2,90 3,22 3,97

18 1,33 1,73 2,10 2,55 2,88 3,20 3,92

19 1,33 1,73 2,09 2,54 2.86 3,17 3,83

20 1,33 1,73 2,09 2,53 2,85 3,15 3,85

21 1,32 1,72 2,08 2,52 2,83 3,14 3,82

22 1,32 1,72 2,07 2,51 2,82 3,12 3,79

23 1,32 1.71 2,07 2,50 2,81 3,10 3,77

24 1,32 1,71 2.06 2,49 2,80 3,09 3,75

25 1,32 1,71 2,06 2,48 2,79 3,08 3,73

26 1,32 1,71 2,06 2,48 2,78 3,07 3,71

27 1,31 1,70 2,05 2,47 2,77 3,06 3,69

28 1,31 1,70 2,05 2,47 2,76 3.05 3,67

29 1,31 1,70 2,04 2,46 2,76 3,04 3,66

30 1,31 1,70 2,04 2,46 2,75 3,03 3,65

40 1,30 1,68 2,02 2,42 2,70 2,97 3,55

60 1,30 1,67 2,00 2,39 2,66 2,91 3,46

120 1,29 1,66 1,98 2,36 2,62 2,86 3,37

1,28 1,66 1,96 2,33 2,58 2,81 3,29

тов Стьюдента t при заданной доверительной вероятности 2а для числа степеней свободы / = я—1 (табл. XIV. 2). Величина вероятности а относится к односторонним оценкам типа:

а = p{\iДоверительная оценка среднего результата по Стьюденту для двустороннего интервала имеет вид:

р {р - tSj*fn Если возникает необходимость доверительной оценки единичного результата малопредставительной выборки, та же доверительная вероятность должна быть соотнесена с двухсторонним интервалом шириной dztSn:

р {р - tSn < X < p, + tSn) = 2а.

Оценки остальных типов (для разнозначных и однозначных асимметричных интервалов tiSn и Гг5«) аналогичны подобным оценкам, применяемым в распределении Гаусса — Лапласа.

Ниже приведено несколько примеров применения г-распреде-ления к оценке погрешностей измерений.

Пример 1. Шестикратное измерение рН раствора со стекля

страница 246
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261

Скачать книгу "Физическая химия" (6.95Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
проектор и экран напрокат
Рекомендуем фирму Ренесанс - винтовые лестницы цены - продажа, доставка, монтаж.
кресло руководителя 781
компактное хранение документов дома

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(11.12.2016)