химический каталог




Физическая химия

Автор Б.П.Никольский, Н.А.Смирнова, М.Ю.Панов, Н.В.Лутугина и др.

ероятности случайных событий. Она применима к нормальному распределению (распределению Гаусса) случайных погрешностей равноточных измерений физических величин. u Входящий в формулу Гаусса параметр о является важнейшей характеристикой генеральной совокупности случайных величин, в частности, погрешностей равноточных измерений. Можно показать, пользуясь уравнением Гаусса, что введенная нами ранее величина а= lim Sft, названная генеральным стандартл -> оо

ным отклонением, идентична с параметром о, входящим в уравнения (XIV. 10) и (XIV. 23).

График функции ф(Х) нормального распределения (кривая Гаусса) приведен на рис. XIV. б, а и характеризуется симметрией относительно вертикальной линии, проходящей через точку максимума, которой отвечает X ~ ц.

Рассмотрим основные свойства нормального распределения.

I. Пусть случайная величина X в уравнении (XIV. 10)—результат измерения. Тогда X— \i = б = АХСЛ — случайная погрешность измерения и <р(Х)~ (l/o л/2л) ехр(— АХ\л/2о2)' Для двух результатов Х\ = а(6 = а) иХ2 = ц — а (б = —а) плотности

вероятностей равны: ф(Х1) = ф(Хг). Кроме того,

J 4>(X)dX =

обратных по знаку случайных погрешностей, равны. Иначе говоря, в нормальном законе заложен принцип симметрии функции ф(Х) и интеграла вероятностей относительно знака погрешностей.

П. Дифференцируя уравнение (XIV. 10), легко найти условие максимума функции ф(Х): dq>{X)/dX = 0 при Х = ц. Это означает, что наиболее вероятным значением случайной величины, распределенной по нормальному закону, является значение, равное математическому ожиданию. Именно поэтому для

Рис. XIV. 6. Кривые ф (X) нормально* го распределения при трех значениях:

а—математического ожидания Ц, <М>2< <ц^и постоянной дисперсии о"2 = а2 — =? аЪ б—стандартного отклонения а <

О I

<а2<о3 и постоянном математическом ожидании ц,

дискретных нормально распределенных случайных величин, среднее арифметическое является наилучшей (наиболее вероятной) оценкой самой случайной величины.

Рн

III. Если результат многократного измерения распределен по нормальному закону, то вероятность сложного события, отвечающего нормальному распределению /г-кратного результата РН можно найти как произведение отдельных вероятностей:

ря ~ Ф (Xt) Д*[ф (Х2) АХ2 ... ф (Хп) АХп Ч

PiP2

п

ДЛГ, АХ2 ... АХп.

ехр

ых\-\-ьх\-\- ... Л-АХ

2а2

Максимуму РН отвечает минимум показателя степени при ехр,

п

т. е. min ? АХ]сл- Таким образом, закон нормального распределения включает принцип минимума квадратов отклонений или, как его часто называют, принцип наименьших квадратов.

IV. Условию d2q(X)/dX2 = 0 отвечают равенства Xi = р -f- о и X2~\i—о*. Следовательно, на кривой Гаусса имеется две симметричных точки перегиба, отстоящих по оси абсцисс от математического ожидания на значение, равное стандартному отклонению.

V. Конкретный вид кривых нормального распределения случайной величины X однозначно определяется параметрами р и о*. Для заданного а и трех разных значений р (рис. XIV. 6, а) кривые имеют идентичный вид и отличаются лишь положением абсциссы максимума кривой. При заданном р значение параметра сг определяет степень «размытости» кривой (р(Х). Чем больше значение о (рис. XIV. 6,6), тем больше рассеяние случайной величины.

XIV. 8. НОРМИРОВАННОЕ СТАНДАРТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. ФУНКЦИЯ ЛАПЛАСА

Если результаты измерений распределены по нормальному закону, и известны параметры распределения ц. и сг, вероятность того, что единичный результат измерения заключен в заданном интервале [Х\, Х%], вычисляется как определенный интеграл:

Хг

p{Xl^XAt

Интервал [Х\, Х2] называется доверительным интервалом, а соответствующая ему вероятность р того, что результат не выпадает из данного интервала, называется доверительной вероятностью (обозначается р или а). Интеграл приведенного вида можно вычислить (путем разложения экспоненциальной функции в степенной ряд) с любой желаемой степенью точности. Однако табулирование функции F(X) нормального распределения наталкивается на одну трудность: для каждой пары значений ц. и а нужна своя отдельная таблица.

