химический каталог




Статистические теории в термодинамике

Автор Г.А.Лоренц

ким образом, получаем

v2 = ^с~2РЬ + -\e-2Pt(ePT - 1)2F*?e2rPr- (12)

Полагая пт = t, окончательно имеем точную формулу для F2:

F2 = v2P2-^- = v2P2(iD +1. (I)

(сРт - l)2 еРт - 1 W

Если мы через X обозначим импульс за время г, то, очевидно, можем положить (см. 3): и соответственно

Х2 = Т\,2Р2Т2 е2Рт - 1 = ГП2У2Р2Т2Е^±1^ (J/)

(еРт - I)2 еРт-1 V 7

Чтобы получить обычную формулу Эйнштейна, полагаем

Рт<1 (Ц)

(легко видеть, что РТ имеет размерность нуль). Тогда получаем:

Х2 = 2m2v2Pr = 2mv2sr. (Г)

Подставляя mv2 = kT7 получаем (1).

Таким образом, формула Эйнштейна получается из точной формулы (/') в предположении (Ц)2. Переходим к выводу выражения (2) для квадрата смешения. Из (5) имеем

T vr-xo = *р(1- E~PT) + je-PflDFJ JepeF{0) dO. (15)

о о

Изменим справа порядок интегрирования. Тогда получим

T T

х-х0 = ^(1- erPt) + j cpeF(0) dO J e-Pr>dT] (15')

о в

и, выполнив интегрирование по Г У.

х - х0 = ^(1 - e~pt) + 1 У epeF(E)(e-pe - e~pt) d6 (15")

или

T T

x-x0=^(l- e~Pt) + i j F(6) DE-^J epeF(6) dO. (IS")

II, наконец,

п-1

п-1

г=0

х - х0 = ^(1 - е-р<) + ? J> - <^(е^ - 1) ? FTf. (15"")

г=0

Образуем (х — ж0) и берем среднее по большому числу частиц, Пользуясь (9), (10), (11) и (J), получаем:

Р/,\2 е

,,2РТ 1

2 р2 е ~ 1

+ V P<

(еРт - I) IP

РТ

2РТ

If

(e2Pt - 1) т -pt,pT\ ePt - 1

с»)

или, после простых преобразований, окончательно:

\Р (ерт-1)2)

Л - *о) = f^~}^rt +^(l-e-pt)(±-T "2РТ

(П)

(16) есть точная формула для среднего квадрата смещения.

Введем теперь снова предположение, что Рт <С 1. Тогда после простых преобразований получаем:

А = (х - ж0) =

2v

Р L

*-1^]+^[Р* + 2т(1 .«-«)].

Последним членом можно пренебречь. Действительно, обычно мы имеем Р большое, а по предположению Рт <С 1, следовательно, т весьма мало. Отбрасывая последний член, получаем:

Д = (ж-ж()) = ^[*1-е

rt

(17)

Рассмотрим теперь два крайних случая. Положим сперва, что Pt^> 1. Тогда имеем:

и для достаточно большого Р получаем формулу Эйнштейна:

^ 2т

Положим, с другой стороны, что Рг мало. Тогда получим:

д2

2v2

Pt-\PH

1 fr

Л2. (1?)

Это есть вполне разумный результат, так как смещение за малый промежуток времени определяется начальным значением скорости v0:

A = v0t, А2 = v20t2, А2 = v2t2 = Л2. (20)

Еще раз подчеркнем, что выражения (I) и (IT) в предположениях (9) (Ю), (11) — выражения точные.

3. Пусть х — координата и v — скорость броуновской частицы (ради простоты рассматриваем одномерный случай; трехмерный не представляет никаких принципиальных трудностей). Для изменения этих величин за малое время т пишем:

Av = -Pvr + FT,

Ах = VT + |Fr2 ' ^ '

Если f(v, x, t) — плотность вероятности для фазы (v, х) во время t и ф(у — ч/, т) dv — верятность перехода от скорости v' к скорости v за промежуток времени т, то имеем:

f(v, х, t + r) = f(v(l + Рт), X - VT, t)(l + Рт) - f(v, X, t) +

+oo

+ J f(v', x - V 2 V т, t)if>(v - v', T) dv'.

(22)

—oo

Пусть Аид — чисто мнимые величины, положим:

Ф(Л, //, t) = JJ erXv-»xf(v, х, t) dv dx, (23)

— о©

+oo

?>(А,т) = JJ e-A"#'/, r) d,,h (24)

— oc

Для Ф мы получаем из (22) функциональное уравнение: Ф(А, //, t + r)= Ф(Л(1 - Рт) + /*т, //, t) - Ф(Л, ц, с) +

(25)

+ Ф(Л, /i, ?)Цд + ^,т)

или, ограничиваясь при разложении по степеням т линейными членами,

Ц + (РА-/0§|=х(А)Ф. (в«)

Здесь х(Л) = f тг~1 IY isr! равно нулю, что легко получается из V от / т=о L V о А / т=о

сингулярности ф для т = oj.

Интегрирование (26) дает для z = log#:

«= / ^ + F[(A-?)e-« + ?„],

(Л_|)е_Л+|

где F — произвольная функция. Обращение (23) дает:

+*оо

— IOC

Исходя из (28) и принимая во внимание (26), легко убеждаемся в том, что / удовлетворяет обобщенному уравнению Эйнштейна-Фок к е р а:

4. Функции распределения для скоростей и для координат получаются из f(v, х, t) интегрированием:

+оо

+ОО

fi(v, t)= J f(v, х, t) dx, f2(x, t) = j f(v, x, t) dv. (30)ooOO

Из (28) они получаются, если положить ц (или Л) равным нулю и опустить множитель и соответствующее интегрирование [что

+ОО _ -,

следует из известного представления функции 6: f ег^г' d? = 2тг6(п)\.

— ОО

/K ж't]=Можно также без труда внести в (28) вместо произвольной функции F начальное значение f(v, х, 0):

(2ТГГ)

{(A - j,)'~P' + ?}«-/"/]/(«, У, 0) (U D/J DU DJ/,

где пределы интегрирования по А и /х равны ±гос, по и и по у равны ±оо, ехр ? обозначает и знак J стоит вместо интеграла формулы (27). 5. Для Л = 0 (27) имеет вид:

log$

,.=О

О

/ ХИНА Г/I Pt j

(32)

log#

л

.-/

PA

+ F(Ae-pt, 0).

(33)

Xe-Pt

Из (32) и (55) следует для таких времен t, что можно пренебречь членами, имеющими множитель e~Pt:

— ф| = 0 at \fj,=o

А=0

Ф

!А=0

(35)

т. е. для рассматриваемых времен уже установилось предельное ос) распределение для скоростей и, с другой стороны, для коо

страница 51
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

Скачать книгу "Статистические теории в термодинамике" (1.47Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
услуга склада временного хранения
ningaloo sparkling violet gelflex на темных глазах
набор столовых приборов на 12 персон недорого
стандартная длина парковой скамьи

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(03.12.2016)