химический каталог




Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций

Автор П.Гленсдорф, И.Пригожин

я

1

рс

= 0

dt

' рс

dx

дх

Для полноты здесь краткий обзор динамической теории волн (подробности

(V

VJC),

(13.8)

а уравнение Эйлера (11.100) записывается как

дч . dv . 1 dp _n dt "t"Y дх "т" p дх u"

(13.9)

(13.10)

Комбинируя эти уравнения, получим

dv , 1 dp I , , . ч Г dv , 1

~хг ± ~ + (V ± С) -г— ± — ,

dt рс dt J 4 > \_дх рс dx

По определению характеристики — это линии в плоскости х,- t, наклон которых равен скорости распространения возмущений отно^ сительно фиксированной системы координат.

Так как газ движется со скоростью v, а возмущения распространяются со скоростью ±с относительно газа, мы имеем два семейства характеристик С+ и С_, определяемых соответственно уравнениями:

dt ' 1 " dt

Сравнивая с уравнением (13.10), видим, что

dv + — dp =а= 0 на С+

1 рс ^ +

и

dv —dp=0 на С_,

(13.11)

(13.12) (13.13)

где оператор d означает дифференцирование вдоль данной характеристики.

Поскольку поток изоэнтропийный (разд. 13.1), каждую переменную о ш с можно рассматривать как функцию переменной р. Вследствие этого, формулы (13.12) и (13.13) можно считать полными дифференциалами. Функции

'?~v+JЈ. — (13.Н)

называются инвариантами Римана [100]. Нетрудно убедиться в том, что

dJ+=0, т. е. /.== const на С. )

л п г + г \ <13-15)

а/_=0, т. е. /_ = const на С_ J

Наличие этих инвариантов весьма существенно для теории.

Если для идеального газа постоянно отношение у — cp/cv, то имеет место уравнение адиабаты

р~р?, (13.16)

и из уравнения (13,6) имеем

c2~y9v-K (13.17)

Следовательно,

J± = w±JZRRC- (1ЗЛ8)

Теперь мы можем перейти от переменных v и с к переменным /+ и /_. Тогда уравнения характеристик (13.11) примут следующий вид:~ = F+{J+, /_) на С+;

dx = F_(/+, /_) на (13.19)

dt

Функции F+ и F- зависят как от граничных, так и от начальных условий. Рассмотрим, например, волны разрежения [рис. 13.1 (2)]. Предположим, что поршень движется ускоренно от состояния покоя при t = 0 до некоторого момента времени t = t\, а затем, при t > tAt его скорость остается постоянной.

Ход характеристик показан на рис. 13.2. В начальный момент времени характеристики С_ расположены в области, где газ находится в состоянии покоя (правее точки 0). Функция /_(#, 0) имеет одно и то же значение для всех х>0 и, кроме того, остается постоянной вдоль любой характеристики С_, поэтому /_ сводится к постоянной в плоскости х, t. Но тогда вдоль характеристики С+ оба инварианта /+ и /_ постоянны, следовательно, уравнение (13.19) можно сразу проинтегрировать, и мы получим для характеристики С+ уравнение прямой линии

x = F+(J+t /_)/ + ф(/+) на С+. (13.20)

Обсудим некоторые следствия этого важного результата. Сравнивая уравнения (13.20) и (13.11), мы видим, что

x = [v + c(v)K + q)(v) (С+), (13.21)

(13.22) (13.23)

где зависимость c(v) возникает от инвариантности /+ вдоль С+. Соотношение (13.21) можно еще записать иначе:

v = f{x-[v + c(v)]t)

или

c = g{x—[v + c{v)]t}.

Конкретная форма функций / и g снова зависит от начальных и граничных условий. Здесь наблюдается некоторая аналогия с плоской волной fi(x—ct) в (13.7). Однако теперь точки, отвечающие разным скоростям v, перемещаются с различными скоростями, следовательно, профиль волны изменяется во времени.

Волны конечной амплитуды,

определяемые уравнениями

(13.21) — (13.23), называются простыми волнами [100, 198]—это волны, совместимые с состоянием однородного равновесия. Так как инвариант постоянен для всех х и t, для идеального газа из формулы (13.18) получаем соотношение

где Се

у — 1 у—1

скорость звука в покоящейся жидкости. Отсюда

2 / \ I Y—1

—г (се —с), с = се + -Чг— V.

/_ = v — _JL_ с = _ _J__ Cej (13,24)

у j vНа поршне v = V <С 0, следовательно, в соответствии с (13.16) и (13.25) с <С се, р < рг и р < ре. Эти неравенства верны не только для идеальных газов. Рассмотрим функцию

(13.26)

Учитывая во втором равенстве (13.14) тот факт, что /_ — постоянная величина, мы получим для волны разрежения (dv/dx > 0):

дх

рс дх

Установленные выше неравенства можно непосредственно полу* чить из (13.27) при предположении, что

др

(13.28)

или, учитывая определение (13.6) для с2,

(ЦИ,<0. (13.29)

Будем считать это условие выполненным. Для идеального газа оно выполняется тождественно. Условие (13.29) аналогично, но неэквивалентно неравенству

(d2vldp2)s > О,

которое использовали Ландау и Лифшиц в теории слабых разрывов [100].

dv

дх

Очевидно, что для волн сжатия (dv/дх < 0) можно получить те же неравенства, но только знак в (13.27) будет противоположным:

dp

и

2

Рис. 13.4. Изменение профиля скоростей в простой волне сжатия. Формирование ударной волны.

(13.11) и (13.25), мы получим для характеристик С+, начинаю--щихся на поршне, уравнение

|L_C + V=^+v+±v = ,e_ Y+iiЈ/i (С+) (13e31)

Таким образом, области 0 < t < t

страница 70
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

Скачать книгу "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций" (3.09Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
zanussi посуда
сколько стоит курс 1с в челябинске
полка для резины своими руками
гироскутер выключается без предупреждения

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(09.12.2016)