химический каталог




Курс физической химии. Том II

Автор Я.И.Герасимов

ости не зависит от ее направления. Интеграл в знаменателе равен (2nmkT)tf4. В числителе интегрирование по координате х даст величину /. Остается, таким образом, интеграл

+<*>

т J e-muV2kTц2 du Обозначим m/2kT через а. Тогда интегрирование сведется к

+ оо

взятию табличного интеграла вида m j* e~axlx2 dx, который равен

Следовательно,

(kT)44 ът

«2 = -^^ т. = — (Ш,44)

(2nmkT)f*l m

а средняя кинетическая энергия молекулы для одной степени свободы

1 ma2 = YkT ' <ш»45)

в) Определение средней скорости молекул в трехмерном

пространстве

Полную кинетическую энергию молекулы е можно выразить как через общую скорость с, так и через ее составляющие вдоль координатных осей «, v и ш:

B=*±-mc2 = ±rm(u2 + v2 + w2) (III, 46)

Согласно уравнению (111,39) среднее значение скорости с (если сразу опустить интегрирование по пространственным координатам, которое, как должно быть ясно из предыдущего, и в числителе, и в знаменателе даст в качестве сомножителя объем системы) запишется так:

IIJ e~elkTc dpu dp0 dpwc—^Z <Ш'47>

J J j 6 ^ dpu dpv dpw

Интеграл в знаменателе выражения (111,47) равен {2птЫ)ъ^ [см. уравнение (III, 33)]. Следовательно,

Для дальнейшего интегрирования необходимо перейти от прямоугольных координат к сферическим, введя радиус-вектор, тождественный в данном случае модулю вектора скорости с, а также долготу ф и широту v. Произведение dudvdw можно рассматривать как элемент объема. В сферических координатах этот объем можно выразить через радиус-вектор, широту и долготу:

du dv dw = с2 sinv dv dtp dc (111,49)

Тогда выражение (111,48) примет вид

с = (~^rf7 J J J e'mc^kTci sin v dv dq> da (III, 50)

причем пределы интегрирования (для учета всех возможных зна* чений скоростей) должны быть следующие; по скорости — от 0 до оо, по широте — от 0 до л и по долготе — от 0 до 2п, Поскольку переменные v, <р и е независимы, тройной интеграл можно заменить тремя интегралами:

2Л Я оо

с = (-2~r)3/l j* J sin v dv { e-™«V» V dc (III, 51)

0 0 0

Два первых интеграла дадут, очевидно, множитель 4я, а третий интеграл легко приводится к табличному и равен 2(kT/m)2. Таким образом, окончательно получим г) Определение среднего квадрата скорости для трех степеней свободы, среднего значения полной кинетической энергии молекулы и средней квадратичной скорости

Повторив выкладки раздела «в», но подставив в исходное уравнение (типа III, 47) вместо с величину с2, получим

О

Интеграл в уравнении (111,53) равен 2>{nl2)li2(kTlm)^2. Следовательно,

Среднее значение полной кинетической энергии молекулы на основании уравнения (III, 54) можно записать так:

?j тс1 = у kT (III, 55)

Оно, очевидно, в три раза больше средней энергии, рассчитанной на одну степень свободы [см, уравнение (111,45)].

Наконец, средняя квадратичная скорость, определяемая как корень квадратный-из среднего квадрата скорости, равна

(III, 56)

Эта последняя величина, очевидно, отличается от средней скорости, определяемой соотношением (111,52):

/^ = (3^/8)^=1,085

д) Определение распределения молекул по скоростям

(закон Максвелла)

Найдем сначала число молекул dNu, составляющая скорости которых и вдоль оси х лежит в пределах от и до и -f- du, независимо от значений других составляющих скоростей, а также от положения молекул в пространстве. Исходя из общего закона распределения в наиболее удобной для данного случая форме [см. уравнение (111,38)], можно, во-первых, сразу же опустить интегрирование по пространственной координате, во-вторых, следует учитывать изменение одного лишь импульса ри, поскольку значения двух других импульсов для нас безразличны, С учетом этих допущений выражение (111,38) можно записать так:е IkT

