химический каталог




Теория строения молекул

Автор В.И.Минкин Б.Я.Симкин Р.М.Миняев

пользуя формулу Эйлера для комплексных чисел, получим выражение (2.15) в виде

cos(2iun)±isin(27im)=l. (2-16)

Это равенство возможно лишь при условии

т=0, ±1, ±2, ... . (2.17)

Таким образом, т может принимать только целочисленные значения. Константа А находится из условия нормированное™ функции Ф:

2я 2»

|ф»Ф<Лр = ,42 Jem%-to'^=^22n=l. (2.18)

о о

Окончательно функция Ф имеет вид

Ф=-^=е±'"'. (2.19)

2.1.2. Решение ©-уравнения. Полиномы Лежандра

Уравнение (2.12) хорошо известно в теории дифференциальных уравнений. Оно имеет конечное решение только в случае выполнения условий

C=l(l+\).l=Q, 1,2, (2.20)

Km^l, (2.21)

(1-\т\)\

Г2/+1 L 2

PI,"1 (cos 9).

(2.22)

при этом решениями являются так называемые функция или полиномы Лежандра. Нормированные функции в имеют вид

(1+\т\)\

?(cos2 9-1)'. (2.23)

(dcosef'

Функции Р^* (cos 9) называют присоединенными полиномами Лежандра и определяют следующим образом:

27!

Pf* (cos 9)=—[1 - (cos 9)2]н/2 d'

1

P,(cos9) =

(2.24)

Присоединенные полиномы Лежандра (2.23) связаны с полиномами Лежандра (2.24)

(cos2 0-1)'

2 n\WP

Pf<(cos9)=(l-cos29)'

Л (cos 9);

27! (dcoiff) соотношением

(2.25)

(dcosef

P?(cos9) = P,(cos9).

Задача 2.2. Получить четыре первых присоединенных полинома Лежандра, воспользовавшись уравнением (2.23).

28

Задача 2.3. Присоединенные полиномы Лежавдра являются ортогональными функциями, т. е.

i Го, если

J 1 , если /—/.

_, (/2M-l)(l-|m|)!

Проверьте ортогональность трех первых полиномов Лежандра (см. табл. 2.]).

Произведение функций 0(Й) и Ф(СР) представляет собой угловую часть волновой функции

УЫ(В,<Р) = В1Т(0)ФТ(<1>). (2.26)

Функции yta называются шаровыми функциями или сферическими гармониками. Подставляя в (2.26) выражения для В(В) и 0(6) из (2.22) и (2.19), запишем угловую часть в общем виде/=0, 1,2, ...;/и=-/, -/+1, О, 1, 2, /. 2.1.3. Решение Л-уравнения. Полиномы Лягерра

2Е ^ 2Z 1(1+1) floe2 ОоГ г

Перепишем уравнение (2.8) в другом виде, подставив вместо С соотношение (2.20):

SR 2DR Г

R = 0, (2.28)

где

ао=ti-да,в2

(2.29)

Это уравнение подробно исследовано в математической физике, и его решение необходимо искать в виде ряда

(2.30)

R(r)e-"r'YbjA 1-«

(2.31)

где введено обозначение / 2?\"*

"=Ы>) 'Е<0Подставляя (2.30) и (2.31) в (2.28), получим 30

(2.32)

Выражение в квадратных скобках должно обращаться в нуль при всех значениях г. Это возможно только в случае равенства нулю суммы коэффициентов при одинаковых степенях г. Собирая коэффициенты при получим рекуррентное соотношение

2n(j+l+\)-2Z^ (2.33)

°нг (j+l+2)(j+l+\)-l(l+\)

Функция (2.30) должна быть конечной для любых г, т. е. ряд ? bj г' должен сходиться. Сравним этот ряд с хорошо известным

разложением функции е1":

е =1+2^,+ ...+ -^-+-^-+.... (2.34)

Отношение двух соседних членов этого ряда при больших j равно (2fl/+2(/+l)!= 2И 2*

Ч+2У-&Г1 j+2~f (2'35)

Отношение двух соседних членов ряда (2.30) при больших j также равно

Ь'+* 2UJ 2м "л-i J J

Таким образом, ряд J^bjf' близок к функции е1", что позволяет

записать функцию (2.30) в виде

JtW-r'rV-rV. (2-37)

(2.38)

При г-» оо функция (2.37) стремится к бесконечности по экспоненциальному закону. Для того чтобы удовлетворить условию конечности волновой функции при любых г, необходимо оборвать ряд, т. е. для некоторого j должно выполняться условие 6у+2=0 или

2д(/+/+1) = 22^-1,У=0, 1,2,

В табл. 2.2 приведены функции RJr) для различных ли/. Таблица 2.2. Нормировать!' функции R^(r)

Задача 2.4. Получить вид функций R^(r) ДО» «=2,3 и показать их ортонор-вшрованносгь.

которое полностью совпадает с формулой Бора.

Величину л называют главным квантовым числом, так как она, согласно (2.41), определяет энергию водородоподобного атома.

С учетом нормировки функция (2.30), которую называют радиальной частью волновой функции, записывается следующим образом:

Zr

^г)--\(^^Ш\^^\ (2.42)

OV 2л[(л + /)!]3] \0оп/

Функция L21^' (г) представляет собой так называемый присоединенный полином Лягерра, который связан с полиномом Лягерра L„+/(r) следующим дифференциальным соотношением (формула

Родрига):

2.^2 Со) ( "о)

2VeW

H(r)=—L.(r). dr

(2.43)

3^3 W V За„ 21$) _

(2.44)

Ln(r) = e—(r"e-'). dr"

Полиномы Лягерра с различными ли/ ортогональны между собой, что определяет ортогональность радиальных функций. Получим вид функции R.,(r) для л = 1 и /=0:

Zr 12s IZr Zr

8 f2)''2^ —V щ

4 /ЈV/V/^

Таким образом, появление дискретных квантовых чисел автоматически следует из математических условий, налагаемых на волновую функцию.

По предложению Малликена волновую функцию (2.46), соответствующую определенному набору квантовых чисел «,/иш, принято называть атомной орбиталью (АО)*. Этим подчеркивается как определенная аналогия с воровскими орбитами — траекториями движения электрона вокруг ядра, так и различие в трактовке классического понятия орбиты и орбитали, в которую вкладывается ква

страница 8
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153

Скачать книгу "Теория строения молекул" (9.26Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
прокат машины на 1 час
Отличное предложение в КНС Нева: леново ёга - оформление в онлайн-кредит в Санкт-Петербурге.
где в алмате можно выучиться на теплотехника
дачный поселок домик у озера

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(31.03.2017)