химический каталог




Статистические теории в термодинамике

Автор Г.А.Лоренц

ой, соответствующей элементарной области, произведение:

dq\ • d([2 • • • dq8 • dpi - dp2 ... dp„,

представляющее объем элементарного параллелепипеда 2s измерений. Определяем величину области, ограниченной произвольным образом, подразделяя ее так, как это принято в геометрии, на бесконечно малые параллелепипеды.

Теперь мы можем определить вероятность состояния, как функцию некоторых параметров, за которые мы берем сперва энергию и объем. Последний рассматриваем как точно заданный; обозначим его через v. Но энергию не считаем вполне закрепленной; потребуем только, чтобы она заключалась между

Е и E + dE.

Этим условиям, очевидно, соответствует некоторая вполне определенная фазовая напряженность, которую можно рассматривать как бесконечно тонкий слой, заключенный между поверхностями, соответствующими значениям Е и Е + dE энергии. Ясно, что толщина этого слоя будет пропорциональна dE и это будет справедливо и для объема области, им занимаемой. Если мы представим эту величину как

ndE,

то величина II по определению будет вероятностью (плотностью вероятности) состояния системы, соответствующего выбранным значениям Е и v. Эту величину П можно вычислить, если известна природа системы и выбраны координаты. Ее мы и введем в формулу Больцмана, и нужно будет показать, что значение S, так полученное, обладает всеми свойствами энтропии.

5. Пример одноатомного идеального газа. Начнем со случая идеалЬного одноатомного газа, объем молекул которого можно считать величиной исчезающей. Какова его энтропия? Вычислим ее сперва согласно классической термодинамике. Если р — давление газа, то количество теплоты, сообщаемое ему для увеличения его энергии на dE и его объема на dv, равно

dE + р dv.

Таким образом, имеем:

dS

dE + р dv Пусть п — число молекул, заключающихся в объеме v, R — газовая постоянная для грамм-молекулы и N — постоянная Авогадро.

Пример одноатомного идеального газа

25

Имеем

п ВТ р = — •

N v

Но с другой стороны, так как вся энергия газа есть сумма кинетических энергий поступательных движений различных его молекул — газ одноатомен — имеем:

Е = \пкТ = §„?т.

Легко видеть, что ^Е — полный дифференциал; выбирая должным образом постоянную интегрирования, получаем:

S = n^\og(vE~2). (2)

Эту формулу нужно теперь получить, исходя из теоремы Больцма-н а.

Сперва сделаем следующее замечание. Вычисление области многомерного пространства может быть значительно упрощено в тех случаях, когда координаты делятся на две или несколько групп таких, что пределы интегрирования для одной из этих групп независимы от значений, приписываемых координатам остальных групп. В этом случае величина области представляется как произведение некоторого числа интегралов, из которых каждый имеет отношение только к одной группе координат. Многомерное пространство распадается, так сказать, на некоторое число многомерных пространств низшего порядка.

Так, например, во многих случаях можно рассматривать отдельно протяженность конфигураций, т.е. координат Определим теперь объем протяженности моментов, соответствующий значению энергии, заключенному между Е и Е + dE. Если то — масса молекулы, то

Е= 2^(pf +р1+ ••• + Рзп)>

так как

1 -2 Pi

Итак, рассматриваемая область заключена между гиперсферой радиуса \1Ъп,Е и концентрической гиперсферой радиуса ^/2т(Е + dE). Чтобы вычислить эту величину, нужно вычислить объем гиперсферы радиуса

г = л/2тЕ

и дифференцировать выражение для этого объема по Е. Легко видеть1, что в пространстве $п измерений объем гиперсферы пропорционален Г3П. Таким образом, нужно дифференцировать выражение, со дерзи

жащее множитель (2тЕ) л . Итак, величина фазовой протяженности,

относящейся к моментам, будет пропорциональна Е 2 и можно написать, обозначая через С постоянную, не представляющую для нас интереса,

Зп_1

ndE = Cv1lE 2 dE.

Отсюда, согласно формуле Больцмана, отбрасывая постоянную, получаем:

з _ 1

S = njt\og(vE*~n). (3)

Так как п число чрезвычайно большое, то предыдущую формулу можно переписать и так:

з

S = n^\0?,[vE~2),

1См. примечание I в конце книги.

а это и есть выражение для энтропии термодинамической.

Замечание о нечувствительности формулы Больцмана

27

6. Замечание о «нечувствительности» формулы Больцмана. Предыдущие рассуждения дают нам повод сделать замечание,

к которому мы вернемся еще несколько раз в этих лекциях, а именно:

формула Больцмана обладает свойством, кажущимся на первый

взгляд несколько странным, которое может быть названо нечувствительностью по отношению к о

страница 8
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

Скачать книгу "Статистические теории в термодинамике" (1.47Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
кресло ch 848
Компания Ренессанс: раскладная лестница на чердак цена - продажа, доставка, монтаж.

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(29.04.2017)