химический каталог




Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций

Автор П.Гленсдорф, И.Пригожин

тойчивый предельный цикл Устойчивый фокус ^

^ Неустойчивый фокус

Мы провели численное исследование нашей модели [109]. Его результаты находятся в полном соответствии с теоретическими предсказаниями.

На рис. 14.4 изображены на фазовой плоскости X, Y траектории, полученные численным интегрированием кинетических уравнений при различных начальных условиях, соответствующих значениям А = 1, В = 3. Можно видеть, как, начиная со стационарной точки, система асимптотически приближается к замкнутой орбите (предельному циклу) на плоскости X, Y. Таким образом, через

3

С i i i i I

0 1 2 3 4 Y

большой промежуток времени X(t) и Y(r) испытывают периодические незатухающие колебания Характеристики этих колебаний, в том числе и частота, не зависят от начальных условий. Действительно, из каких бы состояний (X = Y = 0; X=Y=l; X = 10, Y — 0; X = 1, Y — 3) не начиналось движение, через достаточно большой промежуток времени система всегда приближается к одной и той же замкнутой траектории. Интересно отметить, что для использованных нами значений А и В приближение к предельному циклу происходит очень быстро. Общая тенденция при этом такова,

~ \

v \s N.

f iiii

Рис. 14.4, Траектории, полученные численным интегрированием для 1) Х = Y= 0; 2) X = Y= 1; 3) Х = 10, Y = 0; 4) X = 1, Y = 3.

что чем дальше параметры системы находятся от области их устойчивых значений, тем быстрее система приближается к предельному циклу. Можно также доказать, что система имеет единственный предельный никл, устойчивый по отношению к малым возмущениям [109].

С термодинамической точки зрения предельные циклы имеют огромное теоретическое значение из-за своей «эргодичности»: от какого бы состояния ни началось движение, конечным состоянием будет всегда одна и та же периодическая траектория. В этом смысле имеется аналогия с эргодическими процессами в статистической механике, когда система, независимо от начального условия, переходит в равновесное состояние ).

14.7. Сравнение модели Лотка—Вольтерра с моделью, имеющей предельный цикл

Существенная разница между моделью Лотка — Вольтерра (разд. 14.2 и 14.3) и аутокаталитической схемой (разд. 14.4—14.6) состоит в следующем. В модели Лотка — Вольтерра имеется бесконечное множество периодических движений вокруг стационарного состояния (см. рис. 9.3). Стационарное состояние в таком случае является «центром». Траектории определяются значением инварианта (14.30), аналогичного гамильтониану. Для аутокаталитической схемы в состоянии нейтральной устойчивости ситуация аналогична. Действительно, используя (14.66), можно показать, что в этом случае также имеется инвариант типа гамильтониана

V = (1 + А2) + А2 + А2ху > 0, (14.88)

(х = 6Х, y = 6Y)

записанный для произвольных возмущений. Значения V определяют семейство траекторий. Далее, согласно (9.55), в предельном состоянии имеем

dtblS = bmP = 0. * (14.89)

Следовательно, 6mS также является «термодиначеским инвариантом» движения. Используя определение (2.75), получим

62mS — — k2Х + 1(Г+Ж]<0- (14-90)

Однако выше предельной точки имеется только один предельный цикл, а следовательно, не может существовать никакого инварианта V(x, у) типа (14.88). Если бы такой инвариант существовал, его значение на траектории зависело бы от начальных условий и движение было бы несовместимо с существованием единственного предельного цикла. Различие в этих двух типах поведения хорошо иллюстрируется на аутокорреляционной функции концентраций [109], которая определяется соотношением

1

С{Т)8=Ш(ХЙХ(/ + Т)>; с(°)~1- (14.91)

Здесь ломанные скобки означают усреднение по ансамблю начальных условий, а черта — усреднение по времени:

г

Лефевр и Николис [109] детально исследовали «спектральную функцию»

оо

G (со) = | с (т) cos COT dx. (14.93)

о

Для случая с предельным циклом при достаточном удалении от точки неустойчивости эти авторы нашли, что частоты группируются в узком интервале около основной частоты. В модели Лотка — Вольтерра, напротив, имеется большой разброс частот. Таким образом, эта модель, по-видимому, адекватна, скорее, «шуму», чем ярко выраженной временной структуре.

14.8. Флуктуации

В гл. 8 мы рассмотрели взаимосвязь между теорией устойчивости и теорией флуктуации. Интересно выяснить, как условие (8.1), отражающее тот факт, что стационарное состояние «более вероятно», чем возмущенное состояние, может быть согласовано с ростом флуктуации в системе с неустойчивостью (разд. 8.4).

Флуктуации в неустойчивых системах мало изучены. Однако для модели Лотка — Вольтерра получены интересные результаты. Мы уже знаем, что эта модель по своим свойствам близка к свойствам системы в остоянии нейтральной устойчивости. С этой точки зрения изучение флуктуации в такой модели представляет большой интерес.

Метод исследования аналогичен методу, примененному в гл. 8. Для приведенной производящей функции моментов (8.19) может быть получено уравнение в частных производных. Из него после некоторых преобразований имее

страница 78
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

Скачать книгу "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций" (3.09Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
mkadburgring
клапан dn 100 баттерфляй фланцевый антифриз
50 лет deep purple купить билеты
http://www.kinash.ru/etrade/goods/4391/city/Cheliabinsk.html

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(16.12.2017)