химический каталог




Статистические теории в термодинамике

Автор Г.А.Лоренц

быть при обоих наблюдениях, наконец, Pi — вероятность не быть при первом наблюдении и появиться при втором. Запишем все это так:

(+-)Р; (-+№; (-)?; (++№; (—)QI.

Так как (+) при втором наблюдении появляется в двух случаях (++) и (—+), то имеем:

P = pQ + qPiВероятность, что из п частиц в объеме щ при следующем наблюдении г частиц уже не будут в VI, но придут туда j новых частиц, очевидно, равна

Г! (П - Г)! У. (N — П — J)\

AN = J - i,

где N — общее число частиц. Чтобы вычислить величины

Д| = (j т. е. средний «приход» при начальном «наполнении» п и средний квадрат ЭТОГО «прихода», замечаем, что

п N—n i=0 J=0

т. е. единица, как сумма всех вероятностей. Однако мы пока не положим справа Р + Q = I, Pi + Qi =1,а возьмем производную по Р\ от обеих частей и результат умножим на Pi. Тогда слева получим:

а справа

(N -n)(P + Q)N(Pi + Qi)N-n~lPu

что равно [Р + Q = 1, Pi + QI = 1] (iV — и)Pi. Применяя затем операцию Р^р, получим г, а именно:

г = пР.

Таким образом, имеем:

j -i=(N - n)Pt - пР.

Полагая Q = Pi = р, Р = Qi = g, получим частный случай, который рассматривается в тексте, — отсутствие «последействия». Здесь имеем:

j — г = (N — п)р — nq = Np — п.

Применяя еще раз операции Pi-^r и Р-^г, легко получить выраoPi оР

жение для (см. статью редактора ZSCHR. ? Phys. 13,1923,203). Флук-туациям посвящена монография R. F II Г T H' a, SCHWANKUNGSERSCHEIMIN-gen in der Physik; см. также главу XIX книги Ф о у л е р а.

5. К примечанию V. К п. Т. Доказательство, данное здесь для формулы

требует пояснения. Дадим его, пользуясь обозначениями Лоренца. Так как

.Ti + ... + ?„= О,

то введем новые прямоугольные координаты, такие, что п—1 координат

лежат в «плоскости» ^ хг = 0 и последняя координата перпендикулярна к ней. Направляющие косинусы этого перпендикуляра, очевидно, равны друг другу и равны

Таким образом, для последней координаты — назовем ее и — имеем:

и = -^=(хЛ + ... + хп).

Для ? = + .. • + х2г получаем, так как преобразование ортогональное,

где через ?' обозначена сумма квадратов остальных новых координат. Для нового элемента объема имеем, соответственно, du dX'. Величина Q определена так:

fxje-^dX

О = - -

4 Je~^dX '

Для знаменателя имеем:

+ ОС

j еГА( dX = j e-#? dX' j e"A"2 ** = J\j dX'.

—OO

Если взять производную от J е~А^ по А, то получим/e-^«=/e-^+--.)«+...+^,*1...^.

Ввиду полной симметрии по ж, заключаем, что числитель Q равен

Id feAedx

га a A J

или равен

f Е"*' dX' - Ml4l f dX';

J V/ A n a A J

таким образом, Q равно

Q = -J: I- 1 -

2An nfe-At'dXf'

Так как

J e-At'?dX' = n J e-^'xfdX',

то получаем

Q = x\+ 1

2Ara'

Чтобы в этой последней формуле обосновать замену х[2 на х\, вспомним, что все х2 друг другу равны и что

X~\~... ~\~ х2^ — и2 ~\~ Х-^ ~\~... ~\~ ху2.

Но

«2 = 1(ЕЖ"+2ЕЖ^)'

где последняя сумма взята для г > s. Среднее от хгхв равно нулю, если г ф s. Таким образом, имеем

пх\ = |Ж? + (га - 1)х';<

(все х'2 также равны друг другу) и, следовательно,

_ FYJ 2

6. О броуновском движении. Поставим себе целью вынести две основные формулы теории броуновского движения элементарно, но более тщательно, чем это обычно делается. Вот эти две формулы:

X2 = 2кТнт, (1)

2kTt

Д2 = **±±ш (2)

Здесь к — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура, 8 — коэффициент в силе сопротивления среды, равной — sv, где v — скорость, X2 обозначает средний квадрат импульса, сообщенного частице беспорядочными ударами молекул окружающей среды за время т; А2 есть средний квадрат смещения частицы за время t\ под импульсом и смещением подразумеваются таковые, взятые для некоторого направления. Как известно, формулы эти справедливы и в более общем смысле — для любой обобщенной координаты q и соответствующего ей обобщенного импульса, если q удовлетворяет уравнению типа (4).

1. Обозначим з, деленное на массу частицы, через Р и силу, происходящую от ударов окружающих молекул и остающуюся за выделением силы сопротивления — sv, деленную на массу частицы, через F:

ТУ 8 ТР _ СИЛа / О\

Уравнение движения частицы для некоторого направления гласит:

v = -Pv + F. Ц)

Для v имеем:

v = vг

J epeF(0) dO: (5)

о

здесь VQ — значение скорости v в начальный момент t = 0.

Разбиваем промежуток (0, t) на п промежутков длины т. Пользуясь теоремой о среднем значении, можем переписать интеграл так:

* п_! (г+1)т

/ = ?>Kr) / eP0dO. (6)

Здесь

rrОбозначим F(?r) через Fr; выполняя интегрирование, получаем

п-1 (Г+1)Рт _ гРт

{, = {,OE-FT + e-"^FreV,"-p-e-- (в)

Г=0

или

» = V-p' + e-p'(ep'-l)fF,^. (в')

Образуем теперь г;2 и берем среднее от него для большого числа частиц. Обозначая среднее чертой над буквами, имеем

v0Fr = О, /'V /'"„ = 0, (9)

^=1$, (10)

F2 = F2 (И)

(9) следует из независимости величин v0, Fr, Fs друг от друга, (10) следует из стационарности для большого числа частиц, (11) — наиболее естественное предположение. Та

страница 50
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

Скачать книгу "Статистические теории в термодинамике" (1.47Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
бремя доказывания обьмана
дачные поселки с домами на карте
Чайники Из нержавеющей стали в москве
снять машину на ночь

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(07.12.2016)