химический каталог




Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций

Автор П.Гленсдорф, И.Пригожин

аны между собой линеаризованными кинетическими уравнениями; в предельном состоянии (сог = 0) эти уравнения можно записать как

(1 - В) 6ХГ — toi 6Xj — A2 6Yr = 0, (14.70)

(1 - В) 6Х,- — A2 6Y,- + с* 6Xr = 0, (14.71)

В 6Xr -f A2 6Yr — a>i 6Yi = 0, (14.72)

В 6Xi + 6Yr + A2 6Yi = 0. (14.73)

Из этих уравнений для В = Вс

6Yi = ©16Yr, 6Xi = — (Di6Yr, 6Xr = 0. (14.74)

Подставим полученные величины в (14.69):

«W%=Bc = -rq^r (А2 - ш2) (6Yr)2. (14.75)

Отсюда как следствие условия предельной устойчивости получаем ©j = ±А; этот результат находится в соответствии с выводами из дисперсионного уравнения (14.63). Кроме того, мы видим, что т должно быть всегда отлично от нуля (сверхустойчивость — over-stability) . В то же время для 6тП имеем соотношение

6,ЛП = — 4 [6Xr 6Y; — 6Xi 6Yr], (14.76)

которое с помощью (14.74) сводится к отрицательно определенному выражению

Ш1бтГ1 = — 4©? (6Yr)2 < 0. (14.77)

Таким образом, мы убеждаемся в том, что направление вращения определяется знаком 6тТ1, как и требует уравнение (14.2).

14.5. Временное поведение выше предельной точки

Некоторое представление о поведении модели, изучавшейся в разд. 14.4, можно получить, используя теорию нелинейных колебаний, принадлежащую Пуанкаре (см., например, [122]). Прежде всего преобразуем систему уравнений (14.61), (14.62) в одно уравнение второго порядка относительно переменной X. Для этого продифференцируем обе части уравнения (14.61) и исключим из него Y и dY/dt, используя исходные уравнения [109]. Кроме того, сделаем подстановку:

X(t)=A+x(t). (14.78)

Тогда для x(t) получим следующее уравнение:

?Ж + ТТХ [*3 +?3A*2 + (ЗД2 - В - 1) х +

+ A(A2-B+l)-2-^-]^- + x(x4-A)2-=0. (14.79)

Это нелинейное уравнение упрощается, если ввести новую неизвестную переменную |:

*--ТТАТ' ^>_"^; (14-80)

тогда

|l + [TA|fTF + 2A^-B+1]l + T^F = 0- <14'81>

Уравнение (14.81) принадлежит к типу нелинейных уравнений

йЧ +/(2)4r + g(z) = 0, (14.82)

dt2 1 ' v ' dt

которые изучал Льенар [112] (см. также работу [122]). Для таких уравнений существует теорема Левинсона — Смита [122], формулирующая условие, при котором уравнение Льенара имеет по крайней мере одно периодическое решение. Одним из условий является неравенство /(0) <С 0. Для нашего случая (14.81)

f (0) == А2 — В + 1 < 0. (14.83)

Таким образом, выше предельной точки (14.66) это условие выполнено.

ах 1 dY

где wY — dX/dt, wY — dY/dt

Дополнительная важная информация о локализации рассмотренного решения проистекает из так называемого негативного критерия Бендиксона (см. [122], гл. 3). Эта теорема утверждает, что любое периодическое решение должно пересекать кривую

*+-f = 0, (14.84)

'X «-'v«-f

Для системы (14.61), (14.62) кривая имеет вид

она подходит достаточно близко к стационарной точке (14.64). лишь тогда, когда значение В достаточно мало отличается от критического (14.66). Действительно, легко проверить, что сумма корней дисперсионного уравнения равна

^ + Ш2 = + ~dY ' (14'86)

где к>1 и «2 — частоты нормальных мод, а индекс «0» в правой части означает, что производные вычислены в стационарной точке. В предельном состоянии

©^©2 = 0, (14.87)

откуда следует, что <ог = 0. Но это значит, что кривая (14.85) про-, ходит через стационарную точку. Если же В > Вс, кривая (14.85)проходит от стационарной точки на конечном расстоянии. Таким образом, только в точке нейтральной устойчивости периодическое решение находится в окрестности стационарной точки, и при этом в окрестности стационарного состояния имеется бесконечное множество периодических траекторий. Этот результат является общим для всех моделей, содержащих две переменные (X, Y) и имеющих точку «сверхустойчивости». Как следует из (14.86) и (14.87), стационарная точка лежит на кривой div ш = 0. Выше состояния предельной устойчивости эта кривая и, следовательно, периодическое решение проходят на конечном расстоянии от стационарной точки.

14.6. Предельный цикл

Теория нелинейных колебаний содержит важную информацию о периодических решениях, возникающих за пределом устойчивости стационарного состояния.

Если точка неустойчивости еще не достигнута, то стационарное состояние устойчиво и частоты нормальных мод комплексны (этот случай схематически изображен на рис. 9.2). По общепринятой терминологии, мы имеем дело с устойчивым «фокусом». Выше предельной точки стационарное состояние неустойчиво и возникает стационарный периодический процесс, называемый предельным циклом. В этом случае система из любого состояния приближается со временем к такому периодическому решению, характеристики которого — период и амплитуда — определяются однозначно самим нелинейным дифференциальным уравнением ).

Для рассмотренных здесь химических примеров характеристики периодических процессов однозначно определяются кинетическими константами и концентрациями начальных и конечных продуктов. Нейтральной устойчивости (см. выше) соответствует так называемая точка бифуркации, в которой происходит расщепление:

я Ус

страница 77
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

Скачать книгу "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций" (3.09Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
проэктор и экран в аренду
Компания Ренессанс деревянные лестницы готовые - продажа, доставка, монтаж.
офисное кресло престиж
боксы для хранения вещей самые дешевые

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(10.12.2016)