химический каталог




Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций

Автор П.Гленсдорф, И.Пригожин

одически и система возвращается к стационарному состоянию.

б) Стационарное состояние, далекое от равновесия. Если в схеме (14.4) обратными реакциями можно пренебречь (й_* = 0, i — 1, 2, 3), полное сродство (14.5) [см. (3.51)] стремится к бесконечности. Этому случаю соответствуют следующие кинетические уравнения:

dX

dt

dt dY

ki АХ-&2 XY,

= k2 XY-/e3 Y;

(14.10)

(14.11)

они дают единственное неисчезающее стационарное решение

Эта схема совпадает с моделью, впервые введенной Лотка [115] и Вольтерра [193] для описания взаимоотношения хищник — жертва. Системы, подобные (14.10) и (14.11), мы будем называть моделями Лотка — Вольтерра. Недавно они нашли применение в таких фундаментальных биологических проблемах, как проблема биологических часов [12, 13] и временные свойства нейронных сетей [33].

Начнем изучение устойчивости решения (14.12) с анализа нормальных мод. В окрестности этого решения Х(/) и Y(t) можно записать в виде

X(t) = X0+xe0>t> Y(0 = Y0 + ye^ (14.13)

при условии, что

?1<* и

_У_ Y0

<1. (14.14)

Подставив (14.13) в уравнения (14.10) и (14.11) и пренебрегая членами высших порядков по возмущениям, получим систему линеаризированных уравнений

cudX-r-/e36Y = 0, (14.15)fe1A5X+to6Y = 0. (14.16)

Дисперсионное уравнение

ю2 +/г^А = 0, (14.17)

получающееся из этой системы, показывает, что малые флуктуации около стационарного состояния (14.12) являются теперь периодическими с частотой

о, = ± (feiJfe3A)v*, о>г = 0. (14.18)

В соответствии с термодинамическим критерием устойчивости (9.25) бх^ в окрестности стационарного состояния обращается в нуль тождественно. Действительно, из уравнений (14.10) и (14.11) следует, что

бхЯ = (л2-^ - к, А) (оХ)2 + - k2 (6Y)2 = 0. (14.19) Теперь, используя соотношения (9.25), (9.27) и (7.40), получим

dt62S = P[bS] = Q.

Таким образом, 62S является в этом случае интегралом движения для произвольного возмущения. Мы сталкиваемся с неасимптотическим, или слабым, критерием устойчивости Ляпунова (гл. 6), который уже встречался в разд. 11.12 при изучении устойчивости вертикального столба жидкости.

Аналогично из (14.1) и второго равенства (14.18) можно получить для каждой нормальной моды выражение

btnP^dt 62mS = 0. (14,20)

Следовательно, 6~mS также является интегралом движения (при данной нормальной моде). Таким образом, обе квадратичные

формы 62S и bliS не возрастают и не убывают вдоль возмущенного движения (разд. 14.3). Тем не менее, поскольку исчезает только действительная часть сог частоты со [см. (14.18)], возмущенное состояние не может быть интерпретировано как другое стационарное состояние, близкое к (14.12). Действительно, согласно (14.18), частота щ никогда не исчезает. К этому заключению можно

прийти и из непосредственного рассмотрения величины 6тП. Для каждой нормальной моды отдельно имеем

6mII =~ ik2 (6Х* 6Y - 6Х 6Y*),

откуда следует, что

coi6mn = — 2/г 2

kB (6Yr)2 + х- (6ХГ)2

(14.21)

(14.22)

является отрицательной величиной, как это и должно быть в соответствии с (14.2). Ясно, кроме того, что coj никогда не может обратиться в нуль.

Теперь изучим поведение системы при промежуточных между двумя первыми случаями значениях сродства (1 а) + (14.23)

б) k3Yi + (1 - ftA -f 2/г2) Yb3 -f {k - А - kRA - 2k3 ДА) Y? +f (kRA2 - 2k2RA) Y0 -f k3R2A2 = 0. (14.24) Мы ввели здесь параметр

являющийся мерой отклонения системы от равновесия. На рис. 14.1 стационарные решения X и Y, соответствующие термодинамической ветви, изображены как функции полного химического сродства $Ф при численных значениях

k=i0~2 и А=1. (14.26)

Дисперсионное уравнение для со имеет вид

со2 + (Yo - Хо + 2/гХо + 2kYQ) со + Х0 + 2/гХ0 - 1 - 2kXl - 2kYQ -f Y0 + 4/e2X0Y0 = 0. (14.27)

Во всей области изменения полного химического сродства выполняется неравенство

сог<0. (14.82)

Это значит, что термодинамическая ветвь устойчива и флуктуации должны затухать. Однако при $Ф > 9,2$2Г частота о будет комплексной и затухание становится немонотонным во времени. Условие апериодичности (14.3) впервые нарушается в точке 9,2$!Г (подробно этот вопрос рассмотрен в статье [107]).

14.3. Незатухающие колебания типа Лотка — Вольтерра

Как было показано выше, при ^->оо схема реакций превращается в схему Лотка — Вольтерра, являющуюся моделью незатухающих колебаний в химических системах. Благодаря простоте и замечательным свойствам этой модели посвящены многие работы [22, 33, 34, 122, 128, 194]. Мы кратко рассмотрим здесь некоторые характерные свойства модели.

Основная особенность модели Лотка — Вольтерра состоит в том, что возмущения, отстоящие от стацио

страница 74
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

Скачать книгу "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций" (3.09Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
курсы подготовки хл
радиатор отопления чугунный россия
макслевел скаволини отзывы о работодателе
работа в москве кадровик с обучением и с трудоустройством

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(06.12.2016)