химический каталог




Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций

Автор П.Гленсдорф, И.Пригожин

егко вычисляются. Задача о собственных значениях для с, соответствующая уравнениям (12.36) и (12.37), была решена численно на ЭВМ для 450 значений а и Me в работе [136]. Этой информации достаточно, чтобы определить с высокой точностью область устойчивых (Ci < 0) и область неустойчивых состояний (а > 0) на плоскости а, Же. Для каждой точки (а, Же) была исследована сходимость полученных значений основной частоты вплоть до матрицы порядка 20 X 20. Оказалось, что сходимость метода вполне удовлетворительна при малой величине произведения аЖе, но с его увеличением она ухудшается. Вблизи критической точки, т. е. при малых ct (рис. 12.3), численные погрешности для Ci становятся того же порядка, что и сами С{. Однако при очень больших величинах аЖе (например, при аЖе > 50 000) метод неприменим в связи с потерей точности в этой области.

Как показано на рис. 12.3, кривая нейтральной устойчивости вычисленная этим методом, окружена областью, соответствующей пределу точности, которую можно получить методом локального потенциала. Платтен [136] утверждает, что снижение точности вычислений при больших величинах произведения аЖе связано, по-видимому, с несамосопряженным характером уравнения Орра — Зоммерфельда (12.10), а не с погрешностями численного метода. Фактически Платтен отметил, что несамосопряженный вклад уравнения Орра — Зоммерфельда описывается величиной ia$,eOD2Wy роль которой возрастает с ростом аЖе. В связи с этим следует подчеркнуть, что сходимость, изучавшаяся в разд. 10.5, для несамосопряженных задач была доказана лишь для состояний, не слишком удаленных от равновесия.

Кроме того, те же вычисления, проводимые для частных случаев, когда уравнение Орра — Зоммерфельда становится самосопряженным (например, в случае одномерного потока, когда С = const) приводит к равномерной сходимости. Дело в том, что при О — const спектр собственных значений может быть вычислен точно и затем сравнен с результатами приближенных вычислений. Во всех таких случаях Платтен получил превосходное согласие с точными результатами.

Для иллюстрации метода мы приведем ниже результаты расчетов для а - 1 и различных значений Же. При Же = 100 (табл. 12.1) имеется превосходная сходимость к предельному значению Ci = = —0,1629. Так как получившееся с{ отрицательно, поток при этом волновом числе устойчив. Колебания в последних знаках связаны с ошибками вычислений на ЭВМ. При Же = 2500 (табл. 12.2) поток остается устойчивым для а = 1 (с* < 0), но сходимость гораздо хуже, чем в предыдущем случае. При Же — 5900 (табл. 12.3) с{ изменяет знак от приближения к приближению. Это значит, что мы оказались вблизи критического значения Же. Действительно, при больших числах Же Ci становится положительным и появляется неустойчивость (табл. 12.4).

Вычисления, проведенные Платтеном для 450 точек в плоскости а, Же, позволили ему установить значение критического числа Рейнольдса с точностью ±150:

5600 < (Ж*)с < 5900.

(12.41)

Таблица 12.1

a —lt &е = 100

п

(приближение) Н п

(приближение) Н

2 -0,172161 12 —0,162942

3 —0,164498 13 —0,162915

4 -0,162195 14 -0,162957

5 —0,162967 15 —0,162944

6 —0,162946 16 -0,162950

7 —0,162944 17 —0,162962

8 —0,162944 18 —0,162947

9 —0,162944 19 —0,162944

10 -0,162944 20 —0,162942

11 -0,162945

Таблица 12.2

a —U Же — 5900

а = 1, $е = 2500

п

(приближение) п

(приближение) °1

2 -0,011960 12 -0,012464

3 -0,040551 13 —0,017830

4 +0,008418 14 -0,014178

б -0,000085 15 -0,020270

6 —0,017376 16 —0,005494

7 -0,011408 17 -0,015388

8 -0,015762 18 -0,013269

9 -0,013779 19 -0,014132

10 -0,014613 20 —0,014132

11 -0,012342

Этот результат хорошо согласуется со значением ($U)C = 5780, полученным Томасом и Линем [176].

12.6. Критическое число Релея для проблемы Бенара

Рассмотрим случай, когда в выражении (12.26) Же и V исчезают и Жа > 0. Как и в гл. 11, будем использовать систему координат, принятую на рис. 12.2, а. Выберем граничные условия, отвечающие твердым поверхностям [ср. с (11.11) и (11.12)]:

DW = W = 0) ( 2 = 0

е-о 1 при Ь = 1. <12'42>

Будем строить пробные функции для W и 0 из следующих функций:

%=(l-2)2(22-l)ft-1. (12.44)

Эти функции удовлетворяют граничным условиям (12.42) тождественно. Как и в (12.35), пробные функции Wn и Вп порядка п имеют вид

^я==^ф]+ ... + а„<ря, (12.45)

в„ = ^ф,+ ... +М>«. (12-46)

Аналогичны выражения для W°n и 9я.

Все дальнейшие операции проводим, как и в разд. 12.6. Но теперь мы получаем равномерную сходимость собственных значений а (пример приведен в табл. 12.5). Этот результат не удивителен, так как уравнения (12.28) и (12.30) для задачи Бенара являются самосопряженными. По той же причине возникающий локальный потенциал сводится к истинному потенциалу

(разд. 11.10), и вариационный метод становится идентичен хорошо известному методу Релея — Ритца.

Шехтер и Химмельблау [164] нашли в «одночленном» приближении {91а)с = 1750, тогда как метод безусловного минимума (гл

страница 67
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

Скачать книгу "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций" (3.09Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
спортивная обувь для футзала
lenovo ideapad 320 17ast 80xw0000rk
удаление вмятин дешево
аренда проектора экрана

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(25.09.2017)