химический каталог




Физическая химия

Автор Б.П.Никольский, Н.А.Смирнова, М.Ю.Панов, Н.В.Лутугина и др.

ая функция — функция накопления вероятности F(X)—вероятность того, что случайная величина X принимает любые значения, меньшие некоторой наперед заданной величины а:

F {а) = р{Х <а). (XIV. 1)

Функция F(X) обладает следующими свойствами, которые вытекают из ее вероятностной природы:

0 < F(X) 1;

в интервале [X], Xz] для пары значений Х2 > Х\ —

р {X, < X < Хг) = F (Х2) - F (Xi), (XIV. 2)

Рис. XIV. 2. Виды интегральных la) функций и функций плотности вероятности (б).

т. е функция F(X) — неубывающая. Это свойство дает простой способ определения вероятности попадания значения случайной величины в заданный интервал [Хи Х2];

р{Х^а} = \ - p{X < а} = \ - F {а) {XIV. 3)

поскольку два альтернативных случая X < а и X ^ а взаимно дополняют друг друга до достоверного события, это свойство вполне очевидно; У ограниченной интервалом \а, Ь] случайной величины—

F (X) =? 0 для всех X < а; F (X) = 1 для всех X > Ь.

Упомянутые свойства функции F{X) иллюстрирует рис. XIV. 2, а. Кривая 1 отвечает ограниченной интервалом [Хи Х2] случайной величине; кривая 2 описывает распределение неограниченной (в пределах графика) случайной величины;- кривая (прямая) 3 — пример непрерывной, равномерно распределенной в интервале [с, d] случайной величины; кривая 4 — отражает распределение случайной величины по нормальному закону (см. разд. XIV. 7). Функция F(X) в равной мере пригодна для описания и непрерывных, и дискретных случайных величин.

Плотность вероятности <р(Х)—дифференциальная функция распределения — определяется соотношением:

Ф (X) = lim АХ-*0

р{Х<Х <(Х + АХ)}

АХ ~~

F(X + AX)-F(X) dF{X) _p,fT.

Иначе говоря, ц>(Х) есть производная интегральной функции. В соответствии с формулой Ньютона — Лейбница и свойствами интегральной функции:

ъ

[(f(X)dX = F(b)-F(a) = p{a^:XТаким образом, интегрируя плотность вероятности на заданном интервале [а, Ь], можно вычислить вероятность попадания значений случайной величины в заданный интервал значений.

Очевидные свойства функции ф(Х):

q>(X) ^ 0, поскольку F(X) — функция неубывающая;

ф (X) dX = 1; это свойство можно рассматривать как условие нор— ОО

мировки функций F(X) и у(Х), определенных как интегральная вероятность и плотность вероятности. Вероятность того, что случайная величина примет любое из своих значений во всей области существования равна единице, поскольку это событие достоверно; в частности, для ограниченной интервалом

ъ

[а, Ь] случайной величины ^

а

Геометрическим образом функции q>(X) может служить любая непрерывная кривая, лежащая не ниже оси абсцисс, нормированная так, что площадь под кривой, ограниченная осью абсцисс во всей области существования случайной величины, равна единице. Доля площади, ограниченной осью абсцисс, кривой и ординатами а и Ь, от всей площади — вероятность того, что случайная величина принимает значения, соответствующие интервалу [а,Ь]. Кривая 1 на рис. XIV. 2, б отражает вид функции плотности вероятности для ограниченной интервалом [Xi, Х%] случайной величины, кривая 2— для неограниченной случайной величины, кривая 3 — равномерно распределенной в интервале [с, d] случайной величины. Вид функции ф(Х) для нормального распределения рассматривается ниже.

Параметры распределения случайных величин—постоянные величины, входящие в закон или функцию распределения. (В принципе, постоянными являются только параметры генеральных совокупностей). Параметры при неизвестном законе или функции распределения характеризуют, хотя и не так полно как последние, центр рассеяния — математическое ожидание и интенсивность или степень рассеяния — дисперсию.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

оо

задается интегралом: М(Х)= J Xy(X)dX. Для дискретной слу— оо

чайной величины, имеющей п значений:

п

М (X) « ? РЛ

i = l

где Xi и pt — отдельные значения и их вероятности.

В частном случае равномерно распределенной дискретной случайной величины, принимающей п значений с вероятностями р1==р2= ... =рп=\/п, математическое ожидание совпадает с обыденным понятием среднего арифметического значения:

Естественно, что математическое ожидание результата многократного измерения равно среднеарифметическому значению, поскольку априорно все п результатов независимы и равновероятны . Ниже кратко перечислены основные свойства математического ожидания (X и У — случайные величины; С — постоянная) :

М(С)= С; М (X + С) = М {X) + С; М {СХ) = CM (Ху, М (X + Y) = М (X) + М (К); М (XY) = М {X) М (Y).

Последнее свойство справедливо только для независимых случайных величин. Величины являются независимыми, если каждая из них принимает то или иное значение независимо от того, какое значение приняла другая величина.

Дисперсия D(X) случайной величины вводится как математическое ожидание случайной величины [X — М(X)]2.

Дисперсию выборочной совокупности (sl)> состоящей из п значений, вычисляют по формуле:

а

З-т^тЕ^'- )

i-l

и называют выборочной дисперсией.

Дисперсия — удобная естественная мера рассеяния случайной величины, поскольку в равной мере учитывает отклонение отдельных результатов от среднего как в большую, так и меньшую сторону, и одновременно усредняет их по всем результатам.

Для облегчения расчета выборочной дисперсии Sn уравнение (XIV.7) преобразуется в эквивалентное:

Отметим, что обычно в распоряжении исследователя имеется лишь выборка результатов объема п: [Хи Х%, Хз, Хп], где Xiil^l^n) — независимые равновероятные результаты измерений. Это позволяет оценить только выборочные параметры

мерность распределения проявляется в разной частоте попадания результатов в интервалы равной ширины. Чем ближе результат к среднему значению, тем чаще он встречается, тем выше частота его появления.

Хп и которые служат приближением к параметрам генеральной совокупности, причем приближение тем лучше, чем больше объем выборки п. В практических исследованиях без большой погрешности можно принять, что выборочные параметры совпадают с генеральными при п ^ 30.

Коротко свойства дисперсии можно суммировать следующим набором равенств:

D(C) = 0; D{X + C) = D(X)] D (СХ) = C2D (X), в частности: D {— X) = D (X); D(X + Y) = D(X) + D(Y).

Последнее равенство справедливо лишь для независимых случайных величин. Отметим также, что всегда D(X)^0.

Размерности математического ожидания и измеряемой величины совпадают. Размерность дисперсии соотносится с размерностью абсолютных отклонений и самой измеряемой величины как квадрат величины с ее первой степенью. Чтобы привести в метрологическое соответствие оценки отдельных значений измеряемой величины с абсолютными значениями отклонений, используют величину \^D(X)\> В случае генеральной совокупности ее обозначают символом а и называют генеральным стандартным отклонением, а также просто стандартом и среднеквадратичным отклонением. Для выборочной совокупности

используют величину |л/*й|=5я> называемую выборочным стандартным отклонением или при обработке результатов изм

страница 241
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261

Скачать книгу "Физическая химия" (6.95Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
Кликайте на объявление KNS, закажите с промокодом "Галактика" - DS-2CD2622FWD-IS цена с доставкой по Москве и другим городам России.
Фирма Ренессанс: лестницы на второй этаж п образные - продажа, доставка, монтаж.
стоимость работ по монтажу шкафа управления вентиляторами
абонентский ящик 30 москва 124482

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(22.01.2017)