химический каталог




Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций

Автор П.Гленсдорф, И.Пригожин

1] dV +

+ |J 6(кТ2)б(Т~11У dV. (10.22)

Так как левая часть (10.22) та же, что и в уравнении (10.6), два члена в правой части соответствуют положительному производству избыточной энтропии и остаются, как и предполагалось, величинами, второго порядка. С помощью первого члена построим локальный потенциал. Для этого лагранжиан (10.8) заменим выражением, зависящим от времени )

и зададим дополнительное условие (10.10) для всех t. В этом случае уравнение Эйлера — Лагранжа будет совпадать с уравнением теплопроводности, зависящим от времени:

(jpr) =(V07)./-P0c»„5(r0 = 0. (Ю:24)

С другой стороны, из-за того, что в ДФ новый зависящий от времени член и линейный по 0 член взаимно уничтожаются, выполняется условие абсолютного минимума (10.13). Поэтому и здесь изменение локального потенциала дает положительный вклад в производство избыточной энтропии и является минимальным для макроскопического движения. Наконец, сохраняются все свойства, установленные для стационарного состояния, за исключением (10.20). Поэтому нельзя вывести простое соотношение между локальным потенциалом и производством энтропии.

10.4. Сравнение с методом Галеркина

Рассмотрим нелинейную задачу теплопроводности в стационарном случае. Предположим, что решение TQ(Xj) уравнения Фурье (10.11) всюду в объеме V можно разложить по полной системе линейно независимых функций {щ(х^)}у каждая из которых удовлетворяет граничным условиям. Запишем приближения п-ro порядка

п п

Тп1 = 2 0№ ( /) и То,! = Sa0^W, (10.25)

i i

где {а} и {ао} — две системы параметров, и подставим их в локальный потенциал Ф(Г, Г0). Проведем минимизацию, как в обычном методе Релея — Ритца [87], по каждому параметру ah при постоянных {а0}. Тогда, после интегрирования по х,- получим систему п уравнений

/({«}, Ы) = 0. (10.26)

Пользуясь дополнительным условием (10.10), записанным в виде

{<х}=ф0}, (Ю.27)

сведем систему (10.26) к п уравнениям для параметров аок- Этот подход к вариационной задаче можно интерпретировать как самосогласованный, поскольку его следует понимать как схему последовательных приближений.

Подставляя приближения (10.25) в лагранжиан (10.8), после интегрирования по частям и обращения в нуль граничных членов, получим п уравнений для а0&:

1 »[Vo»v].;- <10-28)

(k — 1, 2, ..., п)

Отсюда сразу видно, что п подынтегральных выражений имеют вид произведения ортогональной функции удовлетворяющей граничным условиям, на соответствующее приближение левой части уравнения Фурье (10.11), решение которого мы ищем. Следовательно, при численном расчете самосогласованный метод сводится к хорошо известному методу Галеркина [87]. Следуя этому методу, надо в уравнение теплопроводности (10.11) подставить приближение я-го порядка (10.25) (опускаем индекс «0»). Тогда п коэффициентов ад определяются п условиями ортогональности:

J(W;).;M"-0Ясно, что система уравнений (10.28) идентична этим уравнениям.

Как будет показано в следующем разделе, вариационный самосогласованный метод позволяет доказать сходимость последовательных приближений. Это доказательство основано на том, что Ф(Т, TQ) имеет минимум при Т = Г0 (10.16); оно является прямым следствием вариационных свойств локального потенциала, отсутствующего в методе Галеркина. Кроме того, локальный потенциал дает простую физическую интерпретацию метода Галеркина. Действительно, как мы-уже видели, уравнение (10.28) отражает тот факт, что наиболее вероятное решение совпадает со средним.

10.5. Сходимость самосогласованного метода

Рассмотрим величину Т„1, которая минимизирует локальный потенциал (10.7), когда класс пробных функций ограничен семейством (10.25), в котором То1 заменено его точным значением. После минимизации по параметрам а& и интегрирования по частям лолучим систему п уравнений:

Последовательность минимумов локального потенциала, конечно, не возрастает с увеличением я, так как каждое последующее се-мейотв© содержит все функции из предыдущего. Таким образом, имеем неравенства

Ф(Г„ Г0)>Ф(Г2, Г0)...>Ф(ГП, Г0)...>Ф(Г0> Го). (Ю.ЗО)

Для полной системы функций можно найти такое п, для которого Ф(ГП, Г0) будет сколь угодно близким приближением к точному минимуму Ф(Г0, Г0), а именно

е„ ^Г^"1— Го-1-*0 при п-+оо. (10.31)

До сих пор мы интересовались свойствами сходимости классического метода Релея — Ритца в приложении к истинному потенциалу, и Г0 в уравнении (10.29) фигурировало как параметр, не

Ф(Т,тд)

т

Рис. 10.3. Зависимость локального потенциала Ф(Г, Та) от температуры Т.

М—минимальное значение точного решения; R — минимум для /i-го приближения по методу Релея—Ритца; S — самосоглассованное решение в том же приближении.

зависящий от приближения. Вернемся теперь к решению Го^1 уравнения (10.28); предположим, что

ел = г0-' == Пп- (Ю.32)

Мы хотим найти условия, при которых для всех п (рис. 10.3)

|6Я|<|8Я| (10.33)

или, по крайней мере, имеется сходимость в среднем:

Y\&ndV Чтобы ввест

страница 49
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

Скачать книгу "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций" (3.09Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
шинглас джаз цена
KNS.ru - гипермаркет электроники предлагает HP PageWide в Москве и с доставкой по городам России.
ручки дверные с планкой межкомнатные
сетка сварная купить в ярославле аксон

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(24.06.2017)