химический каталог




Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций

Автор П.Гленсдорф, И.Пригожин

нных задач вдали от локального равновесия (область нелинейности, система во внешнем поле и т. п.) уже невозможно вывести кинетические уравнения из лагранжиана. В этом разделе будет показано, что понятие локального потенциала, введенное ранее в макроскопической физике, можно использовать для определения функции распределения, по крайней мере методом последовательных приближений [124—126, 153].

Рассмотрим систему многих частиц, характеризуемую их мгновенными координатами xt и скоростями v*. Предположим, что система разрежена настолько, что столкновения между частицами можно считать мгновенными, и будем рассматривать только парные столкновения. Такие системы полностью описываются одно-частичной больцмановской функцией распределения f{Xi,Vi,t). Во внешнем поле сил F{ (на единицу массы) функция распределения / удовлетворяет уравнению Больцмана [30]

f+ v,-g7 + /i^7 = /(f,/), (10.80)

где /(/, f)—интеграл столкновений. В рассматриваемом приближении I(f, f) не зависит от Fi, Xi и t. Кроме того, в частном случае разреженного однокомпонентиого нейтрального газа, состоящего из молекул, не обладающих внутренними степенями свободы, /(/, /) имеет хорошо известный больцмановский вид:

/в = J с (k, k')i g |(f7; - ft) dv, dK. (10.81)

В этом выражении:, a — сечение рассеяния; штрих указывает на величину после столкновения; интегрирование по скоростям ведется в пределах от —оо до -\-оо и по единичной сфере для К; к — единичный вектор вдоль относительной скорости g —v— vb Заметим, что /в — нелинейный оператор по /. Это основная особенность кинетической теории, благодаря которой вдали от равновесия нельзя пользоваться обычным вариационным принципом.

Теперь, оставаясь в рамках теории флуктуации, перейдем к Лф^-пространству. В любой точке этого пространства в момент времени t функцию распределения f(xu v,-, t) можно рассматривать как функцию, флуктуирующую около некоторого среднего значения J. Пусть

f = f + 6f. (10.82)

Подставляя это выражение в (10.80), получим

Так же как и в разд. 10.9, умножим обе части (10.83) на —f~ldf и проинтегрируем по х(, V;. После аналогичных преобразований правая часть (10.83) принимает вид

3 ef rfv dx - J cr I 8ГI (f7; - ff,) 6 Ig f dv dv, dx dK. (10.84) Столкновительный член теперь можно симметризовать:

^со. = - ~ J сг| g - ff,)o lg ff, dv dv, rfx rfK =

= -j- J crI gr Iff, (l --^-)6 1g-^-rfvrfVjrfxrfK. (10.85)

Ясно, что величины (10.84) и (10.85) не являются полными дифференциалами по отношению к оператору 6. Следовательно, 3? нельзя записать в виде некоторой непрерывно дифференцируемой функции УР. Теперь воспользуемся фундаментальным свойством локального потенциала и построим новый функционал двух функций исходя из (10.84):

V(frf)=j(4 + vijL + Fi4;)\zfdvdx~\Jcr|g|ff,(l \g~~)dvdv{dxdK. (10.86)

Прямым вычислением можно проверить, что ^(U f) удовлетворяет

основным условиям (10.14) — (10.16), а именно:

а) вариационное уравнение

64{6ff,f) =0 * (10.87)

с дополнительным условием

f = f (10.88)

Дает уравнение Больцмана (10.80). В терминах теории флуктуации это условие можно, интерпретировать как отождествление наиболее вероятной функции распределения со средней;

б) функционал 4е(f, f) удовлетворяет условию

4(f,f)>W(f,f) или AW>0 (10.89)

Действительно, легко проверить, что приращение ДЧ*" по членам второго порядка содержит положительно .определенную квадратичную часть, зависящую от диссипации, а линейные члены взаимно уничтожаются, как в приведенных примерах. Следовательно, функционал Wt заданный уравнением (10.86), пригоден в качестве локального потенциала для уравнения (10.80). С помощью элементарных преобразований можно показать, что в пределе малых градиентов и внешних сил, т. е. когда система близка к равновесию, *Р становится функционалом от одной функции и сводится к лагранжиану для линейной области необратимых -процессов (см. также разд. 10.2). Такие лагранжианы тесно связаны с производством энтропии, выраженным здесь через функцию распределения, а не через термодинамические средние [131]. Однако в общем случае из уравнения (10.86) все же можно получить обобщенный вариационный принцип, пригодный для определения функции распределения в нелинейной области, что соответствует первому приближению Чепмена — Энскога (см. работу [30]).

Метод локального потенциала особенно интересен для разреженных газов и плазмы, где нельзя сделать предположения о локальном равновесии. Но даже в обычных задачах газокинетической теории этот метод можно использовать для вычисления высших приближений Чепмена — Энскога. Конечно, в этом случае пробные функции нужно выбирать, исходя из локальных равновесных распределений Максвелла. Читателя, интересующегося приложениями, отсылаем к оригинальным статьям, посвященным этому вопросу [27, 125].

10.12. Сравнение с другими вариационными методами

Метод локального потенциала позволяет решать несамосопряженные системы дифференциальных уравнений с помощью приближенных методов вариационн

страница 53
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

Скачать книгу "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций" (3.09Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
кплитка обнинск
Магазин KNSneva.ru предлагает купить ноутбук недорого в СПБ - офис-салон в Санкт-Петербурге, ул. Рузовская, д.11
тиесто в москве
контейнер для мусора пластиковый на двух колесах

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(05.12.2016)