химический каталог




Статистические теории в термодинамике

Автор Г.А.Лоренц

ему волн S и будем комбинировать ее со всеми системами S', содержащимися в промежутке du'dn'. Тогда получим:

b2R2 ? ft? = ±b2f(n')R2 dw dn'.

Чтобы проинтегрировать затем это выражение по du' dn!, заметим, что в пространстве (?, г/, С)Цг = г' расстояние от начала координат до изображающей точки М', и что, следовательно, r'2dw'dr' =

= —duo' dn' — элемент объема в этом пространстве. Таким обрас, з f(n)

зом, можно заменить du' dn' на -^-rdg drf dQ'. Напишем еще —— вмес/(«') "

то , что можно сделать, так как все системы b , влияющие заметным образом на результат, имеют частоту, почти равную частоте системы S, наконец, введем значение R. Тогда получим

га

так как интегралы имеют соответственно значения Щ^-.

j Ь h

7. Остается распространить этот результат на все системы волн S.

Согласно формуле (59) находим сперва

4^/(«)^Z(*w = ^t/(»)}'*.-^,

а затем

Второй член формулы (58) имеет то же значение; таким образом, как окончательный результат, получаем:

е2 =

ж2г f ^{f(n)}2dn.fgh,

J га

Совершенно так же, как средняя энергия, для которой можем написать:

Е = J f(n) dn • fgh,

средний квадрат отклонений слагается из бесконечного числа частей, относящихся каждая к соответствующему промежутку dn. Если теперь под Е и е2 будем понимать только те части, которые соответствуют одному из промежутков dn, то получим:

Е = j /(в) dn • fgh,

? = т2 г \ = {f(n)}2dn-fgh,

откуда выводим искомое соотношение

8ТГ/У2 dv V '

Для этого достаточно заменить fgh на V, га на 2т/ и dn на 2n dv.

ДОПОЛНЕНИЯ РЕДАКТОРА

1. О «нечувствительности» формулы Больцмана.

Пусть объем фазовой протяженности между «поверхностями» энергии Е и Е + dE будет П dE. Пусть далее объем, внутри «поверхности» Е, т. е.

Е

j ПАЕ,

равен V. Будем также далее рассматривать функцию

п, = an d2v

дЕ дЕ2'

Составим функцию

оо

/(Л) = j e~XEndE. о

Полагая И равным нулю в промежутке (—ос, 0), можем переписать это и так:

+оо

/(А) = J (ГХЕП dE.

— оо

Отсюда имеем1:

а+гоо

п = ^н / eXEfW dA' = const > °)а—«оо

Переписываем формулу, определяющую /(Л), так:

ДА) = j dV,

О

откуда

оо

ДА)

ОО

О

e~XEV + Л j e~XEVdE.

оо О

Полагаем F(0) = 0 и вещественную часть Л положительной, тогда

e~XEV = 0.

Следовательно,

оо

еГХЕУ dE =

ДА)

а отсюда

а+гос/(A)dA.

V ~ 2ш / е А

а—гоо

Наконец, переписываем формулу для /(Л) так:

оо

1/»

de

— ХЕ

ДА),

откуда

оо

оо

?~ХЕП(Е) + J еГХЕП\1Е = АДА).

IOO

еГХЕП = 0;

следовательно,

оо

j <ГХЕП'

dE = А/(А),

а отсюда

в+«оо

a—toe

Предположим теперь, что наша система состоит из п одинаковых подсистем, назовем их частицами. Тогда легко показать, что /(А) представляется так:

ДА) = [/О(А)П

где /о (А) относится к одной частице. Действительно, в нашем случае имеем:

Е = ?\ + . . . + еп,

причем все зависят — в силу одинаковости частиц — одинаково от своих переменных, дающих фазу частицы. Элемент фазовой протяженности dT, также распадается на произведение п множителей dT,{, относящихся к 1-й, 2-й, ... частицам. Итак,

/(А) = J ••• J e"A^+-+^) d^...dEn, или, так как частицы одинаковы,

/(А)= (У е"Л^ dSi)" = [/„(А)]".

Таким образом, имеем:

П=ш1 ЕАЕ[/О(А)]"^А,

n' = 1tlj EAEA[/O(A)]"^A,

где все интегралы берутся от а — «со до а + «со (а > 0). Если п и Е велики, а этим случаем и интересуется статистическая механика, то для приближенного вычисления интегралов можно применить так называемый способ перевала (крутейшего спуска английских авторов) .

Для этого замечаем, что подынтегральное выражение в интеграле для П имеет вид:

ATF+NLOG/0(A) _ ™[*F+LOG/0(A)] _ nx{Xj

TP

если через х(А) обозначить выражение АЦ + log /о(А). Функция %(А) на вещественной оси ведет себя следующим образом: для А —>• 0 и А —» оо х(А) стремится к бесконечности; между этими значениями лежит минимум, и притом один, в точке, определяемой из уравнения;

хЧЛ) = ? + |

(А)

0.

Пусть эта точка есть А = Л. В силу основных свойств функций комплексного переменного модуль подынтегральной функции будет чрезвычайно быстро убывать (п и Е велики) при удалении от точки Л вдоль нашего пути ингегрирования. Поэтому медленно меняющиеся части

подынтегрального выражения можно вынести из-под знака интеграла, положив в них А = Л.

Таким образом, имеем:

П . Je^fidX ту'

— = Л и т.д.

Отсюда следует, что

log П — log V = log Л, log П' - log П = log Л.

Но для больших п и Е таким членом, как log Л, следует пренебречь и мы имеем

/с log Я = felogF = A; log Я'.

Если одна из этих величин годится как энтропия, то и остальные величины будут также годиться.

Положим теперь, что энергия системы зависит от некоторого параметра а, и рассмотрим величину

Ш да

ш J ^

при постоянном Е. От а в интеграле для Я будет зависеть функция /о? поэтому

да 2wi J " "'J{} да ^

дП if ля RN-I ЭД>

j eXEfS

или

дП _ n f ХЕ fndlogf0

да 2wi J и да

или — для больших ii и Е:

dX

да

страница 46
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

Скачать книгу "Статистические теории в термодинамике" (1.47Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
сигналы на автомобиль
линзы для глаз ultra flex next купить
Boccia The 3000 Watch Series 3208-01
железные шкафы для хранения одежды

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(08.12.2016)