химический каталог




Физическая химия

Автор Б.П.Никольский, Н.А.Смирнова, М.Ю.Панов, Н.В.Лутугина и др.

а бы равна нулю, так как при измерениях оказалось бы бесконечное множество различных возможных результатов. Поэтому за одинаковые принимают такие результаты измерений, при которых измеренные значения X лежат в интервале от X — А до X-J-A, а погрешность измерения — в интервале от б — А до 6 +А.

Если мы обозначим число случаев измерений, попадающих в этот интервал, через п, то для вероятности того, что при очередном измерении результат измерения попадет в указанный интервал, получится выражение:

р {X - Д < X. < ,Y + А} = Р {6 - Л < 6. < 5 + Л) -~ n/N. (XIV. 11)

Число событий п, попадающих в интервал б ± А, очевидно, зависит не только от значения случайной величины б, но и от ширины интервала чьА. Кратко можно сказать, что число измерений, попадающих в интервал от б — А до 6 -4- А, и,

следовательно, и соответствующая вероятность, антибатно зависит от значения случайной величины б и симбатно — от значения интервала ±А. Графически это иллюстрирует рис. XIV. 4; ось абсцисс разделена на участки длиною А; каждому участку соответствует «столбик» шириной А и высотой n/N. Ступенчатая линия, охватывающая вершины всех столбиков, представляет приближенно кривую распределения числа событий (частоты событий) по значению случайной величины 5.

Разделим величину n/N в уравнении (XIV. 11) на А, т. е. отнесем ее к интервалу, равному единице измерения величины X (и б):

Р {б - д < а. < а + = я/лгд.

лгд

Будем беспредельно уменьшать интервал' А; при этом будет беспредельно уменьшаться и связанная с ней величина п. Величину п примем как непрерывно изменяющуюся при изменении б, поскольку число членов генеральной совокупности в принципе может быть достаточно большим. Переходя к пределу, получим:

= ф (6). (XIV. 12)

lim Л-»0

= lim Д-*0

М d6

р {6 - А < bt < 6 + А} _ .. п 1 dn

Л

Функция ф(6) и является функцией распределения случайной величины или плотностью вероятности. Гауссом в 1794 г. был найден конкретный вид функции распределения случайных величин, получившего название нормального распределения. Приведем вывод формулы Гаусса, заимствованный из книги академика А. Н. Крылова: «Лекции о приближенных вычислениях».

Будем исходить из следующих почти очевидных и частично уже сформулированных выше положений или аксиом для генеральной совокупности равновероятных случайных событий, в частности, случайных погрешностей равноточных измерений.

I. При большом числе равноточных испытаний числа положительных (Xi — р > 0) и отрицательных (Xt — р <С 0) погрешностей, равных по абсолютному значению, одинаковы. Иначе говоря, в генеральной совокупности одинаково часто должны

Рис. XIV, 5. Координатные плоскости у, z я\, У] при стрельбе по мишени М.

встречаться равные по абсолютному значению и противоположные по знаку погрешности. Это значит, что функция распределения симметрична относительно ординаты 6=0.

II. Частота появления погрешности, равной Ь ± А, при измерениях зависит от ее конкретных значений так, что в генеральной совокупности малые погрешности встречаются чаще, чем большие, т. е. функция распределения случайной величины б должна иметь максимум при значении абсциссы 6 = 0.

В силу I положения функция ф(5) должна иметь вид ф(6) = = ф(б2). Из уравнения (XIV. 12) следует, что вероятность погрешности б равна:

dNjN = ф (6г) db.

(XIV. 13)

Вид функции ф(б2) можно вскрыть на примере стрельбы по мишени. Здесь случайной величиной является погрешность попадания в цель. Представим себе мишень в виде координатной плоскости у, z (рис. XIV. 5), причем начало координат 0 совпадает с точкой прицеливания, а точка попадания — с M(y,z). Значения у и z соответствуют погрешности в каждом из двух измерений — по осям у и г. Тогда вероятность попадания в точку М означает вероятность того, что эта точка лежит в пределах примыкающего к ней прямоугольника, площадь которого равна dydz. Вероятность того, что точка М имеет координату у (с точностью до dy), равна ty(y2)dy, а координату z — ty(z2)dz. Вероятность того, что точка М имеет одновременно координаты у и z будет:

dp = ф {у2) ф (г2) dy dz, (XIV. 14)

так как координаты у и z независимы.

Наложим на мишень вторую координатную сетку г|, ?, которая получится при повороте прежней сетки вокруг начала координат до тех пор, пока ось | не пройдет через точку М, координаты которой теперь будут (0, ?). Расстояние от начала координат до точки М в старой системе равно OJVJ = л/у2 + z2, а в новой равно %. Следовательно: ?2 = у2 + z2.

