химический каталог




Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций

Автор П.Гленсдорф, И.Пригожин

тоянными все коэффициенты, такие, как удельная теплоемкость cv, теплопроводность к и вязкость rj.

Мы собираемся исследовать устойчивость состояния покоя, т. е. состояния без конвекции:

v = 0.

(11.2)

Соответствующее этому состоянию стационарное распределение температуры линейно

T = -$z + Tlt Где р = -4|>0. (11.3)

Здесь мы принимаем систему координат, в которой нижняя граница совпадает с плоскостью х> у, а! z — расстояние от нее по вертикали. Далее, имеем

Fx = Fg = 0; F2 = -g. (11.4)

Рассмотрим малые возмущения скорости и температурного распределения. Будем использовать следующие обозначения:

w = 6vzy uЈ = dVi, 0 =6Г, (/=1,2,3). (11.5)

Эти возмущения удовлетворяют уравнениям баланса для приращений полной массы (у = 1), импульса и энергии (7.50) — (7.52) соответственно. Для нашего случая эти "уравнения имеют вид

мг/ = 0; (11.6)

pdtut = - g,apO - (6Pi,),. (8t = 0, 0, - g); (11.7)

pcDdtQ = - 6Wn + pcv$w. (11.8)

При выводе линеаризованных уравнений (11.6) — (П.8) мы считали плотность р постоянной всюду кроме уравнения (11.7), которое содержит член gapQ. Этот член должен быть удержан, поскольку именно он приводит к возникновению термической неустойчивости. Такой подход известен под названием приближения Буссинеска.

Для вклада бр в (11.7) мы использовали в соответствии с (11.1) и (11.5) равенство

бр = _ ap+е са — арО. (11.9)

Приращение потока импульса в (11.7) и приращение потока тепла в (11.8) непосредственно связаны с флуктуациями 0 и и{. Действительно, обычные феноменологические законы (7.11) и (7.34) дают нам соотношения

6Wi = -XQ4; 6д, =-4(11,7+«л), (11.10)

Поскольку жидкость заключена между плоскостями z = 0 и z=h, очевидно, что выполнены следующие граничные условия:

6 = 0 1 (2 = 0

п [ для (11.11)

ш = 0J (z=h

Далее, если жидко*, гь граничит с твердой поверхностью и не мо* жет скользить вдоль нее, то

и* = Uy = 0, (И.12)

Но если поверхность жидкости является свободной, т. е. не подвержена действию тангенциальных напряжений, то

Рхг = Руг = 0. (11.13)

Прежде всего обратимся к тем свойствам, которые выводятся непосредственно из общего критерия устойчивости (разд. 7.12 и 7.13).

Условия устойчивости, обсужденные нами в разд. 11.3—11.5 специально записаны в терминах вещественных возмущений. Необходимо помнить, что соответствующие выражения в терминах комплексных возмущений можно легко получить, используя (2.76). Очевидно, что следствия в обоих случаях будут одинаковы. В разд. 11.6—11.8 мы будем использовать комплексную формулировку условий устойчивости.

11.3. Условия устойчивости для слоя жидкости

Применим к задаче Бенара отдельно термодинамическое (7.98) и гидродинамическое (7.102) условия устойчивости. Вследствие граничных условий (11.11) — (11.13) поверхностные интегралы (7.99) и (7.103) исчезают. Мы получаем условия устойчивости, содержащие лишь объемные интегралы

Р[е265]>0; Р[хЧЕш]<0. (11.14)

Развернутые выражения для соответствующих источников можно получить из уравнений баланса для приращений (7.96), (7.97) и (7.101). Они значительно упрощаются при использовании условия (11.2) и приближения Буссинеска (разд. 11.2). Используя феноменологические законы (11.10) и принимая т2 — 1, получим следующие уравнения:

ьРц 6vn = ьРцип = — Л ("/?/ + ип) ип = — 2Fi бр 6vt- = gapdw; (11.16)

6Wf6(s2T-l).f= Яе2Г2(97)Ч{ Л(е2)7(Г-?),.; (11.17)

— б(рцТ~[)д(e2vfч) + е2Т~1 6Pi, 6v,? / = 0; (11.18) e26v/[r7!6(pe) - (цГ-1)7бр] = - pcv$wte2T-\ (11.19)

В соотношении (11.15) мы использовали обозначение

= —(«г/4- ип); (11.20)

удобно также принять

е = Г0, (11.21)

где индекс «о» относится к невозмущенному состоянию. Тогда в уравнениях (11.17)—=?(! 1.19) следует положить бе2 = 0. Вследствиеэтого второй член в правой части (11.17) исчезает и уравнение принимает вид bWj 6ТЧ = Л(е>/)2. (11.22)

Мы имеем здесь типичный пример алгебраического упрощения, которое достигнуто подходящим выбором весовой функции. Теперь подставим эти соотношения в источники уравнений баланса (7.96) и (7.101). В результате получим условия устойчивости для задачи Бенара в развернутой форме.

Гидродинамическое условие устойчивости. Второе неравенство (11.14) дает

J [2vdf/ — gaQw — mn bp] dV > 0, (11.23)

где v — кинематическая вязкость:

v = -^. (11.24)

Поскольку слой неограничен в горизонтальных направлениях, возмущения 0, щ, bp — периодические функции х и у. Следовательно,, интегрирование по х и у сводится к усреднению в горизонтальной плоскости. Будем обозначать такие усредненные величины,'используя угловые скобки; тогда неравенство (11.23) можно записать в виде

н

J [2v (d2t/) - ga (Щ - v (un bp)\ dz>0. (11.25)

о

Последний член в (11.25) равен нулю, поскольку жидкость считается несжимаемой (11.6). Вычитая из подынтегрального выражения (11.25) нулевую величину v (и/-/)2 и интегрируя по частям первый член в (11.25), получим после некоторых упрощений

h

J* [v ((иг/)2) ~ ?<* <ев>>] dz > 0. (11.26)

о

Условие термодинамической

страница 55
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

Скачать книгу "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций" (3.09Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
ремонт холодильника Smeg FA720X
гдеможно удалить въмятину на машине в москве
компьютерный стол sb-t240b
ячейки для хранения сотовых телефонов

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(08.12.2016)