химический каталог




Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций

Автор П.Гленсдорф, И.Пригожин

венно х- и z-компоненты произвольного возмущения щ ). Поскольку такое возмущение должно быть периодическим по х, лежащему в бесконечных пределах, мы имеем для одной фурье-компоненты

u = U(z)eia(x-ct\

w = W{z)eia^-ct\ (12.5)

Э = II (z)e'°

где ее— действительное волновое число; U(z), W(z) и U(z) — безразмерные комплексные функции.

В случае плоского течения Пуазейля

Uf = Ux = U(z); йу = иг = 0. (12.6)

Тогда уравнения баланса (12.3) и (12.4) принимают вид

iaU + DW = Q, (12.7)

[D2 - a2 — Ше ф - с)] U = Me(DU)W + iaSteRt (12.8) [D2 - a2 - ia&e (U —c)]W = 0UDII (D = dldz). (12.9)

Величина с — собственное значение, в общем случае комплексное; (если ее мнимая часть отрицательна, она описывает затухание флуктуаций). Величина с и приведенная частота а, определенная в (11.77), связаны соотношением

o = -iac. (12.10)

Исключая U и П из уравнений (12.7) — (12.9), получим уравнение

для W _ _

(D2 - a2)2 W = ia&e [(U - с) (D2 - а2) W - (D2U) W], (12.11)

и граничные условия

W = DW = 0 (при г = гъ z = z2). .(12.12)

Уравнение (12.11) —хорошо известное уравнение Орра — Зоммер-фельда [114]. Дополненное граничными условиями (12.12), оно определяет задачу на собственные значения, подобную той, которая возникает из уравнений (11.82) и (11.83) для задачи Бенара. Рассмотрим предельное состояние, в котором мнимая часть С\ числа с исчезает. Тогда при фиксированном волновом числе а, отличные от нуля решения задачи (12.11), удовлетворяющие условиям (12.12), появляются лишь при некоторых специальных значениях ffie.

Иногда удобнее решать эту задачу иным способом [114, 136]. По заданным действительным значениям а и Ше определяют собственное значение с. Если С{ положительно, поток в рамках линейной теории неустойчив; если же с* отрицательно, возмущение затухает и поток устойчив.

Условие С{ = 0 определяет зависимость между а и Ше, которая изображается на плоскости (а, Ше) и называется обычно кривой нейтральной устойчивости (см. рис. 12.3). Наименьшее значение числа Рейнольдса, которое вместе с а может еще обращать С\ в нуль, называется критическим, числом Рейнольдса.

12.3. Избыточней локальный потенциал в проблеме гидродинамической устойчивости

В разд. 10.10 мы использовали оператор б для обозначения зависящих от времени решений уравнений для возмущений, таких, как 6Vf, бр; а оператор б' — для обозначения приращений этих величин (см. рис. 10.4). Здесь мы введем более простые обозначения

щ = 6vh S = 6p

для приведенных возмущений и

бщ = б' (6УЛ, 63 = б' (бр)

для их приращений. Умножим обе части уравнения (12.3) на —6Э* и обе части уравнения (12.4) на —бщ; затем сложим эти уравнения. Кроме того, примем во внимание равенство

где индекс «0» соответствует непроварьированной величине, т. е. решению уравнений для возмущений, рассматривающихся в гл. 10. Результат сложения теперь можно записать в виде

— у dt (6ui)2 — \Ujutbut-\-utUtbUi — {0te)~l tin bu{-{-ciibuj -\-U} 63] —

— U jUi bui'i — U fjUi but — Uitij but'} — U{Uj>j bm — Sf but4 +

+ (2$*)~l б (urif — и,6Э,,+ dtu°tbutm (12.14)

После интегрирования по объему дивергенции исчезнут, так как граничные условия фиксированы. Используя метод, развитый в гл. 10, мы получим приращение локального потенциала

ф = J [_Щи]и.,} - - Щи)ап - Uynut - ир,{ — Э°ып +

+ {Шш)~х (urjf + utdtu*\ dV. (12.15)

Действительно, легко убедиться в том, что уравнения баланса для приращений (12.3) и (12.4) являются уравнениями Эйлера — Ла-гранжа для функционала (12.15), если при этом использовать дополнительные условия, зависящие от времени (разд. 10.9),

в}«и+ 3° = а+. (12.16)

В вариационном методе безусловного минимума функции щ и <3 следует варьировать независимо. Можно также исключить некоторые из неизвестных функций с помощью уравнений баланса до построения локального потенциала. Приращение локального потенциала, содержащее только одну неизвестную функцию, часто служит прекрасной основой для численных расчетов (см., например, разд. 11.10). В следующем разделе приведен пример, иллюстрирующий это замечание.

12.4. Приращение локального потенциала в исследовании устойчивости потока с поперечным температурным градиентом

Рассмотрим полный набор уравнений баланса для приращений (7.50) — (7.52). Мы снова будем использовать безразмерные величины, но масштабы выберем отличными от тех, которые были использованы в разд. 12.2. Запишем уравнение баланса для приращения импульса и энергии в виде

dtU. = — 9teU tUitj — ^eUjUr} — S,f +

+ (ut.,)ti + &aBat (a, = 0, 0, 1); (12.17)

(12.18)

Масштаб координат взят равным d = h/2; масштаб времени равен d2/v, масштабы возмущений скорости, давления и температуры (6) равны x/d, d2/p>cv и AT (12.1) соответственно. Характерной скоростью основного потока считается U+ (рис. 12.2, а).

В уравнениях баланса (12.17) и (12.18) появляются четыре безразмерные характеристики процесса: число Релея (12.1), число Рейнольдса (12.2), число Прандтля и число Пекле определяемые соотношениями

—, &е =

страница 65
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

Скачать книгу "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций" (3.09Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
компьютерные курсы для начинающих на дому
Стеклянный кухонный стол Мебелайн «Мебелайн 2»
чугунные сковородки купить в москве
лидер мебель для детских садов

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(04.12.2016)