химический каталог




Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций

Автор П.Гленсдорф, И.Пригожин

чу также можно исследовать вариационным самосогласованным методом, используя дополнительные условия в виде (10.27). Для этого случая достаточное условие сходимости последовательных приближений (10.47) имеет вид [S8]

^0 max ~~ ^0 rnin , (ca)max ~ (СДп!п Л Т ^ „ /1пК1\

7 h гот ——<л, (10.51)

A0min \со)тях Z 1

где

Сначала запишем уравнения баланса в компактном виде

Умножим обе части этих равенств на — &(\1УТ~1)} — T-l6vit 6T~l

соответственно, сложим их и проинтегрируем по всему объему; тогда правая часть примет вид

J {- [My)b(\iyT-1)- Ш Г"1 6v, + тЬТ~1} dV. (10.54)

Исходя из этого выражения, построим локальный потенциал в виде функционала

Ф= \^\Т, Т0; |iY, ц.у0; Vif vw] dV, (10.55)

который является обобщением (10.7) и должен удовлетворять основным условиям (10.14) — (10.16). Здесь опять Т, \ху и vt- — флуктуирующие переменные, тогда как TQ, \iyQ, v*o— неизменяющиеся известные решения. Например, непосредственное обобщение функционала (10.18), т. е.

F(T, То, |iYf u.v0; v*,vi0)= ${-[Жу}о11уТ-1-[$1Т-%У1 + [ЩоТ-1} dV,

(10.56)

нельзя интерпретировать как локальный потенциал, связанный со стационарным состоянием, по той же причине, что и для (10.18). Экстремали (10.56) дают законы сохранения типа^- = [^0 = 0. (10.57)

Однако условие (10.16) для абсолютного минимума не выполняется, так как из (10.56) следует, что

AF = J{- [Жу\ Д (ivT'M&r-1!, Ду* + [«Ъ ДГ"l] dV = 0. (10.58)

Чтобы получить подходящее выражение для локального потенциала, сначала в (10.54) проинтегрируем по частям члены, содержащие потоки Wj, pyAyj и Pij'i Эт0 приводит к следующему выражению:

+

+ Г;6Г^- ^pYAY/6(|iY7-1)-^70-!6vry +

+ ^ а,р6 (АРТ~1) - [(pevy)7 + Ptjvn] б?1"' +

+ S (PYV^7 6 + [(PV/V/7 - РЛ + РЧ) То' - Pi jTv]] OV,} dV.

y (10.59)

Предположим для простоты, что

р . — р.

Первые три члена в (10.59) представляют поток через ограничивающую поверхность системы Q. Для фиксированных граничных значений Т, \iy и v*, как и для исчезающих на границах потоков, эти члены обращаются в нуль. Вторые три члена в (10.59) можно привести к полному дифференциалу, пользуясь обычными феноменологическими законами (законами Фурье, Фика, Ньютона):

Wt = M*T?; pyAy} = -Dy(iiyT-y

Pij = - 2t\du\ dt,=~(vt4 + v/ч). (Ю.60)

Здесь Dy — коэффициент диффузии компонента у, a rj — коэффициент вязкости. Как и в разд. 10.2, предположим, что феноменологические коэффициенты в (10.60) не изменяются, т. е.

AT2 = VT02; Dy — DyQ; г] = %. (10.61)

Коэффициенты при остальных членах в (10.59) также будут считаться неизменными. Тогда для фиксированных граничных условий или исчезающих на границе потоков получим локальный потенциал

I Y

+W4+S «vV~' - [и**/).,+vp

+ 2 [(PyV/MoOV) + [(Pv/vr/ ~ P^i + Рч) T~l - PtjT'7% V,} dV.

* (10.62)

Это выражение является обобщением (10.17).

Чтобы показать, что функционал (10.62) удовлетворяет условиям, выведенным в разд. 10.2, (10.14) и (10.16), запишем соответствующие уравнения Эйлера — Лагранжа для экстремалей с учетом дополнительных условий (10.15):

T+ = TQ> Hv=IV» Yt==Yi0- (10.63)

Согласно (2.18) и (10.60), получим последовательно: Ъ2

6КГ_1)

= [(Pvv/)'/lo + [(PyAy/)'/]o — 2 vypMy^pO = - МУо = 0; (Ю.64)

6vt

= [(T~lPn)-i\o + tpv/vr/ ™ pFt + рч) T~[ - рцГ]% =

= T0~l [Pin + PV/vr/ ~ pFib = - T0~l Шо = 0; (10.65)

\~) - ™ [(pev,)., + Р<№]0 ™ PP,.,]0 = W\ = 0. (10.66)

Как и следовало ожидать, мы вновь получили стационарные уравнения баланса массы, импульса и энергии.

Остается вычислить ДФ, чтобы доказать, что условие (10.16) для строгого минимума также выполняется. Введем следующие обозначения:

0Y == \iyT~{ — iiy0T^1; Ui = \t — vi0;

0==r-i_r-t. Bti^dtf-dw (10.67)

и запишем (10.62) с помощью этих функций. Таким образом, получим

ф = Ф0 + J j -тг *оГо (е7)2 + ~ 2 Ј>yo (eY,/)2 + ъГо1г% +

+ Яо^Го./О-у + 2 Dy0(iiyT\4Qy4 + 2rl077'd,/0wn Y [(pev/)., + PttVi't]0 0+2 (Pyv/)-/o °Y — 2 2 «WMy9y +

Y P Y

+ [(pv/vr/ ~ pFt + рч) T~l - puT-j% Ui) dV, (10.68)

а затем проинтегрируем по частям члены, содержащие градиенты 0Y- /, tifj и 0-/. После обращения в нуль граничных членов, получаем

ДФ=|Н ЯоГо(О'/)' + \2 Dv0 (0Y'/)2 + ~

I Y [jrYj0 0Y - ta^" Vi-f- [#]0 e) dv. (io.69)

Отсюда видно, что, согласно (10.64) — (10.66), линейная по отклонениям часть исчезает. Положение здесь такое же, как и в (10.12) для задачи теплопроводности, и условие минимума (10.16) удовлетворяется тождественно, так как

дф=I! т (е-/)2+42 D*>(ev/)2+пл-^ 1dv > °- (10-70)

Y

Уравнение (10.62) является общим выражением локального потенциала (10.55).

Конечно, возможны и другие формулировки, например с использованием множителей, определенных в (9.84) [58]. Кроме того, ради простоты, мы не интегрировали по частям тот член в (10.59), который соответствует химическим процессам. Это позволило нам избежать дополнительных выкладок, связанных с конкретизацией законов химической кинетики. Во всяком случае, метод от этого не меняется. Подчеркнем также,

страница 51
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

Скачать книгу "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций" (3.09Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
качественная посуда из нержавеющей стали
стол пластиковый овальный для дачи
www.askona.ru матрасы
размеры знака инвалид на стекле авто

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(29.03.2017)