химический каталог




Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций

Автор П.Гленсдорф, И.Пригожин

^-. (12.19)

Однако эти четыре характеристики не являются независимыми, так как

^ = $ЙХ^. (12.20)

Для двумерного пуазейлевского плоского течения уравнения для возмущений (12.17) и (12.18) принимают вид

dp = — M*Uw.x ~ Э,г + МаЪ + У2ш, (12.21)

dtu = — MeUu,x — &,х — №ewU,z + V2tt, (12.22)

&Ад$ = - &*UQ'X + w + V29. (12-23)

Снова, чтобы получить избыточный локальный потенциал, умножим обе части каждого уравнения (12.21) — (12.23) на —6а\ —Ьи и —60 соответственно и сложим результаты. Проинтегрируем полученное выражение в плоскости х, г после интегрирования по г по частям; на верхнем и нижнем пределах граничные члены исчезают. В соответствии с методом разд. 10.8 и 10.9 мы получим таким путем зависящие от времени приращение локального потенциала в виде функции (и, и0, w, w°, 0, 0°, S°, 0U, и основное минимальное свойство (10.77). Дополнительные условия в данном случае следующие:

и+=и; w+=w°; 0+ = 9°. (12.24)

Аналогично уравнениям (12.5) примем для возмущений:

w = W (z) eiaxeot; 0 = в (z) eiaxeat;

u = ~DW (z) eiaxeat; S = П (z) elaxeat. (12.25)

Здесь a — приведенная собственная частота. Набор функций (12.25) удовлетворяет уравнению непрерывности (12.3), а подстановка его в приращение локального потенциала дает нам форму

W (W, Г°, О, 0°, II0; Же, Шау а, о),

содержащую только две неизвестные функции W и в вместо трех. Далее, П° легко исключить, используя уравнения (12.22) и (12.25).

Запишем окончательную форму избыточного локального потенциала:

? = J{[a2 + a + iaSLU] [w°W + (DW*) (DW)] +

+ [a2 + &4 (a + Шей)] e°6 + ~ [(DW)2 + (DO)2] — — 9U&W — ir°6 — (D2IT)2 + 4- Ф2Ю — (Ш) (Ј>IT) IT0 (12.26)

Напомним, что безразмерные величины, входящие в (12.26), такие, как Z\ и 22, зависят от выбора системы координат (рис. 12.2). Зависящий от времени избыточный локальный потенциал (12.26) имеет два хорошо известных предела.

1) В отсутствие течения ($?« = 0) экстремум (12.26) с учетом

дополнительных условий W° — W+ и 8°« Э+ дает уравнение Эйлера — Лагранжа

(Ж) п 5=50 (12.27)

или

(D2 — а2- о0>*)S = — W (12.28)

и, с другой стороны,

(w) 8=0 (12-29)

ИЛИ

(Z)2 - a2) (D2 - а2 - а) Г = $аа26. (12.30)

Уравнения (12.28) и (12.30) —не что иное, как уравнения баланса энергии и импульса (11.79) и (11.78) для задачи Бенара, записанные в новых переменных.

2) В отсутствие температурного градиента (Ша = 0) и температурных возмущений (в = 0) можно получить при дополнительном условии W° — W+ уравнение Эйлера — Лагранжа

(?щ) =0 (12.31)

или

(D2 - a2)2 W = тШе [{V + (D2 - a2) W - (D2U) w]. (12.32)

Чтобы вернуться к обозначениям разд. 12.2 и 12.3, нужно записать соотношение (12.10) в новых переменных:

а«-шй«с. (12.33)

Тогда уравнение (12.32) совпадет с уравнением Орра — Зоммер-фельда (12.11). Также, умножая (11.26) на а2, полагая затем

0 = 0 и используя еще раз соотношение (12.33), мы приведем избыточный локальный потенциал W к виду

+ -у- (DW)2 — -j (D2W)2 + 2 (D2W°) (DW) — fa$b (DV) (DW) IF0} dt (12.34)

Этот локальный потенциал может быть применен к изучению гидродинамической устойчивости, рассматриваемой в разд. 12.2 и

12.3.

Чтобы не возникало недоразумений, мы специально обозначили через ? координату z в системе координат Линя [114] (рис. 12.2,6).

Следует иметь в виду, что общее выражение (12.26) для избыточного локального потенциала, позволяющее исследовать устойчивость потока с поперечным градиентом температуры, зависит только от двух неизвестных функций W и 0. Ниже мы рассмотрим три примера применения этого вариационного принципа: в первом — положим Жа = О (отыскание критического числа Рейнольдса), во втором — положим Ше — О (отыскание критического числа Релея), а в третьем — рассмотрим смешанный случай.

12.5. Определение критического числа Рейнольдса для плоского течения Пуазейля

Мы применим вариационную технику последовательных приближений, развитую в гл. 10. Следуя этому методу, подставим в выражение (12.34) пробные функции

Wn = д1ф1 + ... + аА, WI = а°ф1 + ... + <Ф„, (12.35)

в которых все щ удовлетворяют граничным условиям. Минимизируем полученное выражение по ah и потребуем выполнения дополнительных условий ак = а\ [ср., например, с (10.25) — (10.27)]. Получающаяся в результате система п линейных однородных уравнений относительно аи имеет нетривиальное решение только, когда достигается состояние нейтральной устойчивости. Детерминант, составленный из коэффициентов системы п уравнений, в этом случае должен обращаться в нуль [105, 106]:

Det| Akl-cBkl\=0

(k, /=1, 2

, .. •,

n)

(12.36)

где

Aki = /Э + 2a2/$ + a4/g + Ше (/g> +

(12.37)

И

/(0)

1kl

+ \ 4-1i -i

4-1 4-1

4-1 +11 -1

Dn=.dn/dln. (12.38)

В системе отсчета, используемой Линем (рис. 12.2,6), основной поток имеет вид

(7=1-?2. (12.39)

В качестве пробных функций мы возьмем ряд, предложенный Рейнольдсом и Ли [105, 106],

Ф* — (1 — б2)* 6я (12.40)

Эти функции удовлетворяют заданным граничным условиям, а интегралы (12.38) л

страница 66
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

Скачать книгу "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций" (3.09Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
Трехколесные велосипеды Pilsan купить
сервисные центры фанкойлов elco
подстолье для складного стола
концерты в челябинске на апрель 2017

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(25.03.2017)