химический каталог




Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций

Автор П.Гленсдорф, И.Пригожин

е и конвекция. В этом случае неустойчивость макроскопических масштабов наблюдается очень часто; явления такого рода подробно изучаются в гл. 11.

7.3. Теорема Гельмгольца о движении вязких жидкостей

В качестве второго примера рассмотрим медленное стационарное движение вязкой несжимаемой жидкости во внешнем поле потенциальных сил. Предположим, что жидкость находится при постоянной температуре, что для достаточно медленного движения вполне оправдано. При этих условиях энтропия s(p, Г) остается постоянной. Будем рассматривать только те возмущения, при которых температура и плотность не изменяются (6Г == бр = 0), и поэтому 6s = 62s = 0. И, наконец, поле скоростей на границе будем считать заданным (6VJ = 0 на Q). Согласно (6.18), критерий устойчивости в этом случае выражается через возмущение кинетической энергии.

Поскольку движение медленное, можно пренебречь инерциаль-ными членами pVjVy^ в уравнении (1.29) как величинами второго порядка малости и использовать упрощенное уравнение движения

9dtYi = pFt~-Pin. (7.29)

Тогда для малых возмущений имеем

Pdtdvt = -6(Pin) (7.30)

и

ypc5i(6v)2--6v/6(P/r/). (7.31)

Интегрируя последнее равенство по всему объему, получим [ср. с (1.32)]

у Jpd,(ov)W = J 6Plj6Yt4dV. (7.32)

При выводе этой формулы были использованы граничные условия и условие несжимаемости

vn = 0 (р = const). (7.33)

Точно так же, как в случае теплопроводности (7.5), устойчивость определяется производством избыточной энтропии, которое появляется в правой части выражения (7.32) (с точностью до постоянного множителя Го"1); чтобы выяснить знак, надо в (7.32) ввести феноменологический закон.

Примем линейный закон ньютоновской жидкости, соответствующий приближению линейной термодинамики необратимых процессов (гл. 3):

P//-=-Ti(vr/ + vn), (7.34)

где ц — коэффициент вязкости. Предположим также, что ц постоянна (более общие случаи см. в гл. 12). Тогда

бРи из соотношения (7.32) вытекает критерий устойчивости

J odt [bvfdV = - j n [6 (Vr, + vn)]2 tfV < 0, (7.36)

который удовлетворяется тождественно, так как коэффициент вязкости — величина всегда положительная, что следует из положительной определенности производства энтропии (2.21), Выражение

2Ffe j П (vfj + у,-,)2 dV > 0, (7.37)

введенное Релеем, называется диссипативной функцией. С помощью этой функции неравенство (7.36) можно записать в виде

62F>0. (7,38)

Кроме того, если рассматриваемое состояние стационарно, то одновременно с (7.38) выполняется равенство

6F = 0. (7.39)

Это легко показать, используя для вычисления 6F выражения (7.37) и (7.29), переписанные для стационарного состояния.

Таким образом, диссипативная функция минимальна в стацио^ нарном состоянии. Это классическая теорема Гельмгольца — Корт-вега [98]. В данном случае наше условие устойчивости приводит к хорошо известной теореме гидродинамики, аналогичной теореме о минимуме производства энтропии, так как имеет место равенство

P[S] = FT~\

Даже для^ нестационарных состояний неравенство (7.38) обеспечивает устойчивость по отношению к малым возмущениям.

Интересно подробнее сравнить проблему термической устойчивости (разд. 7.2) с исследованной здесь задачей. Оказывается, что в обоих случаях устойчивость имеет разную природу. Термическая устойчивость связана с затуханием во времени флуктуации энтропии |82s|, тогда как устойчивость по Гельмгольцу связана с затуханием флуктуации кинетической энергии (Sv)2 или 62(v2/2) [ср. с (6.24)]. Гидродинамический случай интуитивно более понятен: если возмущение кинетической энергии (6v)2 возрастает при расходе тепловой энергии, то мы выходим из области медленного ламинарного течения и рассматриваемое состояние становится неустойчивым [114]. В отличие от чистой теплопроводности, когда в рамках макроскопического описания неустойчивость получить вообще нельзя, теорема Гельмгольца справедлива только для медленного движения. Действительно, в этом разделе мы пренебрегли нелинейными членами в уравнениях движения (7.29). Если же их учесть, то нельзя будет доказать устойчивость ламинарного движения. Как показано в гл. 12, ламинарное течение становится неустойчивым и система, в конце концов, переходит в турбулентный режим.

7.4. Химические реакции

В качестве третьего примера рассмотрим случай химических реакций в однородных покоящихся системах. Соотношения (6.15) и (1.28) прямо дают условие устойчивости

1. dtb2s = Т~1УЛ bw0 ЬЛр > 0. (7.40)

Р

Здесь снова фундаментальной величиной, определяющей устойчивость, является производство избыточной энтропии в смысле (7.6), связанное с возмущением химического сродства и соответствующих скоростей реакций. Это можно записать следующим образом [ср. с (2.21)]:

сг[б5] = Г !2б^рбЛр. (7.41)

Особый интерес представляют химически неравновесные стационарные состояния (разд. 3.4). И снова в строго линейном случае знак (7.41) положителен, и все стационарные состояния устойчивы. Однако, как уже отмечалось в разд. 3.4, встречаются случаи, когда скоро

страница 32
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

Скачать книгу "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций" (3.09Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
аренда аппаратуры
Рекомендуем компанию Ренесанс - лестница для бассейна купить - продажа, доставка, монтаж.
престиж самба кресло
Супермаркет техники KNSneva.ru предлагает роутер MikroTik - отправка товаров из Санкт-Петербурга во все населенные пункты северо-запада России.

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(10.12.2016)