химический каталог




Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций

Автор П.Гленсдорф, И.Пригожин

жения такого типа были исследованы Шехтером [166].

10.2. Локальный потенциал в задаче теплопроводности

Рассмотрим уравнение баланса энергии (1.44) в твердом теле:

9dte = -Wrh- (10.1)

Умножим обе его части на 67м и проинтегрируем по всему объему. После интегрирования правой части по частям для фиксированных граничных условий получим

J pbT^dtedV^* \ W/brfdV (10.2)

или, используя закон Фурье (3.11),

\pWrxdfdV = ^\M*b{rrffdV. (10.3)

Здесь рассматривается стационарная задача, а зависимость от времени будет изучена в разд. 10.3. Вблизи стационарного состояния, характеризуемого температурой T0(XJ), имеем

dte = dt6e (10.4)

и, если пренебречь членами более высокого порядка,

ЯГ2 = ЯоГо +б(ЯГ2). (10.5)

Тогда соотношение (10.3) можно записать в виде

j* 98T~]dt6edV =1 | XoTlbiT^fdV + 1J б(яГ2) б^1)2 rfK. (10.6)

Согласно уравнению (7.1), левая часть (10.6) равна ~dt62S. Следовательно, правая часть соответствует производству избыточной Энтропии. Так как в данном случае условие устойчивости выполнено [см. (7.8) и (7.19)], производство избыточной энтропии положительно.

В окрестности стационарного состояния обе части (10.1)—величины первого порядка. Таким образом, уравнение (10.6) устанавливает соотношение между величинами второго порядка и поэтому вторым членом в правой части (10.6) нельзя пренебречь по сравнению с первым. По той же причине знак одного первого члена не определяется условием устойчивости. Исследуем знак первого члена отдельно. Для этого введем следующее обозначение:

Ф(7\ Т0)=$ &(Т, To)dV, (10.7)

где подынтегральное выражение — лагранжиан

&(Tt TQ)=-jKT\{T'jlf; (10.8)

тогда первый член в (10.6) равен 6Ф. Величина Ф является функционалом двух переменных: неварьируемой переменной Г0 — предполагаемого решения (оно еще будет определено) — и переменной Г, которая варьируется. Ниже будет показано, что Т можно интерпретировать как флуктуирующее температурное распределение, среднее от которого равно Го [см. (10.21)].

Исследуем теперь условие, при котором интеграл Ф стационарен (экстремален) по отношению к вариациям Т. Это классическая задача вариационного исчисления [32]. Условие стационарности дается уравнением Эйлера — Лагранжа:

67

1

= -(x0TlT'il)4 = 0. (10.9)

При этом мы должны считать, что решение Т+(х^) этого уравнения совпадает с предполагаемым решением Го. Это a posteriori приводит к дополнительному условию:

Г+ = Г0, (10.10)

подставляя которое в (10.9), получим экстремаль х, е. стационарное уравнение задачи теплопроводности. Таким образом, подынтегральное выражение (10.8) функционала (10.7) можно интерпретировать как обобщенный лагранжиан. Исследуем природу этого экстремума. Для этого вычислим Ф(Т, Г0) вблизи стационарного состояния. Получим

ДФ = Ф(7\ Г0)-Ф(Г0, Г0) =

= ЪоТ1 {[(Го"1 + О),,]2 - \Пч]2} dV (0 = Г"1 - Го"1)- (ЮЛ2)

Раскрывая скобки в правой части (10.12) и интегрируя по частям линейный по 0 член, увидим, что этот член равен нулю благодаря (10.11). Следовательно, вблизи стационарного состояния

ДФ = -^ j X0Tl(Q>jfdV >0. (10.13)

Поэтому экстремум Ф соответствует абсолютному минимуму. Функционалы, обладающие свойствами (10.11) и (10.13), будем называть локальными потенциалами (локальными по отношению к функции То). С другой стороны, из (10.13) следует, что первый член в правой части (10.6) положителен.

Вообще функционал типа Ф(г/ь г/?0) от нескольких функций Уи{& = 1, 2, ...) будем называть локальным потенциалом, если выполнены следующие условия:

1) условие первого порядка для минимума Ф по отношению к уи

6Ф = 0 (10.14)

совместно с дополнительными условиями

(10Л5)

не противоречат законам сохранения для уъ.\

2) условие более высокого порядка

ДФ>0 (10.16)

для абсолютного минимума всегда выполнено.

Отметим, что условие второго порядка, менее жесткое, чем

условие (10.16),

ДФ=-^-62Ф>0 (10.17)

нам не подходит, так как пользоваться локальным потенциалом в качестве основы вариационной техники значит пользоваться пробными функциями, соответствующими произвольным отклонением от неизвестного решения. Например, по определению функционал

F(Т, Г0)= j WojT^ dV= \ hTlTvljT~/ dV (10.18)

F(T,T0) Ф(Т,Т0)

P[dS)>0

т

Уок

Ж

т0

Ум

P[6S]<0

Кроме того, в задаче теплопроводности знак ЛФ в (10.16) совпадает со знаком (10.6), так как условие устойчивости здесь выполнено. Но этого уже не будет в задачах, допускающих неустойчивое решение*). Такая ситуация представлена

,ф(Ук>Уок) на Рис- 101> где Функционалы изображены как обычные функции.

В устойчивом состоянии локальный потенциал всегда имеет минимальное значение, и поэтому любое его изменение приводит к положительной величине производства избыточной энтропии.

В данной задаче локальный потенциал далеко не единственный, и тем же способом, используя ранее рассмотренные множители, можно построить несколько лагранжианов. Например, в задаче теплопроводности, кроме лагранжиана (10.8), можно рассмотреть следующие выражения:

Рис. 10.1. а — локальный потенциал Ф

страница 47
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

Скачать книгу "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций" (3.09Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
эустомы букет купить в москве
Рекомендуем компанию Ренесанс - металлическая винтовая лестница - цена ниже, качество выше!
кресло руководителя ch 993
зимнее хранение скутера цена

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(10.12.2016)