Для преодоления этого затруднения введем новую величину U, связанную с X следующим соотношением: U — (X—u,)/cr = ~АХ/а. Очевидно, случайная величина U — мера рассеяния случайной величины X, выраженная в единицах ее стандартного отклонения. Естественно, что, если X и АХ распределены по нормальному закону, то и величина V — тоже. Найдем параметры распределения новой переменной:

М (U) = М [(X - ц)/а] =(ц- ц)/а = 0; ?>(?/) = ?> [(X - ц)/а1 = (1/а2) D (X) = а2/сг2 =1; сг (U) = | л/ЩПГ [ = 1.

Следовательно, a(U)=l. Тогда гауссовский закон нормального распределения в отношении величины U записывается в простой форме:

Ф (U) = —^Lr ехр [- (X - р,)2/2<т2] = —^=г ехр (U2/2). (XIV. 24)

•у2я у 2л

Это нормальное распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и стандартным отклонением, равным единице, носит название нормированного стандартного распределения. Оно описывает все частные виды нормального распределения с любыми параметрами ц. и сг. Поэтому сопряженные между собой критерии статистической оценки (доверительные интервал и вероятность) всех случайных величин могут быть сведены в единую таблицу. Обычно в этой таблице (табл. XIV. 1) против

0/) = |j ехр(Таблица XIV. I. Значения функции Лапласа

U2(2) dU

и и

0,01 0,0040 0,90 0,3159 1,90 0,4713

0,03 0,0120 0,95 0,3289 1,95 0,4744

0,05 0,0199 1,00 0,3413 2,00 0,4772

0,07 0,0279 1,05 0,3531 2,10 0,4821

0,10 0,0398 1,10 0,3643 2,20 0,4861

0,15 0,0596 1,15 0,3749 2,30 0,4893

0,20 0,0793 1,20 0,3849 ' 2,40 0,4918

0,25 0,0987 1,25 0,3944 2,50 0,4938

0,30 0,1179 1,30 0,4032 2,60 0,4953

0,35 0,1368 1,35 0,4115 2,70 0,4965

0,40 0,1554 1,40 0,4192 2,80 0,4974

0 45 0,1736 1,45 0,4265 2,90 0,4981

0,50 0,1915 1,50 0,4332 3,00 0,49865

0,55 0,2088 1,55 0,4394 3,20 0,49931

0,60 0,2257 1,60 0,4452 3,40 0,49966

0,65 0,2422 1,65 0,4505 3,60 0,49984

0,70 0,2580 1,70 0,4554 3,80 0,499928

0,75 0,2734 1,75 0,4599 4,00 0,499968

0,80 0,2881 1,80 0,4641 5,00 0,499997

0,85 0,3023 1,85 0,4678

соответствующего значения U приведено значение интеграла вероятности, который носит название функции (или интеграла) Лапласа Ф(11) и задается соотношением:

Ф {?//) = F (Ui) - F (0) = р {0 < U < Ut) = р {ц < X < ц + Va) =

и и

= [ о v о

Иными словами, функция Лапласа — вероятность пребывания случайной величины X в интервале от своего математического ожидания р до р+ UG. Следовательно, величину U можно назвать полушириной доверительного интервала в единицах стандартного отклонения. (Полному симметричному интервалу отвечает ширина 2Ua — от —Ua до -ft/a). Поскольку интеграл вероятности в нормальном распределении обладает симметрией относительно знака при V, то:

о и

1 [ ехр (СЯ/2) dU = —= [ ехр (U2/2) dUt

J л/2л J

— U и

и в част

страница 244
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261

Скачать книгу "Физическая химия" (6.95Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
шашка для такси цена
чистка кондиционеров климовск
Товары Valira купить
аферисты поневоле спектакль мохов

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(30.03.2017)