химический каталог




Статистические теории в термодинамике

Автор Г.А.Лоренц

ства X и Y, соответствующие группам координат х\, ... , хп и ух, ... , уп. Если в этих протяженностях принять во внимание соответственно первое и второе из условий (14), то они приводятся к двум протяженностям X' и У, имеющим каждая п — 1 измерений; их совокупность образует пространство О'.

Приняв такие обозначения, получаем

— JVe к dX'dY1

s2 —

Je к dX'dY'

или же_ Js2e-iM'+B^dX'dY'

если положить

f dv = A, ^ dv = B, (15)

К К

xl + • • * + xl = & Vi + • • * + vl = VВ интегралах мы написали ?' и г/, дабы напомнить о том, что дело идет о значениях ? и я в точке пространства О'.

6. Легко видеть, что каждому элементу dX' протяженности X' соответствует другой равной величины, для которого координаты х\, ... , хп имеют те же значения с противоположными знаками (такое изменение знаков не противоречит первому из условий (Ц))- Отсюда следует, что Щуг = 0 и, следовательно,

2 - а2х2 + Ь2у1 (16)

Нам нужно, таким образом, вычислить только средние значения х\ и у\, из которых первое дано выражением

Xl~ Je-W-BI'Ux'dY' '

Значок при х[ снова показывает, что нужно брать значение в точке пространства О'.

Чтобы вычислить действительно нашу величину, мы заметим, во-первых, что каждый из интегралов распадается на два множителя, в которых интегрирование относится к X' или к и что один из этих множителей входит как в числитель, так и в знаменатель. Это нам дает

fx'Se-^dX'

х\ = . (17)

j еГм dX'

Во-вторых, мы покажем, что вычисление этого выражения сводится к вычислению аналогичного выражения

fx2c-M'dX

в котором интегрирование распространено на неприведенную область X.

7. Вот как это можно доказать. Вместо координат х\, ... , хП1

определяющих понижение точки в протяженности X, можем ввести п — 1 координату, относящихся к протяженности X', и координату д, не содержащуюся в X'. Выбираем q так, чтобы перемещение в ее

направлении производило равные изменения всех х\, ... , ж„, и чтобы значение q было

п

Х\ ~~\- . . . -\- Xfi

<1 =

Таким образом, протяженность X' характеризуется условием q = 0.

Пусть Р — какая-либо точка пространства X и Р' — соответствующая точка в X', причем прямая Р'Р дает координату точки Р. Если ал, ... , ж„, ? относятся к Р и х\, ... , ж^, ?' — к Р', то имеем:

хг = х[ + д, ... , Хп = х'п + g и, так как ж'х + ... + х'п = 0,

В интегралах формулы (18) можно заменить (IX на dX' dq; тогда находим, произведя интегрирование по q, для знаменателя

+оо

J e~Ai' dX' j e~An"' dq = J e~Ai' dX',

—oo

и для числителя

+oo

Jx[2<-M' dX' J e~An(j2 dq +

—oo

+oo

+ J e-M'dX' J (2x[q + q2)e-Anq2dq =

— oo

f e'^'x'2 dl'+^/f / e~M' dX'

J 2 An у An J

Беря отношение и пользуясь формулой (17), получаем:

Q — хг + . , хг — Q

2 An 1 ^ 2 An

8. Нам остается вычислить значение (18), что не представляет никаких затруднений. Здесь можно заменить ? на ж2 + ... + ж2, rfX — на DX± ... dxn. Каждый из двух интегралов распадается на п множителей, из которых п — 1 совпадают в обоих интегралах. Окончательно имеем:

Q =

+00 2 ,

J XFERAXIDXI

—00 Х

00

Х2 =

1 2А 2АП

или, так как п очень велико,

2 1 .

также имеем:

2D

и по формулам (16) и (15):

S2

2 V А 5/ 2dv V a ft)'

9. Чтобы уяснить себе значение этого результата, вспомним сперва, что изменение плотности и энергии, отсчитываемые от равновесного состояния, происходящие в элементе объема dv (мы можем теперь отбросить значок 1), мы полагали сперва зависящими от 8 и е, а затем от х и у. Функция/ = -(ах2 + /ЗУ2)

есть то, что может быть названо «квадратичной вариацией» энтропии, отнесенной к единице объема; я хочу сказать, что при разложении функции, представляющей энтропию, по восходящим степеням S и е или же х и у, -/ есть квадратичная часть этого разложения. Если мы хотим, чтобы эта квадратичная вариация имела определенное отрицательное значение, например, — А, то мы должны положить

ах2 + fty2 = А; (19)

уравнение это есть эллипс, если х и у принять за координаты точки.

С другой стороны, величина

8 = (IX + Ьу

(20)

есть изменение рассматриваемой физической величины, происходящее от изменения ж, у. Ясно, что для всех точек прямой

АХ + by — const

это изменение s имеет одно и то же значение, и что значение это возрастает по мере того, как эта прямая удаляется на большее расстояние от прямой

АХ + by = 0.

(21)

После этих замечаний легко найти точки эллипса (19), для которых абсолютное значение в — максимум. Это те точки, в которых касательная параллельна прямой (21).

Координаты этих точек получаются из условия:

АХ : ft у = А : b

совместно с уравнением (19). Получаем:

Х = —

У

Ь

А

ft

\

А

ft

и для максимума S:

Я

ах +

а это нам дает для s2 следующую формулу:

Итак, можно сказать: чтобы вычислить средний квадрат флуктуации какой-либо физической величины о>, нужно рассмотреть все состояния системы, для которых квадратичная вариация энтропии имеет заданную величину —А, и найти среди этих состояний то, для которого изме

страница 35
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

Скачать книгу "Статистические теории в термодинамике" (1.47Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
кровать 160 200
pxm20 цена
рекламные кнструкции из тонкого металла из изготовим
гастроли ансамбля березка в 2017 году в москве

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(18.01.2017)