химический каталог




Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций

Автор П.Гленсдорф, И.Пригожин

как функции а2, следовательно, минимизирующая величина а2 находится из уравнения

дЖа = J_ (яз + fl2)2 (2а2яЯ) ^ 0; (Ц ,87)

да2 а

она равна

а2 = ~, (11.88)

Критическое значение 01а, выше которого имеет место неустойчив вость, равно

с = ^-я4 = 657,5; (1189)

ему отвечает критическая длина волны [см. (11.77)]

Ас = ^-/г = 2в/2А. (11.90)

Следует отметить простоту теории устойчивости, основанной на анализе нормальных колебаний. Однако эта простота была достигнута в основном потому, что удалось исключить все переменные, кроме одной. Например, в (11.82) входит только функция W, тогда как © была исключена. В тех задачах, которые не допускают такого исключения, удобней использовать вариационные методы, основанные на отыскании безусловного экстремума (см., например, разд. 11.8).

11.10. Приближенное определение критического числа Релея методом безусловного минимума

Рассмотрим кратко пример, иллюстрирующий применение вариационного метода (разд. 11.8) и сравним полученный результат с точным, установленным в разд. 11.9. После интегрирования в плоскости я, у можно записать (11.51) так:

J [gav(Qw* + d'w) - 2v2(dijcTij) +

о

l

+ ov(p*un + йи),,)] dZ - {gafhA J (G,^) <*Z = 0. (11.91)

о

Введем безразмерные величины

Z = ~, Y = ~, X = ~, a = kh

и подставим в уравнение (11.91) следующие пробные функции:

9 = а0 [exp I (Хах + Yav)) ф (Z).

щ = а{ [exp ЦХах + Уаг)] ,

«2 = а2 [exp i (Х% + YaY)] -j^»

и3 = да = а3 [exp / (Хах + KaF] (Z),

9 = ад [exp / (*ах + YaY)] F (Z). (11.92)

и их комплексно-сопряженные 9*, u*i, ... . Зависимость 9 и w от Z мы выбрали одинаково; аналогично зависимость щ и и2 or Z выражается функцией dj>fdZ. Благодаря такому выбору очень просто удовлетворяются граничные условия и некоторые простые соотношения, вытекающие из уравнений для возмущений (например, исчезновение ?).

Далее, 0(Z) будем считать нечетным полиномом

Ф(1) = А1г-\- A2Z* + A3Z5+ ....

Чтобы не усложнять задачу, ограничимся в (11.92) пробными

функциями, содержащими только один произвольный независимый

параметр, ае, ссе Другие параметры определяются из граничных условий. Это приводит к тому, что ^(Z) —полином пятого порядка.

Рассмотрим случай двух свободных поверхностей. Тогда граничные условия (11.11) — (11.13) дают

ф (0) = ф (1) = 0; ф" (0) = (1) = 0.

Поэтому с точностью до постоянного множителя, входящего в а, имеем

^(Z)~7Z- 10Z3+3Z5.

Функцию F(Z) можно выбрать произвольной, но она должна удовлетворять граничным условиям. Как мы увидим, P{Z) не входит в окончательный результат (11.94).

Интегрирование (11.91) по Z с пробными функциями (11.92) дает некоторую связь между десятью комплексными параметрами аь а!, .. . . Минимизируя эти соотношения по каждому из параметров a , ct2, .. - , получим уравнения )

[Ааха2 + Ааха\ + Аахауа2 + Вах] + ivaxamK = О, j г А а2а2 + Л а2а2 + Л ajeaffo1 + Ва2\ + Ш%адК = О,

( «) «ЙС - ^- (2А + a2C + 2D) + = О,

flva3C - (get) /г2а0 (Л + а2С) = О, «з — — '(а^, +

(11.93)

и аналогичные уравнения для параметров а-, аъ В уравнениях (11.93)

1 1

О О

1

C=jf(Z)dZ; D= j (Z)^rdZ;

о о

K=j^F(Z)dZ.

О

Используя полученную выше функцию {Z), найдем А = 27,43; В = 274,3; С = 2,752; D — 27,4. Соотношения (11.93) можно рассматривать как систему однородных уравнений относительно параметров а. Тогда из условия существования нетривиального решения (det = 0)

(A -f- а2С) Ua + \ + а2С + 2D]

3?a = - }~. (11.94)

К не входит в выражение для Ша, следовательно, вид F(Z) не влияет на значение Жа. Если выбрать F(Z)=0(Z), то К = 0.

Как и в (11.87), можно вычислить критическое число Релея, минимизируя соотношение (11.94):

rf+rf(id±H.)_ 8_o. (11.95)

Из (11.95) имеем

а2 = 4,99; №)с = 672,15;

тогда как точные значения этих величин равны

а\ = 4,935; (#а)с — 657,5.

Поскольку в (11.94) зависимость от граничных условий входит только через постоянные Л, В, С и D, можно почти без изменений применить развитый метод к случаю двух твердых поверхностей. Выбирая те же пробные функции, получим а\ — 10,415 и (Ма)с = = 1821,8, тогда как их точные значения равны ([28], гл. II): а2 = 9,716 и (&а)с = 1707,76. Напомним, что приближенные результаты получены нами с использованием только одного пробного параметра для всех функций щ, и2, и% и 9, поэтому их следует признать удовлетворительными.

Теперь в нашем распоряжении есть несколько различных вариационных методов, так как мы можем строить лагранжианы, включающие либо все неизвестные функции, как в методе безусловного минимума, либо часть этих функций, как это делал Чанд-расекар. В последнем методе стационарные уравнения для возмущений используются для предварительного исключения части неизвестных функций. Для заданного класса пробных функций все эти методы приводят практически к одинаковым результатам. Конечно, метод безусловного минимума требует более сложных вычислений, однако его преимущество состоит в том, что он применим, когда исключение части функций затруднительно.

страница 61
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

Скачать книгу "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций" (3.09Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
адвокат по семейным делам москва отзывы
КС-14М Дрофа+КН-140
купить итальянский керамогранит в москве
билеты на квн финал 2016

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(06.12.2016)