В соответствии с уравнением (XIV. 14) можно записать для вероятности попадания в точку М при выстреле:

dp = ф (0) ф (I2) dr) dl = ф (0) ф (у2 + г2) dn d%. (XIV. 15)

Так как dydz — dx\dl, то dp = ^(0)^{y2-}-'z2)dydz. Из уравнений (XIV. 14) и (XIV. 15) следует:

ф (у2) ф (z2) = ф (0) ф (у2 + z2). (XIV. 16)

ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ (XIV. 16) МОЖЕТ БЫТЬ СПРАВЕДЛИВО ТОЛЬКО ПРИ ОПРЕДЕЛЕННОМ ВИДЕ ФУНКЦИИ КОТОРЫЙ МОЖНО НАЙТИ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ. ВВЕДЕМ НОВЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ и — у2 и v = г2; ТОГДА:

?ф (И) ф (и) = ф (0) ф (u + v). (XIV. 17)

ТАК КАК и И v НЕЗАВИСИМЫ, ТО МЫ МОЖЕМ ПРИДАТЬ ВЕЛИЧИНЕ v ЛЮБОЕ ЗНАЧЕНИЕ v—k, КОТОРОЕ БУДЕМ СОХРАНЯТЬ ПОСТОЯННЫМ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ и:

ф (и) ф (fe) = ф (0) ф (u + ft). (XIV. 18)

ДИФФЕРЕНЦИРУЯ ПО ПЕРЕМЕННОЙ и ПРИ v = k, ПОЛУЧИМ:

ф'(ц)ф^) = ф(0)ф'(м + й). (XIV. 19)

ДЕЛЕНИЕ (XIV. 19) НА (XIV. 18) ДАЕТ:

ф' (и)/ф (и) = ф'(" + fe)/,], (и + fe).

ЭТО РАВЕНСТВО ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО, КАК БЫ МЫ НЕ ИЗМЕНЯЛИ АРГУМЕНТ И, ПРИБАВЛЯЯ К НЕМУ КАКИЕ УГОДНО ЗНАЧЕНИЯ k, ОТНОШЕНИЕ, СТОЯЩЕЕ В ЛЕВОЙ ЧАСТИ РАВЕНСТВА, ОСТАЕТСЯ ПОСТОЯННЫМ. ОБОЗНАЧИМ ЕГО ЧЕРЕЗ Ь. ТОГДА:

[ф' (и)/ф (и)] du — bdu или In ф (и) = bu -f- In с,

где с —константа интегрирования.

ЗАПИШЕМ .ЭТО УПЯВНР.НИР В ГЬОПМРф (и) = ф (у2) = с ехр (6t/2). (XIV. 20)

ТАК КАК СОГЛАСНО ПРИНЯТЫМ НАМИ ПОЛОЖЕНИЯМ ФУНКЦИЯ ф(//2) ДОЛЖНА БЫТЬ УБЫВАЮЩЕЙ, ТО Ь <С 0. ВВЕДЕМ ВМЕСТО ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КОНСТАНТЫ СУЩЕСТВЕННО ПОЛОЖИТЕЛЬНУЮ ПОСТОЯННУЮ OR С ПОМОЩЬЮ РАВЕНСТВА: Ь — —1/2а2. ТОГДА УРАВНЕНИЕ (XIV. 20) ПРИМЕТ ВИД:

ф (!/*) = с ехр (— у3/2ст2). (XIV. 21)

ПОСТОЯННУЮ ИНТЕГРИРОВАНИЯ с МОЖНО ОПРЕДЕЛИТЬ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЯ (XIV. 13), КОТОРОЕ, ПО СУЩЕСТВУ, ЯВЛЯЕТСЯ НОРМИРОВКОЙ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАК ВЕРОЯТНОСТИ. ПРИМЕНЯЯ УРАВНЕНИЕ (XIV. 21) К СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЕ, КОТОРУЮ МЫ ЗДЕСЬ ИЗУЧАЕМ, Т. Е. К ПОГРЕШНОСТИ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ, МЫ МОЖЕМ ПОГРЕШНОСТЬ ПОПАДАНИЯ ПРИ СТРЕЛЬБЕ у ЗАМЕНИТЬ ПОГРЕШНОСТЬЮ ИЗМЕРЕНИЙ Б, ТАК КАК ОБЕ ЭТИ ВЕЛИЧИНЫ ПРЕДСТАВЛЯЮТ СОБОЙ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ПОДЧИНЯЮЩИЕСЯ ОБЩИМ ЗАКОНАМ ВЕРОЯТНОСТИ. ИЗ (XIV. 21) И (XIV. 13) ПОЛУЧАЕТСЯ:

Ф (б) = ф (б2) = (1/ЛГ) dn/db =- с ехр (— 62/2tr2). (XIV. 22)

ВВЕДЯ НОВУЮ ПЕРЕМЕННУЮ g:b — go л/2у ПОЛУЧИМ: dn = JVCCTX XV2ЕХР(— g2) dg. ПЕРЕМЕННАЯ g, КАК И б, МОЖЕТ ИЗМЕНЯТЬСЯ

в пределах от —оо до -f-oo. Интегрирование дает:

dn — N — Nca V2 \ ехр (— g2) dg = Мса V2я,

так как \ ехр (— g2) dg = Vя*

?—00

Отсюда находим постоянную интегрирования: с = 1/сг д/2л-Теперь уравнение (XIV. 22) примет вид:

Это и есть знаменитая формула Гаусса для плотности в

страница 243
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261

Скачать книгу "Физическая химия" (6.95Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
Acer X113
новороссийск сделать табличку с адресом
крышный вентилятор systemair tfsr 125 m roof fan black
текст обращения о благотворительной помощи к населению для ребенка инвлида

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(19.10.2017)