N + °°

Гги/кТ

dNa_ е »[ dpa (Ш57)

dpa

Это уравнение выражает долю молекул, импульс ри которых лежит в пределах от ри до pu-j-dpu, и составляющая и скорости, очевидно, — в пределах от и до u-\-da. Так как интеграл в знаменателе равен [см. уравнение (111,35)] (2nmkT)l!2, окончательно получим выражение

dNu N

_ e-^^mdu _ /_m_VA ^muW du (2nmkT)?2 \ 2nkT I

представляющее собой закон распределения молекул по скоростям Максвелла для одной степени свободы. Очевидно, для других составляющих скорости, т. е. v и ш, можно написать формулы, совершенно аналогичные выражению (III, 58).

Решим теперь более сложную задачу; определим число молекул dNc, полная скорость которых лежит в пределах от с до с -j- dc. Для этой цели перепишем закон распределения (111,38), опуская, как и раньше, интегрирование по пространственным координатам (поскольку положение молекул в пространстве для нас безразлично), но учитывая изменение уже трех импульсов:

dNf е cl dpa dpv dpw

IIIе г^ьт dpu dpv dpw

— oo

где dN'—число молекул, составляющие импульса которых имеют значения в пределах or ри до pu+dpu, от pv до pv-\~dpv и от pw до pw + dpw; ес— полная кинетическая энергия молекулы, равная тс2/2.

Переходя от импульсов к скоростям и учитывая значение интеграла в знаменателе, равное (2nmkTy^y перепишем выражение (III, 59) в виде

dN' т3е~Ес/*Г du dv dm

(III, 60)

N {2nmkT)%

или, с учетом соотношения (111,49)

о —е IkT о dNf те с1 с sin v dv cfcp dc

(Ш.61)

N (2nmkT)3/l

Теперь dN' можно интерпретировать как число молекул с полными скоростями, которые по величине лежат в пределах от с до

c-\-dc, а по направлению ограничены пределами сферических координат: широты от v до v + dv и долготы от ф до ф -f- dq>. Поскольку нас интересует число молекул dNc, обладающих скоростями от с до с 4- dc независимо от направления их движения, соотношение (111,61) следует проинтегрировать по всем возможным направлениям, как это уже делалось при выводе формулы (111,52), т. е. по широте от 0 до я и по долготе от 0 до 2я. В результате интегрирования, как уже было показано, получим множитель 4л. Следовательно,

dNc N

т

Hne'^ikTc2 dc

{2nmkT)

т

?m^2kTc2dc (III', 62)

1'й

dNc ,™ 0 100

Соотношение (111,62) является законом Максвелла для распределения молекул по полным скоростям. Более детально его удобно рассмотреть с помощью графика (рис. Ill, 1), на котором по оси ординат отложено процентное содержание молекул со скоростями от с до с -f- dc, т. е.

4*0

N dc

а по оси абсцисс — скорость с. Как видно из рисунка, кривая распределения имеет максимум, ордината и абсцисса которого зависят от температуры. Скорость, соответствующая максимуму кривой, называется наиболее вероятной скоростью (а), так как с этой скоростью движется наибольшее число молекул (у). Значение а легко найти, продифференцировав у по с и приравняв первую производную нулю, т. е.

(III, 63)

W — Сравнивая уравнения (111,63), (111,52) и (111,56), увидим, что наиболее вероятная скорость отличается как от средней арифметической, так и от средней квадратичной.

е) Определение распределения молекул по энергиям, когда энергия выражается суммой двух квадратичных членов

Вид уравнения, выражающего закон распределения

страница 24
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173

Скачать книгу "Курс физической химии. Том II" (5.2Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
флорбольный магазин в москве
zender charlstone 4030/14
мебель для гостиной под тв
стол для кухни на одной ножке

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(06.12.2016)