химический каталог




Теория строения молекул

Автор В.И.Минкин Б.Я.Симкин Р.М.Миняев

оси координат:

дх д

%? В

Вх '

В

Vj(x) = -ih

Функция от любых динамических переменных f(p,q) заменяется на оператор f (р, q), который получается из классического выражения этой функции заменой р и q на отвечающие им операторы р и q:

t(p.9)=f(V,4)- (U6)

Например, оператор кинетической энергии электрона легко получить, заменяя в классическом выражении

(1.20)

Т 2т,А'

Полная энергия Е классической системы равна сумме кинетической Т и потенциальной V энергий. Аналогично, в квантовой механике оператор полной энергии Н=Е (оператор Гамильтона, или гамильтониан системы) есть сумма операторов Т кинетической и V потенциальной энергий:

H = T+V. (1-21)

Потенциальная энергия \=V(q. t) есть функция только координат и времени, вследствие чего оператор V выражается через операторы координат по тем же формулам, что и потенциальная энергия в классической механике, т. е.

V= V(q. tj. (1-22)

Из правил построения операторов динамических переменных видно, что квантовая механика принципиально нуждается в классической для своего построения и обоснорания.

Рассмотрим, для каких операторов квантовой механики выполняется условие (1.9), т. е. какие операторы коммутируют между собой. Заметим, что [х, у] = 0; [р„ pj = 0 и т. д.

Операторы импульса р и координаты г не являются коммутирующими. Легко проверить, что для них выполняются соотношения

[р*. х]=р,х-хр„= —1й;

(1.23)

[Р,. У] = Р,У-УР,= -'А-[р„ z] = p3z-zp,= -;'A;

2 2т, 2т, 2т, 2т,

(1.17)

(1.18)

T=2^-('P»+P, + PJ =

компоненты импульса р„, ру и р, соответствующими операторами из (1.12)-{U4) 1

# (В2 JP_ j?\ ~2m\Bx2 + By2 + Bz2)

(1.19)

или вводя обозначение Д — оператора Лапласа: . „, д2 В2 д2

(Оператор V (набла) был впервые введен в физику Максвеллом и назван так по аналогии с восточным музыкальным инструментом, имеющим сходную треугольную форму.) Выражение (1.18) для оператора Т принимает форму

Задача 1.5. Найти коммутатор

Отметим, что две физические величины могут быть одновременно измерены только в том случае, если их операторы коммутируют между собой (доказательство этого утверждения см. на с. 16). Отсутствие коммутации операторов риг между собой и отражает то обстоятельство, что координата и импульс одной и той же частицы не могут быть одновременно измерены с любой наперед заданной степенью точности. Таким образом, соотношения (1.23) являются другой математической формой принципа неопределенности (см. разд. 1.2).

Постулат Ш. Функция состояния должна удовлетворять уравнению

11

(1.24)

H(p,q.t)4(q. t)=ih-4(q.t>.

Это уравнение не может быть выведено, оно постулировано Э. Шрёдингером (1926) и известно как уравнение Шрёдингера*.

В обычных задачах структурной химии и молекулярной физики, при интерпретации реакционной способности и физических свойств молекул важны только так называемые стационарные состояния системы, т. е. состояния, не зависящие от времени. При их описании считается, что гамильтониан системы явно не зависит от времени. Волновую функцию Ч* можно представить тогда в виде произведения координатной Ч (q) и временной Ф (t) частей:

4(q. t) = 4(q) Ф(1). <1-25>

Подставляя (1.25) в (1.24) и разделяя переменные, получим

(1.26)

4(4)

го (О

dt

всегда имеет полную систему собственных функций*. Каждому собственному значению Es соответствует собственная функция

Т, (q). Если одно собственное значение Е, соответствует одновременно нескольким собственным функциям (if = i+\, i+2,

i+m), то состояние называется вырожденным с кратностью вырождения, равной т. Любая линейная комбинация функций, соответствующих вырожденному состоянию, также будет удовлетворять уравнению (1.27) с тем же самым собственным числом Е,.

Задача 1.6. Показать, что если Ti и 4*2 — две собственные функции оператора Н, соответствующие различным собственным значениям Ei н Еъ то их

любая линейная комбинация не будет являться собственной функцией этого оператора Н.

Функции Ч*, и fj, относящиеся к различным собственным значениям Ei и Ej, ортогональны, т. е. выполняются соотношения

Левая часть уравнения (1.26) не зависит от времени, а правая — от координат, вследствие чего каждая из частей должна быть равна константе Е, которая определяет полную энергию системы:

№Р (q)=EV(q); (1-27)

ih^^- = E<5>(t). (1.28)

Выражение (1.27) называют уравнением Шрёдингера для стационарного состояния. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных эллиптического типа. Функция "V (а) является собственной функцией оператора Н, а Е — собственным значением. Из теории уравнений типа (1.27) известно, что линейный самосопряженный оператор, каким и является Н,

(1.29)

47*0 А=о, i>/

(1.30)

Система собственных функций i-го вырожденного состояния не обязательно ортогональна, однако всегда можно найти такие их линейные комбинации, которые будут ортогональны. В дальнейшем будем считать, что система собственных функций оператора Н ортонормирована. Условие одновременной ортогональности и нормированн

страница 3
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153

Скачать книгу "Теория строения молекул" (9.26Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
ytong газоблоки купить
Выгодное предложение от интернет-магазина KNS - сколько стоит маленький ноутбук цена и фото с доставкой по Москве и городам России.
купить старинные рекламные вывески плакаты
столы производственные сварные 400х400 регулируемые

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(30.05.2017)