химический каталог




Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций

Автор П.Гленсдорф, И.Пригожин

нарного состояния (14.2) на конечное расстояние, такж,е являются периодическими. На фазовой плоскости X, Y стационарное состояние окружено бесконечным множеством замкнутых кривых, непрерывно переходящих друг в друга. В этом нетрудно убедиться, если исключить время из параметрических уравнений (14.10) и (14.11). Тогда по

(14.29)

dX X(Y-I)

(kt = U i=l 2, 3; A = l) После его интегрирования имеем

X + Y-lnX-lnY = 7C (14.30)

или

X~Iex-=CYe"Y, С = ек, (14.31)

где К — произвольная постоянная, определяемая начальными условиями. Трансцендентное уравнение (14.30) (см. статью Дэвиса [34]) определяет однопараметрическое семейство замкнутых кривых (каждому значению К соответствует одна кривая). Из уравнений (14.10) — (14.11) получаем также, что

(X - 1) - (Y - 1)^ = (X - I)2 Y + (Y - I)2 X. (14.32)

Если ввести полярные координаты р и а

X=l + pcosa, Y=l-fpsina, (14.33)

то^г = (1 + pcosa) sin2 a -f- (1 + P sin a) cos2 a. (14.34) Из этого уравнения находим период вращения для одного цикла

Т= Г тт-т , . , lan ,———. (14.35)

J (1 + р cos a) sin2 a -f- (1 + p sin a) cos2 a x '

Таким образом, в системах типа Лотка -г- Вольтерра имеется непрерывный спектр частот вращения по бесконечному множеству циклов, каждый из которых реализуется при подходящих начальных условиях (см разд. 14.5 и 14.7). Каждый цикл является состоянием на границе устойчивости, т. е. таким состоянием, для которого даже малого возмущения достаточно для изменения движения системы — движения по новому циклу с соответствующей частотой. Иначе говоря, в системах типа Лотка — Вольтерра нет механизма, обеспечивающего распад флуктуации, следовательно, нет и никакой средней орбиты, в окрестности которой могла бы находиться система. Эта ситуация иллюстрируется рис. 14.2 на плоскости X, Y.

Мы видим, что чем ближе к началу координат подходят точки кривой, тем дальше от него уходят противоположные им точки той же кривой. Малая флуктуация, возникшая, когда система находилась в окрестности начала координат, порождает огромное отклонение, когда система уходит вдоль кривой из окрестности начала

координат. По-видимому, одновременное измерение частот и амплитуд таких колебаний не может дать воспроизводимых результатов ). К этому вопросу мы еще вернемся в разд. 14.6.

К=2,63Б

Следует отметить, что средние концентрации имеют одно и то же значение, независимо от того, вдоль какой траектории они вы0,2 0,5 1 1,5 2 2,5

Рис. 14.2. Необратимые орбиты в плоскости X, Y для различных значений интеграла движения f(; S — стационарное состояние.

числяются. Чтобы убедиться в этом, запишем уравнение (14.10) в следующем виде (k = 1):

~~=A-Y; (14.36)

проведем усреднение по произвольному циклу с периодом ТH^Sr- -0-A-±jY .

(14.37)

о о

Отсюда с учетом (14.12) при условии, что kt = 1, имеем

т

(Y)t=-y f Y(0* V

о

и аналогично

(Х)Г = 1=Х0. (14.38)

Таким образом, средние концентрации X и Y вдоль любого цикла равны значениям (14.12), соответствующим стационарному состоянию^ Отсюда следует также, что среднее производство энтропии за период равно производству энтропии в стационарном состоянии. Чтобы убедиться в этом, вычислим средние значения величины

о = АХ In А + XY In х + Y In ]L = АХ In А - Y In E +

+ (XY — AX) In X + (Y - XY) In Y (14.39)

в стационарном состоянии ao и за период (а) г- Используя соотношение (14.38), получим из (14.10) и (14.11) )

Йг == (а)г - а0 = - In X + In Y)T . (14.40)

Проинтегрируем (14.40) по частям:

(А-о)т = -(±(XInX + YInY))r + + 4f)r =0. (14.41)

Обсудив свойства временных средних, остановимся на интеграле движения К (14.30), для которого имеет место уравнение

4f = 0. (14.42)

Введем теперь скорости «гх и wy [СМ. (14.10), (14.11), и (14.30)]:

d In X дК

dT-^-ТыТ •

.. d In Y _ дК /Ы4оч

Эти уравнения напоминают уравнения Гамильтона в классической динамике (см., например, [93—95]), а функция К(ХУ Y)—интеграл движения, аналогичный энергии в механике; он играет роль гамильтониана.

Существование такого инварианта, который удовлетворяет условиям существования

д2К д2К дХ dY dY дХ

или

ди/у dwv

1к+ит=0-

является одним из самых замечательных свойств модели Лотка — Вольтерра.

Согласно (14.19), 62S также является интегралом движения. Это значит, что б25 и К не могут быть функционально независимыми; иначе мы могли бы определить из двух уравнений значения X и Y, и движение стало бы невозможным. Вблизи стационарного состояния путем разложения (14.30) вплоть до членов второго порядка и с учетом (14.12) получим

к ^ *2 + У2 = _ б25 > 0> (14.45)

Это соотношение дает простую термодинамическую интерпретацию К.

14.4. Химическая неустойчивость

Как было показано на примере модели Лотка — Вольтерра, предельная точка нейтральной устойчивости достигается при стремящемся к бесконечности значении полного химического сродства (14.18), Теперь изучим случай неустойчивости, когда производств

страница 75
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

Скачать книгу "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций" (3.09Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
рудн курсы автокада
ярославское шоссе, д. 2е
кастрюля дуршлаг
моноколесо внедорожное

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(05.12.2016)