химический каталог




Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций

Автор П.Гленсдорф, И.Пригожин

и 0П, вычтем (10.29) из (10.28), затем умножим подынтегральное выражение на (аоь — а&) и просуммируем по к. Замечая, что

л

0« — 2 («о* — a*) k=i

получим

J" в„ [ЛовГояГЙ/ - UTVfn}i\4 dV = 0. (10.36)

После интегрирования по частям и с учетом исчезновения граничного члена уравнение (10.36) принимает вид

jUTl (Опч)2dV = - \{%onTln-^T2o) ея7 [774 (в„ + ея)]7 dV. (10.37)

Оперируя этим уравнением, так же, как и при выводе (10.13), можно показать, что левая часть (10.37) равна удвоенному приращению

Ф(Топ, Т0)-Ф(ТП1 Т0).

При малых б„ и 8П в разложении можно оставить только члены первого порядка:

UnTln = Я0Г? + (ЯоГо)' (в„ Н- ея) + (10.38)

которые в уравнении (10.37) становятся членами второго порядка. Тогда получаем

J XoTl(Qn4fdV = - j {en + en)Qn4(Wo).tdV. (10.39) Это соотношение дает следующее неравенство между модулями:

(^оГо)т,п j (е„7)2 dv < | (х0Го)7 |тах J (I е„ | +1 вп I) | e„v i dv. (10.40)

Индексы «тт» и «тах» означают соответственно нижний и верхний пределы при данном V; хотя эти пределы неизвестны, они не зависят от приближения. Применим к каждому члену в правой части (10.40) неравенство Шварца ) и разделим затем обе части неравенства на величину

Y[\$n4?dv]

В результате

(^оГ2о)т1п [j(Qn4)2dvf< |(ы1)7|фах{ Je«dy]'4[ J4 dv]k). (10.41) Используя неравенство )

J (0„7)2 dV > ~ J G„ dV, (10.42)

можно избавиться от производной В„/ в левой части (10.41). Здесь L — длина, определяемая равенством

ТТ=^г + ^г+^. <10-43>

где а, Ь, с — ребра параллелепипеда, заключающего объем V, вдоль осей х, у и z соответственно. Запишем также

IЦ ?= (V°)m" ~(^""" . (10.44)

где (ЯоГо)тах соответствует экстраполяции до указанного значения длины L. Вообще говоря, эта экстраполяция будет больше максимума kQTo внутри объема. Наконец, подставляя (10.42) и (10.44) в неравенство (10.41), получаем

(UoTtLin я — [(^оГо)тах — UoT^min]} [ J" д2п dV^ <

<

[(Лоттах ~ (лЛы! [ J 6« * (10-45)

Согласно (10.34), этим соотношением устанавливается сходимость в среднем при условии, что

(VoU* - (vSLn < л> (1(U6)

Неравенство (10.46) является лишь достаточным условием. Пользуясь, например, переменной Т, а не 7м, и лагранжианом (10.19) вместо (10.8), можно тем же способом получить несколько отличное условие:

Я° ma* ~ Я°min < я. (10.47)

Ло mln

Более тонкий анализ мог бы дать менее жесткие условия. При некоторых зависимостях А. от Т может быть даже так, что не потребуется никакого дополнительного условия, как и в обычном методе Релея — Ритца.

Мы видим, что положение здесь такое же, как в обычных самосопряженных задачах. Существование вариационного метода позволяет найти некоторые дополнительные свойства, не вытекающие из уравнений Галеркина (10.28). Но так как локальный потенциал не является истинным, выводы получаются менее убедительные, чем в обычной самосопряженной задаче. На самом деле сходимость метода локального потенциала выходит за рамки области, ограниченной выведенным выше достаточным условием. В качестве примера рассмотрим экспоненциальную зависимость К от Т [175]

UT)==yexp(-pT). (10.48)

В работе [175] автор исследовал одномерную стационарную задачу теплопроводности в изотропной среде, заключенной между стенками, которые поддерживаются при заданной температуре. В этом простом случае можно получить точное решение. Оно соответствует минимуму потенциала [ср. с (7.15)]:

Х2

ф(р, y)=4-J(iI)2^ (10-49)

Сравнение значений Ф, полученных из точного решения и методом локального потенциала (табл. 10.1), указывает на очень быструю сходимость в области, гораздо более широкой, чем следует из условий (10.46) и (10.47). Результаты, полученные методом локального потенциала, соответствуют первому приближению, т. е. одному члену в системе (10.25). Учитывая замечание относительно равенства (10.17), можно доказать, чго условия сходимости (10.46) и (10.47) справедливы и без ограничений (10.38) и (10.39) на величины отклонений Вп и еп [58]. Как и в классическом методе, здесь труднее всего доказать полноту системы функций ф&.

Таблица 10.1

х2

Y = 2; 7!=300, дг, =0; Т2 = 500, х2 = 1

В Точное решение Метод локального потенциала

0 8 • 104 8- !04

1. ю-4 7,386 • 104 7,388- 104

1. ю-3 3,607- 104 3,609- Ю*

5- 10"' 15,915- 10* 15,936- 102

1 • ю-2 37,53 37,75

6-I • ю-2 ю-1 -1 1,288 - 10"13 1,75. Ю~2в 5,30 - 10"261 3,866- 10~13 4,37 - 10~2е 265. Ю~261

10.6 Временные задачи

Рассмотрим лагранжиан (10.23) и предположим, что зависящее от времени решение Тй(х^1) уравнения Фурье (10.24) можно разложить по полной системе функций {щ(х^ t)} всюду в объеме V и для всех значений t. Предположим также, что эти функции линейно независимы и каждая из них удовлетворяет граничным условиям при всех значениях времени tt Кроме того, допустим, что

начальное условие при t ~ 0 можно аппроксимировать следующим образом:

п п

Тп1 = S «ftЭти соотношения будут использованы вместо (10.25).

Такую Еременную зада

страница 50
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

Скачать книгу "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций" (3.09Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
курсы мастера по ремонту холодильного оборудования в тюмени
дома на новой риге от собственника недорого
Электрические котлы Vaillant eloBLOCK VE 12
купить шашку такси на магнитах украине

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(03.12.2016)