химический каталог




Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций

Автор П.Гленсдорф, И.Пригожин

е сделаем несколько дополнительных замечаний.

Из соотношения (11.63) можно сделать вывод, что вариационный принцип, основанный на минимизации отношения 1\/12, мог бы быть заменен близкими вариационными формулировками, основанными или на минимизации производства обобщенной избыточной энтропии (Pm[6Z']) (11.61), или на минимизации функции {ЗГ) (11.37), усредненной в плоскости х, у. При использовании таких формулировок мы не встречаемся с ограничениями типа (11.64), обусловленными использованием отношения (11.50), следовательно, мы имеем дело с абсолютным минимумом. Это очень важно в численных расчетах, когда величина ошибки, вводимой пробными функциями, заранее неизвестна (см. гл. 10).

Далее, поскольку временная зависимость ехр(ш/), входящая в /i и 12, исчезает из отношения 1\\12, можно использовать вариа-ционные принципы, основанные на функционалах {Pm [6Z']) или {gT)t==o, зависящих от возмущений при t = 0. Для иллюстрации нашего вариационного принципа в разд. 11.10 проведено приближенное вычисление значения (Ма)с для простейшего случая.

11.9. Применение метода нормальных мод к проблеме Бенара

В этом разделе мы изучим проблему Бенара, применяя к ней кинетическую теорию устойчивости, основанную на анализе нормальных мод. Такой подход к этой задаче успешно применял Чандрасекар [28], поэтому здесь дан лишь краткий обзор его работы. Мы хотим показать, что можно получить свойства предельного состояния, решая задачу на собственные значения. Прежде всего исключим возмущение гидростатического давления из уравнения баланса для приращения импульса (11.7), взяв ротор от

обеих частей (rot grad = 0). Применяя эту операцию еще раз, после несложных преобразований получим

e = *a(-0 + -0.) + vV«-wt(c--Ј-.Ј). (11.66)

где ? — г-компонента ротора. Кроме того, имеется уравнение [см. (11.8), (11.10) и (11.27)]:

д,9 = рщ> + *V29, (11.67)

Произвольное возмущение может быть разложено по полному набору нормальных колебаний. Поскольку мы предполагаем, что слой жидкости заключен между двумя горизонтальными плоскостями, нормальные колебания должны иметь вид двумерных периодических волн:

w — W (z) exp [i (kxx + kyy) + со/], (11.68)

9 =6 (z) exp [i {kxx + kyy) + cor], (11.69)

где

k = (kl + kl)lli (11.70)

— волновое число возмущения и со — его частота, которая, вообще говоря, может быть величиной комплексной. Ротор ? роли не играет и может быть исключен из рассмотрения ([28], стр. 32). На периодические функции (11.69)—(11.70) дифференциальные операторы действуют по следующим правилам:

а,-». ^ + ^ = -*2- ?2=i&-*2; (4.71)

поэтому уравнения (11.65) и (11.67) принимают вид

* Ь& -kZ)w=- $акЩ+v {?& - k2Jw>

сов = + % - ?2) в. (11.73)

Соответствующие граничные условия (11.11) — (11.13) теперь можно записать как

S=W = 0 при 2 = 0 и z = h (11.74)

и

dW

dz

Или^У^- = 0 (на свободной поверхности)

= 0 (на твердой поверхности)

(11.75)

Введем безразмерные переменные

Z = |, T = ~t; (11.76)

волновое число и частоту в этих же переменных запишем в виде

a = kh и <х = —. (11.77)

v

Введем также следующий символ:

D = — и dZ •

Тогда уравнения (11.72) и (11.73) можно представить в виде

(D2 - a2) \{D2 -a2-o)W = h2) а2®, (11.78)

D2 — а2 — ~ о) 6 = - (!? h2)w. (11.79)

Отношение v/к называется числом Прандтля.

Предельное состояние, отделяющее устойчивые состояния от неустойчивых, определяется условием аг =* 0. Мы уже доказали, используя наш критерий эволюции, что о — действительная вели^ чина [ср. с (11.49)]. Это может быть доказано и непосредственно из уравнений для возмущений [28].

Таким образом, уравнения для предельного состояния полу^ чаются просто подстановкой а = 0 в уравнения (11.78) и (11.79) соответственно:

(D2 - a2)2 W = h2) а26, (11.80)

(D2-a2)Q=^-^h2)w. (11.81)

Исключая в из этих уравнений, получим

(D2 - a2f W = — (Щ a2W, (11.82)

где Ша — число Релея (11.33). Граничные условия (11.74) и (11.75) в этом случае принимают вид

W = 0; (D2- a2)2W = 0 при Z = 0 и Z = 1 (11.83)

и

DW = 0 (поверхность твердого тела) ]

или n2IW л . А ч (• (11.84)

D4w = 0 (свободная поверхность) J

Аналогичное уравнение может быть выведено для 0.

Мы получили задачу на собственные значения для 01а в предельном состоянии. Иными словами, при фиксированном а2 неис* чезающее решение W, удовлетворяющее граничным условиям (11.83) и (11.84), существует лишь при некоторых частных значе*

НИЯХ Ма.

Для примера рассмотрим решение задачи в случае обеих свободных границ. Тогда уравнение (11.82) и граничные условия (11.83) и (11.84) удовлетворяются функциями

W — A sinrntZ,

где Л — постоянная и я— целое число. Подставляя W в уравнение (11.82), найдем

1^(й?;а2>3. (П.85)

При фиксированном а2 наименьшее значение 31а достигается при п = 1; таким образом, получаем выражение

<%а=(я2 + а2)3 , (П.86)

которое еще остается функцией а2. Критическое значение числа Релея отвечает минимуму 0ta

страница 60
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

Скачать книгу "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций" (3.09Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
настенное крепление акустики
флористическое образование где получить
заправка ремонт старых холодильников частник
Вся техника в KNSneva.ru Thomson T32D16DH-01B - в розницу по опту в КНС СПБ !

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(08.12.2016)