химический каталог




Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций

Автор П.Гленсдорф, И.Пригожин

для широкого круга макроскопических систем.

В данной главе мы выведем общие условия устойчивости неравновесных процессов, вытекающие из самого определения устойчивости. Эти условия можно рассматривать как дополнительные к тем, которые были выведены для равновесной теории (гл. 5). Затем мы кратко обсудим их связь с методом Ляпунова, принципом Ле Шателье — Брауна и с кинетической теорией устойчивости.

6.2. Определение устойчивости. Функции Ляпунова

Для начала введем точное определение устойчивости, которое было бы справедливо при достаточно общих условиях, включая как равновесные, так и неравновесные состояния.

Рассмотрим произвольную точку внутри системы объема V. Обозначая через х совокупность независимых переменных, характеризующих состояние системы в этой точке, запишем

локальное изменение состояния *)

x = y(t, t0, х0), (6.1)

где XQ обозначает состояние в момент времени tQ. Здесь предполагается, что ср — функция, непрерывно дифференцируемая по t (t^tQ). Кроме того, предположим, что (6.1) остается справедливым - в окрестности х0, определяемой некоторым отклонением б. Величина

y(t) = q>(t>, *о+6)-Ф(г, *0) " (6.2)

характеризует изменение функции ф, вызванное первоначальным возмущением б в момент времени t. Из непрерывности ф следует, что |у(0! мало, если мало |б| и не слишком велико t. Здесь означает расстояние К(2 УТ} в пространстве состояний. Это приводит к следующему определению устойчивости движения (6.1): если для любого 8>0 существует /г(е)>0, такое, что

|ф(*; х0 + в)-ф(/; *0)1<е (6.3)

при всех значениях t, как только |б| <&(е), то говорят, что движение (6.1) устойчиво по Ляпунову (подробнее об устойчивости по Ляпунову см. работу [134]).

Кроме того, устойчивость будет асимптотической (или полной), если для всех допустимых б

lim | <р (?; *0 + б) — ф (t; х0) \ = 0. (6.4)

В этом случае возмущенное движение стремится вернуться к первоначальному при t —+ оо. Поэтому если положительно определенная сумма у2 (квадрат расстояния) не возрастает, другими словами, ее производная по времени удовлетворяет условию

(Л<0 (<0) (6.5)

при всех значениях t, то движение (6.1) будет устойчивым (=^0) или асимптотически устойчивым (<0). Однако в обоих случаях (6.5) является только достаточным условием, так как осциллирующие возмущения у2, совместимые с основным определением устойчивости, здесь не рассматриваются.

*) Функция ф в уравнении (6.1) допускает существование циклов и пересе-чаннй в пространстве состояний.

Аналогично, используя вместо у2 другие положительно (или отрицательно) определенные квадратичные формы с постоянными коэффициентами, можно получить различные достаточные условия устойчивости. Знакоопределенная функция типа у2, которая приводит к условию устойчивости (6.5), называется «функцией Ляпунова».

6.3. Устойчивость диссипативных систем

Метод баланса энтропии (гл. 5) нельзя без модификаций применить к проблеме устойчивости неравновесных состояний (ни стационарных, ни зависящих от времени). Действительно, при произвольном отклонении от термодинамического равновесия мы уже не можем разделить уравнение баланса энтропии (5.1) на два: (5.7) и (5.8), так как производство энтропии больше не является величиной второго порядка малости. Поэтому неравенство (5.12), из которого мы исходили при построении теории устойчивости равновесного состояния, в данном случае не выполняется.

Однако мы все еще можем использовать фундаментальное предположение о локальном равновесии. Кроме того, всегда будем предполагать, что состояние локального равновесия устойчиво. Согласно (5.17) или (5.18), это означает, что

62s < 0 или б2 (ps) < 0.

(6.6)

Кроме того, из (2.58) и (2.62) следует, что эти величины являются отрицательно определенными формами приращений независимых переменных е, v, Ny и ре, рг соответственно, которые характеризуют локальное состояние диссипативной системы (т. е. системы без конвекции). Поэтому теорию устойчивости следует строить на основе функций 62s или 62(ps) как функций Ляпунова в том смысле, как они были определены в предыдущем разделе. Таким образом, мы получим условия устойчивости

остаются постоянными, т. е. теми же, что и в момент времени U. Этот индекс, как и условие асимптотической устойчивости в (6.5), будет подразумеваться во всех последующих формулах.

Сравним более подробно условия (6.7) с альтернативным определением устойчивости, основанным на неравенстве (6.5) и обобщении классического принципа Ле Шателье — Брауна в равновесной термодинамике.

6.4. Теоремы демпфирования и принцип Ле Шателье — Брауна

Применяя неравенство (6.5) к случаю асимптотической устойчивости в переменных е, v, Ny, получим

бе (бе) -f 6v (60) + 6Ny (6Ny) < 0.

(6.8)

Вблизи равновесия имеем

(6е) = ё, (6р) = 0, (6Лу = М

(6.9)

поэтому из (6.8) следуют неравенства

ё Ье < 0 (У, JVy = const);

v 6v < 0 (е, JVy = const); (6.10)

A/Y 6yVY < 0 (e, v — const).

В равновесной термодинамике такие неравенства хорошо известны; они соответствуют так назы

страница 26
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

Скачать книгу "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций" (3.09Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
дачные участки по новой риге от 50 до 120 км
Рекомендуем фирму Ренесанс - купить деревянную лестницу в дом на второй этаж деревянную дешево цена - доставка, монтаж.
Установка чейнджеров CD/DVD/MP3
краснодар купить термобелье

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(08.12.2016)