химический каталог




Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций

Автор П.Гленсдорф, И.Пригожин

о. С помощью нашего критерия эволюции мы вывели свойство, ранее установленное Пеллью и Саутвеллом [135] путем детального ана^ лиза уравнений для возмущений в предельном состоянии.

Использованный метод представляет интерес благодаря его большой общности. Как только антисимметричный вклад П в кри-: терий эволюции может быть исключен подходящим выбором весо^ вых функций, становится справедливым принцип смены устойчив вости.

11.8. Вариационный принцип безусловного минимума для критического числа Релея

С помощью выражения (11.44) число Релея в предельном состоянии может быть выражено отношением двух интегралов

= (11.50)

Критическое значение (01а)с, соответствующее началу конвективной неустойчивости, — наименьшее из всех допустимых отношений, если функции в правой части (11.50) выражены через стационарные решения уравнений для возмущений. Мы покажем, что кри^ тическое число Релея является безусловным минимумом правой части (11.50). Как известно, при отыскании безусловного минимум ма все функции, входящие в правую часть, должны варьироваться произвольно и независимо одна от другой; при этом они должны только удовлетворять граничным условиям, Предлагаемый намивариационный принцип отличается от вариационных формулировок, данных ранее Пеллью, Саутвелом и Чандрасекаром [28]. В прежних формулировках требовалось, чтобы все неизвестные функции были выражены через одну из них с помощью самих уравнений для возмущений [28], а в нашем подходе независимо варьируются все функции.

Отношение (11.50) первоначально было получено из уравнений для возмущений (11.6) — (11.8). Теперь же мы используем его как основу для вариационного принципа, уравнениями Эйлера — Лагранжа которого будут уравнения для возмущений в предельном состоянии (стационарные состояния; разд. 11.7). Такой подход применим лишь при условии, что при выводе уравнения (11.43) не было сделано дополнительных предположений. В противном случае мы должны были бы учесть эти дополнительные условия с помощью лагранжевых множителей. Именно так следовало бы поступить с условием несжимаемости «j'j = 0 [см. (11.25) — (11.26)]. Но мы хотим получить его как одно из уравнений Эйлера—Лагранжа, не употребляя лагранжевых множителей. С этой целью запишем (11.43) в полной форме

J р [w1 е7е:; + 2vdtid]} - № + q w) - v(®un + Si ttn)] dV = 0. (11.51) (S bp)

При этом условие несжимаемости включается только в основные уравнения (11.6) и (11.8), но не в (11.7) ). Тогда интегралы в (11.50) имеют вид

fi=(gafh4 j Q4Q4dV (11,52)

и

/2« [ \gav [Qw + Q w) - 2v4ijd]j + vv (Ши п + S «/7)] dV, (11.53) Теперь будем минимизировать отношение (11.50). Из (11.50) имеем

следовательно, условие минимума следующее:

6/, — &а Ы2 = 0. (11.54)

Вариации б/i и б/г можно вычислить, используя (11.52) и (11.53):

6/j « - (ga)2h4 j" [(Э7)769* + (9v)769J dV. (11.55)

б/2 = J" {gav [9 6ш* + w* 69 + 9* 6w + a» 69*] +

+ 2v2 6«;+{dti):} 6u.] - v* [s.y 6«; + s7 — vy [м/>уба* + tt*76S]} <*K. (11.56)

Эти два выражения подставим в (11.54), Тогда уравнения Эйлера— Лагранжа, соответствующие этому вариационному принципу, получаются приравниванием нулю коэффициентов при независимых приращениях 69*, 69, 6u*it 6ui, 69*, 6S. Группируя члены в (11.54) и используя определение (11.33) для числа Релея, получим следующее.

1) Для коэффициента при 69*

M97),y + pcoj5ffl>=*0. (П.57)

Сопряженное выражение для 69 получается аналогично. Таким образом, мы имеем стационарное уравнение возмущений для энер* гии, совпадающее с первым уравнением (11.10) [см. (11.8)].

2) Для коэффициента при 6и]

2y\(dll),t-S.fill-gflP4=0(g-0,0,-g);b,l = {(l J*J' (11.58)

Это не что иное, как стационарное уравнение возмущений для импульса, совпадающее со вторым уравнением (11.10), если учесть (11.7) и (11.20).

3) Для коэффициента при бсо*

ип = 0. (11.59)

Это условие несжимаемости совпадает с (П.6), полученным из уравнения баланса для возмущения массы.

Осталось доказать, что отношение (11.50) при критическом числе Релея действительно достигает своего минимального значения. Так же, как и при выводе (11.43) из (11.34), можно показать, что

p-lmaVPm [6Z'] = /, — #a/2. (11.60)

Тогда для данного критического числа Релея разность между производствами обобщенной избыточной энтропии для произвольной и критической моды с учетом (11.50) дается выражением

p-^vPm [6Z'] = p-^av АРт [6Z'\ = Mi — $U Д/2. (11.61)

При Ша = (Ша) с все возмущения, за исключением критической моды, удовлетворяют условию устойчивости (11.34), поэтому

p-l&avPm [6Z'] = Д/i — (Ша\ Д/2 > 0. (1 1.62)

С учетом этого условия устойчивости приращение отношения 1\Ц% можно записать в виде

W М ._ h + А/, Л _

= /2 + д/г ~ 77 А/*) ~ [А/' ~ №)с Л/2] > °' <11 >63>

В последнем члене предполагалось, что Д/г мало, а именно

Д/2Кроме того, мы использовали тот факт, что (&а)с и 1\ — положительные величины [см. (11.52)]. Тем самым установлено, что значение (&а)с — минимум отношения (11.50). В заключени

страница 59
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

Скачать книгу "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций" (3.09Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
билеты на елку
купить театральные билеты в москве
курсы шитья одежды для животных в краснодаре
smex80-6.3

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(08.12.2016)