химический каталог




Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций

Автор П.Гленсдорф, И.Пригожин

ем (6.17), заменяет удельную энтропию s. Тогда, интегрируя (6.27) и (6.28), получим

62Z < 0 (6.30)

И dtb2Z>0 (>0). (6.31)

Эти соотношения обобщают неравенства (6.13) и (6.12) соответственно на случай неравновесных процессов, включающих как диссипативные, так и конвективные эффекты. Следовательно, они представляют собой общее достаточное термодинамическое и гидродинамическое условие устойчивости (^0) или асимптотической устойчивости (>0). Мы воспользуемся этими неравенствами в следующей главе, чтобы получить конкретные критерии устойчивости для частных случаев.

Заметим также, что для покоящихся систем, находящихся в механическом равновесии, vt- = 0 и Z — S [согласно (6.17)]. И несмотря на это, 62Z, вообще говоря, отличается от б25 из-за флуктуации скорости в состоянии покоя (бУг^О).

6.8. Сравнение с кинетической теорией устойчивости

Мы уже убедились в простейшем случае, что термодинамические условия устойчивости в равновесии эквивалентны кинетическим (разд. 5.3). Мы хотим расширить этот вывод на более общий случай неравновесных стационарных состояний. Как и ранее, рассмотрим одну нормальную моду. Временное изменение величины бф тогда описывается равенством

о\6ф —собф. (6.32)

Однако здесь частота со содержит и действительную и мнимую части, как и в (2.70), поэтому необходимо ввести комплексные переменные в соответствии с методом, развитым в разд. 2.6. Из неравенства (6.27)

6т (р2) =1 {бГ"1 б (ре)* + 6Г"1* б (ре) - " 2 [6 К7" " т ro-V) 6Р; + б (р./-' -1 г; V)' 6Py] Y г-' [6v, 6(Pv,)-+5V;6(py.)]} < о. (б.зз)

Применяя ту же процедуру к временной производной (6.28), получим сразу

(pz) = 2©,^ (pz). (6.34)

Очень важно, что выражение (6.34) содержит только действительную часть частоты сог. Это, конечно, является прямым следствием

2 2

определения Ьт(рг) или 6mz*). Очевидно, что наши условия устойчивости (6.20) и (6.21) так же, как и (6.25) и (6.26) или интегральные выражения (6.30) — (6.31), переписанные с помощью

оператора Ь2т, дают для каждой нормальной моды

юг<0. (6.35)

В линейной теории устойчивости вообще предполагается, что самое общее возмущение можно разложить по полному набору нормальных мод [28].

Наоборот, если допустить, что cor ^ 0 и 62(рг)<С0 (отсюда

следует, как подчеркивалось в разд. 2.6, что 6^ (pz) < 0), то из соотношения (6.34) видно, что

d,6m(pz)>0 (>0) (6.36)

для каждой нормальной моды. Следовательно, неравенство (6.36) или соответствующая ему интегральная форма

dtblZ^O (>0) (6.37)

становится необходимым и достаточным условием устойчивости.

В случае произвольного возмущения, образованного суперпозицией двух или более нормальных мод, правая часть (6.34) будет зависеть также от мнимых частей coi соответствующих частот. Их знак может быть тогда или положительным, или отрицательным даже для устойчивых систем. Однако на больших временах, t-**oo, убывающие члены ехр {—|сог|^} становятся определяющими и dtbm (pz) стремятся к положительным значениям. Теперь видно, почему наше основное условие устойчивости (6.31) или (6.37) является слишком строгим требованием в общем случае произвольного малого возмущения и дает нам только достаточное условие устойчивости**).

В связи с этим необходимо отметить, что даже для отдельной комплексной нормальной моды и ее комплексно-сопряженной знак

*) Для рассматриваемых состояний требование, чтобы временные производные вычислялись при постоянных коэффициентах, удовлетворяется тождественно.

**) Менее жесткое необходимое и достаточное условие означало бы, что через достаточно большой промежуток времени At соответствующее приращение

Ao^Z становится положительным. Такая возможность в этой книге не рассмат*

ривается.

также зависит от соь Это можно доказать, применяя выражение (2.71) к каждому приращению, входящему в правую часть неравенства (6.28). Таким образом, свойство, выражаемое соотноше* нием (6.34), является типичным для смешанного второго дифференциала, определенного в гл. 2. Итак, система неравенств

62Z<0, dtb2Z^0 (t^to) (6.38)

дает нам достаточное условие устойчивости (^0) или асимптотической устойчивости (>0). Аналогично система неравенств

b2mZ<0 dtblZ>0 (t>t0) (6.39)

является необходимым и достаточным условием устойчивости (^0) или асимптотической устойчивости (>0) для каждой нормальной моды в отдельности вместе с ее комплексно-сопряженной. Во всех случаях в квадратичной форме 62(pz) временная производная вычисляется при постоянных коэффициентах cv, х, Pyv> о, То .

И, наконец, если во втором соотношении (6.38) знак равенства справедлив для всех t и, кроме того, выполняется первое соотношение, то bmZ становится константой. Возмущенное движение в этом случае отвечает состоянию на границе устойчивости.

6.9. Раздельные термодинамическое и гидродинамическое условия устойчивости

Различные выражения условий устойчивости (6.38) и (6.39) можно получить, вводя подходящую весовую функцию в основную квадратичную форму (6.25). Можно, например, исходить из функции Ляпунова

62(р?) =

страница 29
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

Скачать книгу "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций" (3.09Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
md 550 planima стойка для тв
курсы компьютерной грамотности в москве
такси в аренду тойота камри
31.07.2017 мерлин мэнсон

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(09.12.2016)